24.1.8. Problemi#
Esercizi su forza, campo elettrico, potenziale elettrico, lavoro, ed energia di sistemi di cariche puntniformi e campi elettrici assegnati (esempi, campo elettrico uniforme tra armature di condensatore piano
Distribuzioni di cariche
Exercise 24.1 (Cariche puntiformi)
Date due cariche elettriche \(q_1, \, q_2 > 0\) viene chiesto di:
determinare la forza esercitata da una carica sull’altra;
determinare e rappresentare (vettori e linee di campo) il campo elettrico nello spazio;
determinare l’energia immagazzinata dal sistema, rispetto alla condizione di riferimento all’infinito
data una terza carica \(q_3\),
determinare la forza agente sulla carica \(q_3\) in un punto qualsiasi dello spazio
determinare eventuali punti di equilibrio della carica \(q_3\)
determinare l’entità della carica \(q_3\) affinché il sistema di cariche \(q_1\), \(q_2\), \(q_3\) sia in equilibrio, e le condizioni in cui tale situazione può essere realizzata
Exercise 24.2 (Cariche puntiformi nel piano)
Date le cariche puntiformi di intensità \(q_i\), \(i=1:4\), poste ai vertici di un quadrato di lato \(\ell\), si chiede di determinare:
la forza agente sulle singole cariche
l’energia potenziale immagazzinata nel sistema, rispetto alla condizione di riferimento con le cariche disposte all’ifinito
il campo elettrico nel centro del quadrato
il lavoro necessario per portare una quinta carica \(q_5\) dall’infinito al centro del quadrato, e l’energia nel sistema composto dalle cinque cariche
Exercise 24.3
Data una carica puntiforme di intensità \(q\) nel punto \(P\) e un campo elettrico uniforme assegnato \(\vec{e}(\vec{r}) = E \, \hat{x}\) viene chiesto di:
determinare la forza esterna necessaria a mantenere la carica puntiforme ferma
determinare e rappresentare il campo elettrico totale, calcolando i punti in cui il campo è nullo e altri luoghi geometrici particolari
calcolare il lavoro compiuto per portare una carica \(q_A\) dal punto \(A_1\) al punto \(A_2\)
Exercise 24.4
Considerando il sistema del’esercizio precedente, e vincolando la carica puntiforme a terra con una molla di costante elastica \(k\) con lunghezza a riposo nulla, viene chiesto di:
determinare il valore dell’energia del sistema nella configurazione del sistema con allungamento nullo
determinare la condizione di equilibrio del sistema
verificare che le condizioni di equilibrio corrispondono a punti di estremo dell’energia del sistema rispetto alla posizione della carica \(P\). In partiolare, l’equilibrio è stabile in corrispondenza dei punti di minimo locale dell’energia, instabile in corrispondenza dei punti di massimo locale dell’energia.
Esercizi su sfere concentriche (conduttrici e no)
Esercizi su condensatori: relazioni tra grandezze (\(v\), \(C\), \(Q\), \(\varepsilon\), forza tra le armature…), energia immagazzinata, e lavoro meccanico su condensatore; lavoro meccanico per inserire o rimuovere dielettrico; combinazione di condensatori
Moto di cariche tra pareti di condensatore
Exercise 24.5 (Lavoro meccanico su condensatore modificandone la geometria)
Exercise 24.6 (Lavoro necessario a inserire o rimuovere un dielettrico)
vecchi esercizi
Exercise 24.7 (Legge di Coulomb)
Due cariche di \(q_1 = 3 \, \mu C\) e \(q_2 = -2 \, \mu C\) sono separate da una distanza di \(r = 0.5 \, \text{m}\). Calcola la forza tra le due cariche usando la legge di Coulomb.
Exercise 24.8 (Forza Elettrica e Direzione)
Due cariche puntiformi di carica \(q_1 = 4 \, \mu C\) e \(q_2 = -3 \, \mu C\) sono posizionate lungo l’asse \(x\), a \(x_1 = 2 \, \text{m}\) e \(x_2 = 6 \, \text{m}\). Calcola la forza che agisce su \(q_2\) a causa di \(q_1\).
Exercise 24.9 (Campo Elettrico da una Carica Puntiforme)
Calcola il campo elettrico a una distanza \(r = 2 \, \text{m}\) da una carica di \(q = 6 \, \mu C\).
Exercise 24.10 (Potenziale Elettrico di una Carica Puntiforme)
Calcola il potenziale elettrico creato da una carica di \(q = 3 \, \mu C\) a una distanza di \(r = 1 \, \text{m}\).
Exercise 24.11 (Legge di Gauss)
Calcola il flusso del campo elettrico attraverso una superficie sferica di raggio \(R = 2 \, \text{m}\) centrata in una carica di \(q = 5 \, \mu C\).
Exercise 24.12 (Superficie Gaussiana con Distribuzione Sferica)
Una carica distribuita uniformemente su una superficie sferica di raggio \(R = 0.2 \, \text{m}\) produce un campo elettrico all’interno di essa. Calcola la carica totale all’interno della superficie se il campo è di \(E = 1 \, \text{kV/m}\) a \(r = 0.1 \, \text{m}\).
Exercise 24.13 (Campo Elettrico da una Distribuzione Continua di Carica)
Calcola il campo elettrico prodotto da una distribuzione continua di carica su una linea di lunghezza \(L = 1 \, \text{m}\) e densità di carica lineare \(\lambda = 2 \, \mu C/\text{m}\) a una distanza \(r = 0.5 \, \text{m}\) dal centro della linea.
