Problemi

16. Problemi#

Problema 1.

Due corpi sferici di pari volume e densità \(\rho_1\) e \(\rho_2\) sono immersi in pari volume di acqua di pari densità \(\rho_{H_2 O}\). La geometria del sistema è simmetrica rispetto al piano verticale passante per il polo sulla quale la trave orizzontale è appoggiata. Il corpo \(1\) è connesso a terra da un filo. Il sistema è in un piano verticale e soggetto a un campo gravitazionale uniforme.

Si chiede di calcolare se il sistema può trovarsi in equilibrio.

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Soluzione.

Un sistema è in equilibrio alla rotazione rispetto a un polo \(H\), se la somma dei momenti esterni agenti sul sistema rispetto al polo è identicamente nulla,

\[\sum_i \vec{M}_{H,i} = \vec{0} \ ,\]

vedi condizioni necessarie all’equilibrio per sistemi rigidi 1.

In questo caso siamo interessati solo ai momenti rispetto alla direzione \(z\) uscente dal piano. Nella soluzione del problema, si considera il sistema formato dalla trave, dai due contenitori, dall’acuqa contenuta in essi, e dalle due sfere. Seguendo questa scelta, le azioni esterne agenti sul sistema sono:

le reazioni in corrispondenza dei vincoli con l’esterno: la forza \(\vec{R}_H\) in corrispondenza della cerniera in \(H\) e la tensione del filo \(\vec{T}\); la risultante agente sul sistema dovuta alla pressione dell’aria può essere trascurata, e nel caso non sia trascurata la risultante del suo momento rispetto al polo \(H\) è nulla per la simmetria del sistema;
la forza peso degli elementi del sistema, sia dei corpi solidi, sia dell’acqua contenuta nel sistema.

Osservazione. La forza di Archimede è una forza interna scambiata tra i corpi solidi e l’acqua nella quale sono immersi; per il terzo principio della dinamica di Newton - azione e reazione, la loro risultante è nulla: il solido \(1\) riceve una spinta dal fluido verso l’alto, mentre il fluido riceve dal solido \(1\) una spinta verso il basso di intensità \(\rho_{H_2 O} V_1 g\), con \(V_1\) il volume del corpo \(1\).

Ora, prendendo con segno positivo le forze che promuovono una rotazione antioraria del sistema, la componente \(z\) della risultante dei momenti rispetto ad \(H\) vale

\[\begin{split}\begin{aligned} \sum_i M_{H,z,i} & = P_{H_2 O} h + P_1 h + P^{\text{contenitore 1}} h - T h - P_{H_2 O} h - P_2 h - P^{\text{contenitore 1}} h = \\ & = \left( P_1 - T - P_2 \right) h \ . \end{aligned}\end{split}\]

Ora, per trovare il risultato è necessario calcolare la tensione \(T\) nel filo. Nell’ipotesi di equilibrio, la tensione del filo viene calcolata dall’equilibrio verticale della sfera \(1\),

\[0 = T - P_1 + F^{\text{Arch}} = T - P_1 + \rho_{H_2 O} g V_1 \quad \rightarrow \quad P_1 - T = \rho_{H_2 O} V_1 g \ .\]

Sostituendo l’espressione di \(P_1 - T\) nella risultante dei momenti si ottiene quindi

\[\sum_i M_{H,z,i} = \rho_{H_2 O} V_1 g - \rho_2 V_2 g \ .\]

Se i volumi dei due corpi sono uguali \(V_1 = V_2 = V\), si ottiene quindi

\[\sum_i M_{H,z,i} = \left( \rho_{H_2 O} - \rho_2 \right) V g \ .\]

Il sistema è in equilibrio solo se il corpo \(2\) ha densità pari a quella dell’acqua, \(\rho_2 = \rho_{H_2 O}\). Nel caso in cui il corpo \(2\) ha densità minore dell’acqua, \(\rho_2 < \rho_{H_2 O}\), la risultante dei momenti è positiva e - per la convenzione scelta - promuove una rotazione in verso antiorario.

1: Il sistema in quiete, nelle condizioni di equilibrio - da verificare -, si può trattare come sistema rigido, poiché non c’è nessun moto relativo tra i suoi componenti, benché esso sia costituito da più sotto-sistemi, alcuni nemmeno nello stato solido. In generale, per verificare l”equilibrio di un sistema composto va verificato l”equilibrio di tutti i suoi sotto-sistemi. Per motivi di sintesi, ci si limita ad affermare che questo è verificato per il problema in esame, nel caso in cui il sia in equilibrio rispetto alla rotazione attorno al polo \(H\), e si lascia un’eventuale dimostrazione al lettore.