19.1. Trasformazioni termodinamiche#

…

19.1.1. Fluidi#

Per un sistema chiuso composto da un volume di fluido monofase, che manifesta lavoro interno solo nella forma \(\delta L^{i,rev} = -P dV\)

\[d E & = \delta Q^e - \delta L^i = \delta Q^e + \delta^+ D - \delta L^{i, rev} \]
\[d E = T d S - P d V\]

Trasformazione isocora, \(V \) cost. Per una trasformazione isocora il volume del sistema non varia, \(d V = 0\). Quindi il lavoro interno reversibile è nullo, \(\delta L^{i,rev} = - P dV = 0\). Durante questa trasformazione segue quindi che la variazione di energia interna del sistema è uguale alla somma del contributo del calore immesso nel sistema e alla dissipazione,

\[d E = \delta Q^e + \delta^+ D = T dS \ .\]

Nel caso di trasformazione ideale, per la quale si può trascurare la dissipazione, \(\delta^+ D = 0\),

\[d E = \delta Q^e = T dS \ .\]

Trasformazione isoterma, \(T \) cost. Per una trasformazione isoterna nessuno dei tre contributi di variazione di energia, calore e lavoro è nullo in generale. Il termine di calore+dissipazione lungo una trasformazione a temperatura costante \(T = \overline{T}\) assume però un’espressione molto semplice

\[\int_{\gamma} T dS = \overline{T} \int_{\gamma_{1,2}} d S = \overline{T} (S_2 - S_1) = \overline{T} \Delta S_{1,2} \ .\]

Nel caso di trasformazinoe ideale, per la quale si può trascurare la dissipazione, \(\delta^+ D = 0\), questo termine corrispende al calore immesso nel sistema, \(T d S = \delta Q\), e quindi

\[Q_{12} = \overline{T} (S_2 - S_1) \ .\]

Trasformazione isobara, \(P \) cost. Per una trasformazione isobara nessuno dei tre contributi di variazione di energia, calore e lavoro è nullo in generale. Il termine di lavoro interno ideale lungo una trasformazione a temperatura costante \(T = \overline{T}\) assume però un’espressione molto semplice

\[\int_{\gamma} P dV = \overline{P} \int_{\gamma_{1,2}} d V = \overline{P} (V_2 - V_1) = \overline{P} \Delta V_{1,2} \ .\]

Nel caso di trasformazinoe ideale, per la quale si può trascurare la dissipazione, \(\delta^+ D = 0\), e di trasformazione sufficientemente lenta da poter trascurare le variazioni di energia cinetica del sistema rispetto alle variazioni di energia interna, questo termine corrispende al lavoro fatto dal sistema,

\[d K = \delta L^e + \delta L^i = \delta L^e + \delta L^{i,rev} - \delta^+ D \qquad \rightarrow \qquad \delta L := - \delta L^e \sim \delta L^{int,rev} \ .\]

o per una trasformazione finita

\[\Delta L_{12} = \overline{P} (V_2 - V_1) \ ,\]

avendo definito il lavoro fatto dal sistema sull’ambiente esterno \(L\) come l’opposto del lavoro fatto dall’ambiente esterno sul sistema \(L^e\), \(L = - L^e\).

Trasformazione adiabatica, \(\delta Q = 0\). In una trasformazione adiabatica, senza apporto di calore, la variazione dell’energia interna è uguale all’opposto del lavoro interno del sistema o, nelle stesse ipotesi di contributo cinetico trascurabile discusse per le trasformazioni isobare, uguale al lavoro fatto dall’ambiente sul sistema

\[d E = - \delta L^i = \delta L^{e} = - \delta L \ .\]

Nel caso di trasformazione ideale, \(\delta^+ D = 0\), \(\delta L^i = \delta L^{i,rev} = P dV\), si ottiene una trasformazione isentropica (Se \(\delta Q = 0\) e \(\delta^+ D = 0\) segue \(dS = 0\), vedi sotto) e l’espressione della variazione di energia

\[d E = - P dV \ .\]

Trasformazione isentropica, \(S \) cost. Una trasformazione isentropica è una trasformazione adiabatica ideale, senza dissipazione. Infatti, per una trasformazione adiabatica \(\delta Q = 0\), per una trasformazione senza dissipazione \(\delta^+ D = 0\) e segue immediatamente

\[T d S = \delta Q + \delta^+ D = 0 \ .\]

19.1.1.1. Gas ideali#

Per un gas ideale si può utilizzare la sua equazione di stato

\[P = \rho R_g T \ ,\]

e l’espressione dell’energia interna in funzione solo della temperatura todo riferimento

\[E = m c_v T \ ,\]

e ottenere dei risultati un po” più espliciti. In questa sezione vengono considerate trasformazioni ideali e con termini cinetici trascurabili.

Trasformazione isocora, \(V \) cost. La condizione di volume costante e sistema chiuso - massa costante - in condizioni di grandezze fisiche uniformi nello spazio corrisponde alla condizione di densità costante,

\[\rho = \frac{m}{V} = \frac{\overline{m}}{\overline{V}} = \overline{\rho} \ .\]

La legge dei gas quindi impone un legame lineare tra pressione e temperatura del sistema durante la trasformazione, \(P = \overline{\rho} R_g T\).

