22.1. Ottica geometrica

Approssimazione con raggi di luce. I raggi luminosi sono qualitativamente delle linee geometriche che indicano la propagazione della luce. Essi possono essere definiti come delle curve perpendicolari in ogni punto ai fronti d’onda del campo elettromagnetico.

todo

• discutere approssimazione geometrica, con raggi luminosi; quando vale?

• aggiungere immagini per questa approssimazione: bridging EM field and geometrical optics, some examples: free space homogeneous medium; discontinuous medium; continuously varying in-homogeneous medium: miraggio e fata morgana

22.1.1. Princìpi dell’ottica geometrica

Propagazione rettilinea in un mezzo omogeneo. In un mezzo omogeneo, con indice di rifrazione \(n\) (Definition 22.1) uniforme, i raggi luminosi si propagano su traiettorie rettilinee.

Legge di Snell - riflessione e rifrazione tra mezzi discontinui. Per soddisfare le condizioni di continuità del campo elettromagnetico in corrispondenza di una discontinuità di proprietà fisiche, un raggio che si propaga nel mezzo 1 e incidente su una discontinuità con il mezzo 2 con un angolo \(\theta{1,i}\) con la direzione normale, in generale:

• viene riflesso con lo stesso angolo

  \[\theta_{1,r} = \theta_{1,i}\]

• viene trasmesso con angolo \(\theta_{2,t}\), tale che

  \[\frac{\sin \theta_{2,t}}{\sin \theta_{1,i}} = \dfrac{n_1}{n_2} = \dfrac{c_2}{c_1} \ .\]

todo Stabilire i coefficienti di riflessione e trasmissione. Scrivere sezione in physics-electromagnetism

Riflessione totale. Quando \(\frac{c_2}{c_1} > 1\) esiste un angolo di incidenza limite oltre al quale non avviene trasmissione nel secondo mezzo. Il valore massimo della funzione \(\sin\) è 1; la condizione limite, di riflessione totale si ottiene quando

\[1 = \sin \theta_{2,t} = \frac{c_2}{c_1} \sin \theta_{1,i} \qquad \rightarrow \qquad \]

Principio di Fermat. La propagazione di un raggio luminoso può essere riformulata con il principio di Fermat: un raggio luminoso da una sorgente a un osservatore percorre la traiettoria con tempo di percorrenza minimo.

Example 22.1 (Principio di Fermat e legge di Snell)

Data un’interfaccia piana, \(y=0\), tra due mezzi con indice di rifrazione \(n_1\), \(n_2\), una sorgente luminosa con coordinate cartesiane \((x_s, y_s)\), \(y_s > 0\), e un osservatore con coordinate \((x_o, y_o)\), \(y_o < 0\), viene chiesto di determinare il percorso del raggio luminoso usando il principio di Fermat e verificare che il risultato è in accordo con la legge di Snell.

Si scrive il tempo di percorrenza \(\Delta t\) in funzione della coordinata \(x\) del punto dell’interfaccia per il quale passa il raggio luminoso desiderato.

\[\begin{split}\begin{aligned} \Delta t(x) & = \Delta t_1(x) + \Delta t_2(x) = \\ & = \frac{\Delta \ell_1(x)}{c_1} + \frac{\Delta \ell_2(x)}{c_2} = \\ & = n_1 \frac{\sqrt{(x-x_s)^2 + y_s^2}}{c_0} + n_2 \frac{\sqrt{(x-x_o)^2 + y_o^2}}{c_0} = \\ \end{aligned}\end{split}\]

\[ c_0 \dfrac{d \Delta t}{dx}(x) = \frac{n_1}{c_0} \frac{1}{2} \left( (x-x_s)^2 + y_s^2 \right)^{-\frac{1}{2}} 2 (x-x_s) + \frac{n_2}{c_0} \frac{1}{2} \left( (x-x_o)^2 + y_o^2 \right)^{-\frac{1}{2}} 2 (x-x_o) \]

\[\begin{split}\begin{aligned} & 0 = c_0 \dfrac{d \Delta t}{dx}(x^*) \\ & \rightarrow \quad n_1 \frac{x^* - x_s}{\sqrt{(x^*-x_s)^2 + y_s^2}} = n_2 \frac{x_o - x^*}{\sqrt{(x^*-x_o)^2 + y_o^2}} \\ & \rightarrow \quad n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2 \ . \end{aligned}\end{split}\]