12.5. Esempi

12.5.1. Pendolo

Example 12.4 (Oscillazioni libere - Isocronismo delle piccole oscillazioni)

L’equazione dinamica che governa l’oscillazione libera di un pendolo sul quale non agiscono azioni dissipative

\[I \ddot{\theta} + m g \ell \sin \theta = 0 \ ,\]

può essere ricavata dall’equazione di bilancio del momento della quantità di moto attorno alla cerniera del pendolo, o dalla conservazione dell’energia meccanica in assenza azioni non conservative, (esercizio pendulum-eom).

Questo sistema ha una posizione di equilibrio stabile in \(\overline{\theta} = 0\). Le piccole oscillazioni attorno all’equilibrio stabile sono descritte dall’equazione linear(izzata) del sistema, usando l’approssimazione \(\sin \theta \sim \theta\) per \(\theta\) «piccoli»,

\[I \ddot{\theta} + m g \ell \theta = 0 \ ,\]

equazione tipica di un sistema massa-molla, il cui stato ha un andamento periodico armonico con pulsazione \(\Omega = \sqrt{\frac{m g \ell}{I}}\). Data la condizione iniziale \(\theta(0) = \theta_0\), \(\dot{\theta}(0) = 0\), l’evoluzione nel tempo dell’angolo è

\[\theta(t) = \theta_0 \, \cos \left( \sqrt{\frac{m g \ell}{I}} \, t \right) \ .\]

E” immediato notare l”isocronismo del pendolo nel regime di piccole oscillazioni: la pulsazione e quindi il periodo dell’oscillazione non dipendono dall’ampiezza \(\theta_0\) dell’oscillazione.

Example 12.5 (Oscillazioni con dissipazione)

Example 12.6 (Oscillazioni con dissipazione e forzante)

Example 12.7 (Pendolo in sistemi non inerziali - Accelerazione)

Example 12.8 (Pendolo in sistemi non inerziali - Rotazione della Terra)