Il lavoro è identicamente nullo, \(d L^ì = 0\) e quindi la variazione di energia corrisponde alla variazione di calore immesso nel sistema

\[T dS = \delta Q^e = d E = m c_v dT \ ,\]

da cui si può ricavare la variazione di entropia in funzione della variazione della temperatura,

\[d S = m c_v \dfrac{d T}{T} \qquad \rightarrow \qquad \Delta S_{12} = m c_v \ln \dfrac{T_2}{T_1} \ .\]

La trasformazione può essere rappresentata nei piani termodinamici \(P-V\) e \(T-S\) come delle curve parametrizzabili con un parametro libero,

\[P = \overline{\rho} R T\]
\[e_2 - e_1 = c_v (T_2 - T_1) = \frac{c_v}{\overline{\rho} R} (P_2 - P_1)\]
\[d s = c_v \dfrac{dT}{T} \quad \rightarrow \quad s_2 - s_1 = c_v \ln \frac{T_2}{T_1} \]
\[d s = c_v \dfrac{dP}{P} \quad \rightarrow \quad s_2 - s_1 = c_v \ln \frac{P_2}{P_1} \]

Trasformazione isoterma, \(T \) cost. Per una tasformazione isoterma \(P = \rho R_g \overline{T} = \frac{\overline{m}}{V} R_g \overline{T}\). La variazione di energia interna è nulla, poiché \(dT = 0\) implica \(d E = m c_v dT = 0\). Seque quindi che il lavoro fatto dal sistema è uguale al calore immesso in esso. Nel caso ideale

\[\overline{T} dS = \delta Q^{e} = \delta L = P dV \ ,\]

da cui si può ricavare la variazione di entropia come

\[d S = \overline{m} R_g \dfrac{d V}{V} \qquad \rightarrow \qquad \frac{Q_{12}}{\overline{T}} = \Delta S_{12} = \overline{m} R_g \ln \frac{V_2}{V_1} \ .\]

La trasformazione può essere rappresentata nei piani termodinamici \(P-V\) e \(T-S\) come delle curve parametrizzabili con un parametro libero,

\[P = \rho R \overline{T}\]
\[e_2 = e_1 = c_v \overline{T}\]
\[d s = R \dfrac{d\rho}{\rho} \quad \rightarrow \quad s_2 - s_1 = R \ln \frac{\rho_2}{\rho_1} = - R \ln \frac{V_2}{V_1} \]
\[d s = R \dfrac{d P }{P } \quad \rightarrow \quad s_2 - s_1 = R \ln \frac{P_2}{P_1} \]

Trasformazione isobara, \(P \) cost.

…

La trasformazione può essere rappresentata nei piani termodinamici \(P-V\) e \(T-S\) come delle curve parametrizzabili con un parametro libero,

\[\overline{P} = \rho R T\]
\[e_2 - e_1 = c_v (T_2 - T_1) = \frac{c_v}{R} \overline{P} (V_2 - V_1)\]
\[d s = c_P \dfrac{d\rho}{\rho} \quad \rightarrow \quad s_2 - s_1 = c_P \ln \frac{\rho_2}{\rho_1} = - c_P \ln \frac{V_2}{V_1} \]
\[d s = c_P \dfrac{d T }{T } \quad \rightarrow \quad s_2 - s_1 = c_P \ln \frac{T_2}{T_1} \]

Trasformazione isentropica, \(S \) cost. Una trasformazione isentropica - adiabatica ideale con \(\delta Q = 0\), \(\delta^+ D = 0\), \(\delta S = 0\) - la variazione di energia interna del sistema è uguale al lavoro fatto sul sistema

\[- P dV = \delta L^e = d E = \overline{m} c_v d T \ ,\]

da cui

\[0 = ds = - R \frac{d P}{P} + c_P \frac{d T}{T} = c_v \frac{d P}{P} - c_P \frac{d \rho}{\rho} = - R \frac{d \rho}{\rho} + c_v \frac{d T}{T} \]
\[\begin{split}\begin{aligned} \left(\frac{P_2}{P_1} \right) & = \left(\frac{\rho_2}{\rho_1} \right)^{\gamma} \\ \left(\frac{P_2}{P_1} \right) & = \left(\frac{T_2}{T_1} \right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}} \\ \left(\frac{\rho_2}{\rho_1}\right) & = \left(\frac{T_2}{T_1} \right)^{\frac{1}{\gamma-1}} \\ \end{aligned}\end{split}\]

avendo usato le relazioni

\[c_P - c_v = R\]
\[\gamma = \frac{c_P}{c_v}\]

per calcolare i rapporti

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{c_P}{c_v} & = \gamma \\ \frac{c_P}{R} & = \frac{\gamma}{\gamma - 1} \\ \frac{c_v}{R} & = \frac{1}{\gamma - 1} \\ \end{aligned}\end{split}\]

…