Exercise 24.14 (Energia Potenziale Elettrica tra Due Cariche)
Calcola l’energia potenziale elettrica tra due cariche di \(q_1 = 1 \, \mu C\) e \(q_2 = 2 \, \mu C\) separate da una distanza di \(r = 0.3 \, \text{m}\).
Exercise 24.15 (Legge di Faraday Stazionaria)
Calcola il campo elettrico indotto da un campo magnetico stazionario di intensità \(B = 0.5 \, \text{T}\) che attraversa un solenoide di lunghezza \(L = 1 \, \text{m}\) e \(N = 100\) spire.
Exercise 24.16 (Moto di una Carica in un Campo Elettrico)
Una particella di carica \(q = 5 \, \mu C\) si muove con velocità \(v = 3 \, \text{m/s}\) in un campo elettrico uniforme di intensità \(E = 4 \, \text{kV/m}\). Calcola la forza che agisce sulla particella.
Exercise 24.17 (Capacitore Piatto)
Calcola la capacità di un condensatore a piatti paralleli con superficie dei piatti \(A = 1 \, \text{m}^2\) e separazione tra i piatti di \(d = 0.01 \, \text{m}\), se il dielettrico tra i piatti è l’aria con costante dielettrica \(\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\).
Exercise 24.18 (Energia di un Condensatore)
Calcola l’energia immagazzinata in un condensatore con capacità \(C = 2 \, \mu F\) e tensione applicata \(V = 10 \, \text{V}\).
Exercise 24.19 (Energia Potenziale di un Condensatore)
Un condensatore a piatti paralleli ha una capacità di \(C = 3 \, \mu F\) e viene caricato fino a \(V = 12 \, \text{V}\). Calcola l’energia potenziale immagazzinata nel condensatore.
Exercise 24.20 (Potenziale di un Condensatore)
Calcola il potenziale elettrico tra due piatti di un condensatore a piatti paralleli con carica di \(Q = 5 \, \mu C\) e capacità di \(C = 2 \, \mu F\).
Exercise 24.21 (Capacità di un Condensatore con Dielettrico)
Un condensatore a piatti paralleli ha una capacità di \(C = 5 \, \mu F\) con aria come dielettrico. Se il dielettrico viene sostituito da materiale con costante dielettrica \(\epsilon_r = 2\), calcola la nuova capacità del condensatore.
Exercise 24.22 (Densità di Energia in un Campo Elettrico)
Calcola la densità di energia in un campo elettrico con intensità \(E = 100 \, \text{kV/m}\) in un materiale con costante dielettrica \(\epsilon_r = 4\).
Exercise 24.23 (Energia Potenziale di una Carica in un Condensatore)
Calcola l’energia potenziale di una carica di \(q = 2 \, \mu C\) in un condensatore con tensione di \(V = 10 \, \text{V}\).
Exercise 24.24 (Capacità di un Condensatore Sferico)
Calcola la capacità di un condensatore sferico con raggio interno \(r_1 = 0.1 \, \text{m}\) e raggio esterno \(r_2 = 0.2 \, \text{m}\) nel vuoto.
Exercise 24.25 (Carica di un Condensatore)
Un condensatore con capacità \(C = 10 \, \mu F\) è collegato a una batteria che fornisce una tensione di \(V = 20 \, \text{V}\). Calcola la carica immagazzinata nel condensatore.
Exercise 24.26 (Potenziale di una Carica in un Campo Elettrico Uniforme)
Una carica di \(q = 2 \, \mu C\) è posta a una distanza di \(r = 0.5 \, \text{m}\) da un piano carico che crea un campo elettrico uniforme di \(E = 4 \, \text{kV/m}\). Calcola il potenziale in quel punto.
Exercise 24.27 (Legge di Coulomb in un Dielettrico)
Due cariche di \(q_1 = 4 \, \mu C\) e \(q_2 = -6 \, \mu C\) sono separate da una distanza di \(r = 0.2 \, \text{m}\) in un dielettrico con costante \(\epsilon_r = 5\). Calcola la forza tra le due cariche.
Exercise 24.28 (Potenziale Elettrico di un Dipolo)
Calcola il potenziale elettrico creato da un dipolo con momento dipolare \(p = 5 \, \mu C \cdot \text{m}\) a una distanza di \(r = 0.1 \, \text{m}\) lungo l’asse del dipolo.
Exercise 24.29 (Condensatore con Dielettrico Non Lineare)
Calcola la capacità di un condensatore a piatti paralleli con costante dielettrica non lineare, con \(\epsilon_r = 10 + 2E\) dove \(E\) è il campo elettrico. Se il campo elettrico è \(E = 100 \, \text{kV/m}\), qual è la capacità?
Exercise 24.30 (Forza su una Carica in un Campo Elettrico Non Uniforme)
Una particella di carica \(q = 1 \, \mu C\) è posta in un campo elettrico che varia linearmente con la distanza. Calcola la forza che agisce sulla particella se il campo elettrico varia da \(E_1 = 5 \, \text{kV/m}\) a \(E_2 = 10 \, \text{kV/m}\) in un intervallo di \(r = 1 \, \text{m}\).
Exercise 24.31 (Campo Elettrico all’Interno di una Sfera Carica)
Calcola il campo elettrico all’interno di una sfera carica con densità di carica uniforme \(\rho = 3 \, \mu C/\text{m}^3\) e raggio \(R = 0.2 \, \text{m}\).