21.2. Soluzioni elementari dell’equazione delle onde#

Distinguere soluzioni dell’equazione omogenea e dell’equazione forzata

Vengono qui discusse alcune soluzioni elementari dell”equazione lineare delle onde. In un problema lineare, una soluzione qualsiasi può essere ottenuta come somma di soluzioni elementari, sfruttando il principio di sovrapposizione delle cause e degli effetti (todo-list:PSCE): un segnale generico e la sua evoluzione può quindi essere studiato come somma di segnali semplici che evolvono in maniera indipendente l’uno dall’altro (todo-list:analisi di Fourier)

In particolare, vengono alcune soluzioni elementari in domini 1-dimensionali, nella forma di onde stazionarie o onde viaggianti, e in domini 3-dimensionali, nella forma di onde piane e onde sferiche.

Per ognuna di queste perturbazioni elementari1 prese singolarmente è possibile definire una lunghezza d’onda (o in 3d un vettore d’onda locale che indica la direzione della propagazione), una frequenza e la velocità della perturbazione.

Alcuni esempi sono riportati nella sezione delle Note in fondo al capitolo.

21.2.1. Dominio 1-dimensionale#

21.2.1.1. Onde stazionarie#

Una soluzione generica dell’equazione delle onde può essere scritta come somma di onde stazionarie nella forma

\[f_n(x) = \cos(k_n x + \phi_n) \ ,\]

modulate da un’ampiezza

\[g_n(t) = \cos(\omega_n t + \gamma_n) \ ,\]

con \(\omega_n = c k_n\). Una funzione \(u_n(x,t) = f_n(x) g_n(t)\) è soluzione dell’equazione delle onde.

Dimostrazione

Per dimostrare che la funzione \(f_n(x) g_n(t)\) è una soluzione dell’equazione delle onde, è sufficiente valutarne le derivate seconde rispetto al tempo e allo spazio, e sostituirne le espressioni nell’equazione delle onde per ottenere un’identità,

\[\begin{split}\begin{aligned} \partial_{tt} u & = \partial_{tt} \left( f_n(x) g_n(t) \right) = f_n(x) \ddot{g}_n(t) = - \omega_n^2 u \\ \partial_{xx} u & = \partial_{xx} \left( f_n(x) g_n(t) \right) = f''_n(x) g_n(t) = - k_n^2 u \\ \end{aligned}\end{split}\]

così che \(\partial_{tt} u - c^2 \partial_{tt} u = \left( -\omega_n^2 + c^2 k_n^2 \right) u = 0\) se è soddisfatta la relazione tra la pulsazione \(\omega_n\) e il vettore d’onda \(k_n\), \(\omega_n = c k_n\).

21.2.1.2. Onde viaggianti#

Utilizzando le proprietà delle funzioni trigonometriche, la funzione \(u_n(x,t) = f_{n}(x) g_n(t)\) può essere scritta come somma di due onde viaggianti con velocità \(c\),

(21.3)#\[u_n(x,t) = f_n(x) g_n(t) = A_n^{-}(x+ct) + A_n^{+}(x-ct) \ .\]
Dimostrazione
\[\begin{split}\begin{aligned} u_n(x,t) & = f_n(x) g_n(t) = \\ & = \cos(k_n x + \phi_n) \cos (\omega_n t + \gamma_n) = \\ & = \frac{1}{2} \cos(k_n x + \omega_n t + \phi_n + \gamma_n) + \frac{1}{2} \cos(k_n x - \omega_n t + \phi_n - \gamma_n) = \\ & = \frac{1}{2} \cos(k_n( x + c t) + \theta^-_n) + \frac{1}{2} \cos(k_n( x - c t) + \theta^+_n) = \\ & = A_n^-(x+ct) + A_n^{+}(x+ct) \end{aligned}\end{split}\]

Definition 21.1 (Pulsazione \(\omega_n\) e frequenza \(f_n\))

Il parametro \(\omega_n\) di una soluzione elementare viene definita pulsazione. La frequenza della soluzione elementare è definita come l’inverso del periodo della soluzione elementare \(f_n = \frac{1}{T_n}\), e può essere espresso in funzione della pulsazione come \(f_n = \frac{\omega_n}{2\pi}\).

Definition 21.2 (Vettore d’onda \(k_n\) e lunghezza d’onda \(\lambda_n\))

Il parametro \(k_n\) di una soluzione elementare viene definita vettore d’onda. La lunghezza d’onda rappresenta la distanza tra due massimi consecutivi di soluzione elementare e la sua relazione con il vettore d’onda è \(\lambda_n = \frac{2 \pi }{k_n}\).

Il carattere vettoriale del vettore d’onda appare evidente nei domini multi-dimenisonali, nei quali le soluzioni elentari possono essere espresse come funzione dell’argomento \(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t\). Il vettore d’onda \(\vec{k}\) è un’indicazione della direzione locale di propagazione della perturbazione elementare.

Definition 21.3 (Velocità di propagazione delle perturbazioni)

La velocità di propagazione delle perturbazioni governate dall’equazione delle onde (21.1) è \(c\). Il suo significato è evidente nell’espressione (21.3) delle onde viaggianti, ed è uguale al rapporto tra la lunghezza d’onda e la frequenza di una soluzione elementare \(c = \frac{\omega_n}{k_n}\).

La frequenza di una perturbazione in un problema lineare è tipicamente determinata dalla frequenza della sorgente della perturbazione (todo-list:analisi di Fourier), poiché i sistemi lineari rispondono con la stessa frequenza della forzante. La velocità delle perturbazioni è una caratteristica del mezzo. La lunghezza d’onda del sistema è quindi lo spazio percorso da una perturbazione, in un periodo della forzante \(T\) (intervallo di tempo che separa due massimi del disturbo esterno, e quindi della perturbazione),

\[\lambda = c T \ .\]

Usando le relazioni tra lunghezza d’onda e vettore d’onda \(\lambda = \frac{2 \pi}{k_n}\), e tra periodo e puslazione \(T_n = \frac{2 \pi}{\omega_n}\), si ottiene di nuovo

\[\omega_n = c k_n \ .\]

21.2.2. Dominio 3-dimensionale#

Onde sferiche. Un’onda sferica prodotta da una sorgente puntiforme in un dominio 3-dimensionale può essere rappresentata usando un sistema di coordinate sferiche come

\[f(r,t) = \dfrac{A(r-ct)}{r}\]

avendo scelto l’origine del sistema di coordinate, \(r=0\), in corrispondenza della sorgente puntiforme.

Causalità e direzione di propagazione delle perturbazioni

A differenza dell’espressione delle onde viaggianti nel caso 1-dimensionale, nell’espressione delle onde sferiche prodotte da una sorgente puntiforme è presente solo un tipo di onda

1

In generale, questa operazione può essere svolta localmente per una soluzione qualisasi delle onde, nel limite di lunghezza d’onda molto minore delle dimensioni caratteristiche del problema. Questa approssimazione viene definita approssimazione eikonale ed è all’origine dell’approccio geometrico ai fenomeni ondulatori, come l’acustica geometrica o l”ottica geometrica.