8.5. Problemi#

Questa pagina contiene esercizi di cinematica per punti materiali, corpi rigidi e cinematica relativa, con alcuni esercizi sulla traiettoria di un punto su un disco che rotola su una superficie piana e su superfici circolari.

8.5.1. Cinematica dei Punti Materiali#

Exercise 8.1 (Velocità media)

todo

Exercise 8.2 (Velocità media vettore (su percorso chiuso))

todo

Exercise 8.3

Due auto stanno viaggiando lungo un’autostrada con una distanza iniziale di \(\Delta x_0 = 3 \, \text{km}\). La macchina che si trova davanti viaggia a velocità costante \(90 \text{km/h}\), mentre la macchina che si trova dietro viaggia a velocità costante \(120 \text{km/h}\). Si chiede di calcolare il tempo necessario per il sorpasso.

Exercise 8.4

Supponendo che il tempo di reazione dell’automibilista medio è \(\Delta t = 1 \, \text{s}\), si determini la distanza di sicurezza da mantenere per evitare un’incidente su una strada in cui la velocità massima è di \(120 \text{km/h}\), nei casi in cui:

  1. si assume che l’auto considerata e l’auto che la precede abbia la stessa decelerazione massima uguale a \(a = 1 \, \text{m/s}^2\)

  2. si assume che l’imprevisto sia fermo sulla carreggiata davanti all’auto considerata.

Exercise 8.5

Si ripeta l’esercizio considerando una distribuzione normale del tempo di reazione con media \(1 \, \text{s}\) e una distribuzione gaussiana con deviazione standard \(\sigma = 0.2 \, \text{s}\) (freghiamocene che una distribuzione gaussiana è non nulla anche per valori negativi; la probabilità per tempi negativi è talmente bassa da poterla considerare trascurabile in questo esercizio).

Exercise 8.6

Una palla di massa \(m\) viene lanciata lungo la verticale verso l’alto con velocità iniziale con valore assoluto \(v_0\), a partire da una quota \(h_0\) sul terreno. Sapendo che sul corpo agisce un’accelerazione in direzione opposta alla velocità iniziale con valore assoluto \(g\). Viene chiesto di ricavare:

  1. la massima altezza raggiunta dal corpo rispetto al terreno, e il tempo in cui questo punto viene raggiunto

  2. la velocità quando il corpo tocca terra, e il tempo in cui questo punto viene raggiunto

Exercise 8.7

Una palla di massa \(m\) viene lanciata con velocità iniziale orizzontale \(\vec{v}_0\), da una quota \(h_0\) sul livello del terreno. Sul terreno, è posizionato un bersaglio a una distanza orizzontale \(\ell\) nota. Viene chiesto di determinare:

  1. il modulo della velocità necessario per colpire il bersaglio

  2. il tempo di volo

Exercise 8.8

Una palla di massa \(m\) viene lanciata con velocità iniziale \(\vec{v}_0\) da una quota \(h_0\) sul livello del terreno. Sulla massa agisce un’accelerazione verso il basso \(\vec{g}\). Viene chiesto di:

  1. calcolare la traiettoria

  2. determinare la distanza orizzontale tra il punto di lancio e il punto di atterraggio della palla

  3. determinare il tempo di volo

  4. dato il valore assoluto \(|\vec{v}_0|\) e lasciando libero l’angolo \(\theta\) rispetto all’orizzontale, viene chiesto di studiare il problema e determinare l’angolo per il quale la distanza orizzontale è massima.

Exercise 8.9 (Moto circolare 1.)

Exercise 8.10 (Moto circolare 2.)

Exercise 8.11 (Moto circolare 3.)

Exercise 8.12 (Forze centrali e coniche)

Exercise 8.13 (Velocità di un Punto in Movimento Rettilineo Uniforme)

Un punto materiale si muove lungo una retta con velocità costante di \(v = 10 \, \text{m/s}\). Calcola la posizione del punto al tempo \(t = 5 \, \text{s}\), se parte dalla posizione iniziale \(x_0 = 0 \, \text{m}\).

Exercise 8.14 (Accelerazione di un Punto in Movimento Uniformemente Accelerato)

Un punto materiale parte da fermo e accelera uniformemente con accelerazione \(a = 2 \, \text{m/s}^2\). Calcola la velocità e la posizione del punto dopo \(t = 3 \, \text{s}\).

Exercise 8.15 (Traiettoria di un Punto in Movimento Parabolico)

Un punto materiale è lanciato con velocità iniziale \(v_0 = 10 \, \text{m/s}\) sotto un angolo di \(30^\circ\) rispetto all’orizzontale. Calcola la distanza orizzontale percorsa dal punto dopo \(t = 2 \, \text{s}\).

Exercise 8.16 (Traiettoria di un Punto in Movimento Circolare Uniforme)

Un punto materiale si muove lungo una traiettoria circolare con raggio \(r = 5 \, \text{m}\) e velocità angolare costante \(\omega = 2 \, \text{rad/s}\). Calcola la velocità lineare del punto.

