18.1.3. Teoria cinetica dei gas#

Nel 1738, Daniel Bernoulli pubblica il Hydrodynamica nel quale fornisce un primo modello microscopico di un gas, pensato come un insieme di un numero enorme todo di particelle elementari (molecole), e il legame tra le grandezze macroscopiche e la media delle grandezze microscopiche.

Considerando: todo

  • un volume retto di lati \(\Delta L_x\), \(\Delta L_y\), \(\Delta L_z\), \(\Delta V = \Delta L_x \, \Delta L_y \, \Delta L_z\)

  • che contiene un numero \(\Delta N\) di particelle identiche che non interagiscono tra di loro ma solo con urti elastici con le pareti rigide del volume

La forza sulla parete del volume con normale in direzione \(x\), può essere calcolata come rapporto tra l’impulso esercitato dalla parete e l’intervallo di tempo tra 2 urti della stessa molecola con la stessa parete,

\[\Delta F_{x,i} = -\frac{\Delta I_{x,i}}{\Delta t_i} = \frac{2 m_m v_{x,i}}{\frac{2 \Delta L_x}{v_{x,i}}} = m_m \frac{v_{x,i}^2}{\Delta L_x}\]

La forza media per unità di superficie sulla parete è

\[\frac{\Delta F_{x,i}}{\Delta S_x} = \frac{\Delta F_{x,i}}{\Delta L_y \Delta L_z} = \dfrac{m_m v_{x_i}^2}{\Delta L_x \, \Delta L_y \, \Delta L_z} = \dfrac{m_m v_{x_i}^2}{\Delta V}\]

L’energia cinetica della \(i\)-esima particella è

\[ K_i = \frac{1}{2} m_m |\vec{v}_i|^2 = \frac{1}{2} m_m \left( v_{x,i}^2 + v_{y,i}^2 + v_{z,i}^2 \right) = \]

L’energia dell’insieme delle particelle contenute nel volume è uguale alla somma delle loro energie cinetiche

\[K = \sum_i K_i = \sum_i \frac{1}{2} m_m \left( v_{x,i}^2 + v_{y,i}^2 + v_{z,i}^2 \right) \ .\]

Assumendo che la velocità delle particelle abbia una distribuzione isotropa nello spazio, ossia che non ci siano direzioni preferenziali, la media dei quadrati delle singole componenti cartesiane è uguale

\[\langle \Delta K \rangle = \langle K_1 \rangle \, \Delta N = \Delta N \frac{3}{2} m_m v_{rms}^2 \ .\]

todo L’energia cinetica può essere scritta in funzione della temperatura, \(T\),

\[\frac{\langle \Delta K \rangle}{\Delta N} = \dfrac{3}{2} m_m v^2_{rms} = \frac{3}{2} k_B \, T \ ,\]

questa espressione prevede che l’energia cinetica di una molecola sia direttamente proporizonale alla temperatura e al numero di gradi di libertà della particella, qui \(f = 3\), tramite la costante di proporzionalità \(k_B = \dots\), la costante di Boltzmann.

La forza media esercitata dalle \(\Delta N\) molecole sulla superficie con normale \(x\) può essere quindi scritta come

La costante di Avogadro (todo da dove arriva? Esperimenti sui gas a pari volume e condizioni TD, fatti da?? Gay-Lussac?? Charles?? Controllare video di Bressanini e altre fonti) permette di convertire il numero di molecole \(N\) nel numero di moli \(n\), \(\Delta N = N_A \, \Delta n\), e calcolare la massa di una mole, la massa molare, una volta nota la massa di una molecola \(M_m = N_A m_m\)

\[\begin{split}P & = \dfrac{\Delta N}{\Delta V} m_m \, v_{rms}^2 = \\ & = \dfrac{\Delta N}{\Delta V} k_B \, T = \dfrac{\Delta n}{\Delta V} \underbrace{N_A k_B}_{= R_u} \, T \\ & = \dfrac{m_m \Delta N}{\Delta V} \dfrac{k_B}{m_m} \, T = \dfrac{\Delta m }{\Delta V} \dfrac{k_B}{m_m} \, T = \dfrac{\Delta m }{\Delta V} \underbrace{\dfrac{N_A \, k_B}{M_m}}_{=\frac{R_u}{M_m} = R} \, T \ , \end{split}\]

avendo introdotto la definizione della costante universale \(R_u = N_A \, k_B\) come prodotto del numero di Avogadro e la costante di Boltzmann, e una costante del gas considerato come rapporto tra la costante universale e la sua massa molare, \(R = \dfrac{R_u}{M_m}\).

Valori numerici; cenni storici