8.7. Note e dimostrazioni#

8.7.1. Cinematica del punto#

8.7.1.1. Moto uniforme, \(\ \ddot{\vec{r}}_P(t) = \vec{0}\)#

Il moto uniforme è un moto rettilineo.

Dimostrazione

Poiché \(\ddot{\vec{r}}_P(t) = \vec{0}\), allora

\[\begin{split}\begin{aligned} \dot{\vec{r}}_P(t) & = \vec{v} \\ \vec{r}_P(t) & = \vec{r}_0 + \vec{v} \, t \\ \end{aligned}\end{split}\]

L’espressione della posizione in funzione del tempo è l’espressione parametrica della retta passante per \(\vec{r}_0\) con la stessa direzione del vettore velocità \(\vec{v}\), vedi Matematica:Geometrica analitica nello spazio:Rette nello spazio.

8.7.1.2. Moto uniformemente accelerato, \(\ \ddot{\vec{r}}_P(t) = \vec{a}\)#

Il moto uniformemente accelerato è un moto piano. Se la velocità iniziale \(\vec{v}_0\) (o in qualsiasi istante temporale) ha la stessa direzione dell’accelerazione costante, \(\vec{a}\), allora il moto è rettilineo e si svolge sulla retta passante per il punto iniziale \(P_0\) con la direzione di \(\vec{a}\). Nel caso in cui \(\vec{v}_0\) e \(\vec{a}\) non sono allineati, il moto è parabolico e si svolge nel piano passante per \(P_0\) con direzione normale sia a \(\vec{v}_0\) sia a \(\vec{a}\).

Dimostrazione

Data l’accelerazione costante $\(\ddot{\vec{r}}_P(t) = \vec{a}\)$, velocità e posizione sono

\[\begin{split}\begin{aligned} \vec{v}_P(t) & = \vec{v}_0 + \vec{a} \, t \\ P(t) & = P_0 + \vec{v}_0 \, t + \dfrac{1}{2} \vec{a} \ t^2 \\ \end{aligned}\end{split}\]

Moto rettilineo uniformemente accelerato. Se \(\vec{v}_0 = v_0 \hat{t}\), \(\vec{a} = a \hat{t}\), allora

\[\begin{split}\begin{aligned} \vec{v}_P(t) & = ( v_0 + a \, t ) \hat{t} \\ P(t) - P_0 & = \left( v_0 \, t + \dfrac{1}{2} a \, t^2 \right) \hat{t} \\ \end{aligned}\end{split}\]

Moto parabolico. Si scelgono due direzioni ortogonali \(\hat{x}\), \(\hat{y}\) definite dalle direzioni di \(\vec{a}\) e \(\vec{v}_0\)

\[\begin{split}\begin{aligned} \vec{a} & = a \hat{x} \\ \vec{v}_0 & = v_{0,x} \hat{x} + v_{0,y} \hat{y} \\ \end{aligned}\end{split}\]

con \(v_{0,y} \ne 0\) (altrimenti si è nel caso di moto rettilineo uniformemente accelerato con \(\vec{v}_0 \parallel \vec{a}\)) così che la posizione in funzione del tempo è

\[\begin{aligned} P(t) - P_0 = \Delta x_P(t) \hat{x} + \Delta y_P(t) \hat{y} = \hat{x} \left( \dfrac{1}{2} a t^2 + v_{0,x} t \right) + \hat{y} \left( v_{0,y} t \right) \end{aligned}\]

ed è possibile scrivere la coordinata \(x\) in funzione della coordinata \(y\) come

\[\Delta x_P = \frac{1}{2} \, a \, \dfrac{ \Delta y_P^2}{v_{0,y}^2} + \frac{v_{0,x}}{v_{0,y}} \Delta y_P\]