Exercise 8.17 (Accelerazione di un Punto in Movimento Circolare Non Uniforme)

Un punto materiale si muove lungo una traiettoria circolare con raggio \(r = 4 \, \text{m}\) e velocità angolare che aumenta uniformemente con accelerazione angolare \(\alpha = 0.5 \, \text{rad/s}^2\). Calcola l’accelerazione centripeta e tangenziale del punto al tempo \(t = 3 \, \text{s}\).

8.5.2. Cinematica dei Corpi Rigidi#

Exercise 8.18 (Velocità di un Punto su un Corpo Rigido in Rotazione)

Un corpo rigido ruota con velocità angolare costante \(\omega = 5 \, \text{rad/s}\). Calcola la velocità di un punto situato a \(r = 3 \, \text{m}\) dall’asse di rotazione.

Exercise 8.19 (Accelerazione di un Punto su un Corpo Rigido in Rotazione)

Un corpo rigido ruota con velocità angolare variabile \(\omega(t) = 3t \, \text{rad/s}\), dove \(t\) è il tempo in secondi. Calcola l’accelerazione tangenziale di un punto situato a \(r = 4 \, \text{m}\) dall’asse di rotazione al tempo \(t = 2 \, \text{s}\).

Exercise 8.20 (Traiettoria di un Punto su un Corpo Rigido in Traslazione e Rotazione)

Un corpo rigido si muove in traslazione con velocità costante \(v = 6 \, \text{m/s}\) e contemporaneamente ruota con velocità angolare costante \(\omega = 3 \, \text{rad/s}\). Calcola la velocità di un punto situato a \(r = 2 \, \text{m}\) dall’asse di rotazione, rispetto a un sistema di riferimento fisso.

Exercise 8.21 (Traiettoria di un Punto su un Disco in Rotolamento)

Un disco di raggio \(R = 4 \, \text{m}\) e massa \(m = 6 \, \text{kg}\) rotola senza slittamento su una superficie piana. Calcola la traiettoria di un punto situato a \(r = 2 \, \text{m}\) dal centro del disco.

Exercise 8.22 (Traiettoria di un Punto su un Disco in Rotolamento Completo)

Un disco di raggio \(R = 3 \, \text{m}\) rotola senza slittamento su una superficie piana. Calcola la traiettoria di un punto situato a una distanza \(r = R\) dal centro del disco durante un completo ciclo di rotolamento.

Exercise 8.23 (Velocità di un Punto su un Disco che Rotola)

Un disco di raggio \(R = 5 \, \text{m}\) e velocità di traslazione \(v = 4 \, \text{m/s}\) rotola senza slittamento su una superficie piana. Calcola la velocità di un punto situato a \(r = 2 \, \text{m}\) dal centro del disco.

Exercise 8.24 (Accelerazione di un Punto su un Disco in Rotolamento)

Un disco di raggio \(R = 3 \, \text{m}\) ruota senza slittamento con velocità angolare $\omega

8.5.3. Cinematica Relativa#

Exercise 8.25 (Velocità Relativa di Due Punti su un Corpo Rigido)

Due punti \(P_1\) e \(P_2\) sono situati su un corpo rigido che ruota attorno a un asse con velocità angolare \(\omega = 2 \, \text{rad/s}\). Le distanze dall’asse di rotazione sono \(r_1 = 4 \, \text{m}\) e \(r_2 = 6 \, \text{m}\). Calcola la velocità relativa tra i due punti.

Exercise 8.26 (Velocità Relativa di Due Punti in Movimento Circolare)

Due punti, \(P_1\) e \(P_2\), si muovono lungo traiettorie circolari concentriche con raggio rispettivamente \(r_1 = 3 \, \text{m}\) e \(r_2 = 5 \, \text{m}\), e velocità angolari rispettivamente \(\omega_1 = 4 \, \text{rad/s}\) e \(\omega_2 = 6 \, \text{rad/s}\). Calcola la velocità relativa tra i due punti.

Exercise 8.27 (Accelerazione Relativa di Due Punti su un Corpo Rigido)

Due punti su un corpo rigido in rotazione hanno velocità angolari \(\omega_1 = 3 \, \text{rad/s}\) e \(\omega_2 = 5 \, \text{rad/s}\). Calcola l’accelerazione relativa tra i due punti, se le distanze dall’asse di rotazione sono rispettivamente \(r_1 = 4 \, \text{m}\) e \(r_2 = 6 \, \text{m}\).

Exercise 8.28 (Traiettoria Relativa di Due Punti su un Corpo Rigido)

Due punti \(P_1\) e \(P_2\) si muovono lungo un corpo rigido che ruota con velocità angolare \(\omega = 2 \, \text{rad/s}\). Le distanze dall’asse di rotazione sono \(r_1 = 3 \, \text{m}\) e \(r_2 = 4 \, \text{m}\). Calcola la traiettoria relativa di \(P_2\) rispetto a \(P_1\).

Exercise 8.29 (Accelerazione Relativa)

Un corpo rigido ruota con velocità angolare costante \(\omega = 3 \, \text{rad/s}\). Se un punto A è situato a una distanza \(r = 5 \, \text{m}\) dall’asse di rotazione e un altro punto B è situato a \(r = 7 \, \text{m}\), calcola l’accelerazione relativa tra i due punti.