17.5. Secondo principio della termodinamica - enunciato di Clausius

L’enunciato di Clausis del secondo principio della termodinamica può essere formulato in maniera abbastanza naturale con il formalismo introdotto. Esistono altri due celebri enunciati del secondo principio della termodinamica, l’enunciato di Planck e di Kelvin, che verranno presentati nell’ambito delle macchine termiche.

17.5.1. Sistemi semplici

La variazione elementare di entropia \(d S\) di un sistema semplice chiuso a temperatura uniforme \(T\) è maggiore o uguale al rapporto tra il flusso di calore elementare introdotto nel sistema e la temperatura del sistema stesso,

\[dS = \underbrace{\dfrac{\delta^+ D}{T}}_{\ge 0} + \dfrac{\delta Q^{ext}}{T} \ge \dfrac{\delta Q^{ext}}{T} \ .\]

Questo è l’enunciato di Clausius del secondo principio della termodinamica per sistemi semplici con temperatura omogenea.

17.5.2. Sistemi composti

todo definizione di sistema composto. Avviene conduzione tra i sotto-sistemi.

L’entropia in termodinamica classica è una grandezza fisica estensiva: l’entropia di un sistema composto da \(N\) sotto-sistemi semplici è la somma dell’entropia dei sotto-sistemi,

\[S = \sum_{n=1:N} S_n \ .\]

Il bilancio dell’entropia del singolo sotto-sistema che scambia calore con gli altri sotto-sistemi e l’ambiente esterno viene scritto come

\[\begin{split}\begin{aligned} dS_i & = \dfrac{\delta Q^{ext,i}_i}{T_i} + \dfrac{\delta^+ D_i}{T_i} = \\ & = \dfrac{\delta Q^{ext}_i}{T_i} + \dfrac{\sum_{k \ne i} \delta Q_{ik}}{T_i} + \dfrac{\delta^+ D_i}{T_i} \ge \\ & \ge \dfrac{\delta Q^{ext}_i}{T_i} + \dfrac{\sum_{k \ne i} \delta Q_{ik}}{T_i} \ . \end{aligned}\end{split}\]

Il bilancio dell’entropia dell’intero sistema viene ricavato sommando i bilanci dell’entropia dei singoli sotto-sistemi,

\[\begin{split}\begin{aligned} dS & = \sum_i d S_i \ge \\ & \ge \sum_i \left\{ \dfrac{\delta Q^{ext}_i}{T_i} + \dfrac{\sum_{k \ne i} \delta Q_{ik}}{T_i} \right\} = \\ & = \sum_i \dfrac{\delta Q^{ext}_i}{T_i} + \underbrace{\sum_{\left\{i,k\right\}} \delta Q_{ik} \left( \dfrac{1}{T_i} - \dfrac{1}{T_k} \right)}_{\ge 0} \ge \\ & \ge \sum_i \dfrac{\delta Q^{ext}_i}{T_i} \ . \end{aligned}\end{split}\]

avendo usato la relazione che rappresenta la tendenza naturale della trasmissione del calore «da un sistema a temperatura maggiore a un sistema a temperatura minore»,

\[\delta Q_{ik} \left( \dfrac{1}{T_i} - \dfrac{1}{T_k} \right) \ge 0 \ .\]

todo aggiungere riferimento alla tendenza naturale nella trasmissione del calore

17.5.3. Aumento dell’entropia nell’universo

Se consideriamo l’universo come il sistema chiuso e isolato (ma sarà vero? E chi lo sa? Forse è sensato che lo sia, ma tante cose che sembrano sensate oggi saranno fregnacce tra qualche anno) formato da un sistema di interesse \(sys\) e dall’ambiente esterno \(env\).

La variazione dell’entropia dell’universo è la somma della variazione nel sistema e nell’ambiente esterno. Si indica con \(\delta Q_{sys,env}\) il flusso di calore che, se positivo, fa aumentare l’energia del sistema e diminuire quella dell’ambiente esterno. Assumendo che i due sotto-sistemi siano internamente omogenei,

\[\begin{split}\begin{aligned} d S^{univ} & = d S^{sys} + d S^{env} = \\ & = \dfrac{\delta Q_{sys,env}}{T^{sys}} + \dfrac{\delta Q_{env,sys}}{T^{env}} = \\ & = \dfrac{\delta Q_{sys,env}}{T^{sys}} - \dfrac{\delta Q_{sys,env}}{T^{env}} = \\ & = \delta Q_{sys,env} \left( \dfrac{1}{T^{sys}} - \dfrac{1}{T^{env}} \right) \ge 0 \ , \end{aligned}\end{split}\]

si ottiene la relazione

\[dS^{univ} \ge 0 \ ,\]

che prevede la «non-diminuzione» dell’entropia dell’universo.