11.4. Problemi#
Questa pagina contiene esercizi sull’inerzia dei sistemi meccanici, con valutazione dell’impulso, del momento angolare, dell’energia cinetica, e del tensore di inerzia. Gli esercizi riguardano punti materiali, sistemi di punti materiali e distribuzioni di massa continua, con applicazioni del teorema del trasporto di Huygens in alcuni casi.
11.4.1. Punti Materiali#
Exercise 11.1 (Momento di Inerzia di un Punto)
Un punto materiale di massa \(m = 5 \, \text{kg}\) si trova a una distanza \(r = 3 \, \text{m}\) da un asse di rotazione. Calcola il momento di inerzia di questo punto rispetto a tale asse.
Exercise 11.2 (Energia Cinetica di un Punto in Rotazione)
Un punto materiale di massa \(m = 5 \, \text{kg}\) è in rotazione attorno a un asse con velocità angolare \(\omega = 4 \, \text{rad/s}\). Calcola la sua energia cinetica rotazionale.
Exercise 11.3 (Impulso e Momento Angolare di un Punto)
Un punto materiale di massa \(m = 3 \, \text{kg}\) si muove lungo una traiettoria circolare di raggio \(r = 2 \, \text{m}\) con velocità lineare \(v = 6 \, \text{m/s}\). Calcola l’impulso e il momento angolare rispetto al centro della traiettoria.
Exercise 11.4 (Legge di Conservazione del Momento Angolare)
Un corpo di massa \(m = 2 \, \text{kg}\) ruota con velocità angolare \(\omega_1 = 5 \, \text{rad/s}\) e raggio \(r = 1 \, \text{m}\). Successivamente, il corpo subisce una variazione di massa che porta a \(m = 4 \, \text{kg}\), mantenendo costante la sua velocità angolare. Calcola il nuovo momento angolare.
Exercise 11.5 (Energia Cinetica e Momento Angolare)
Un punto materiale di massa \(m = 2 \, \text{kg}\) ruota attorno a un asse con velocità angolare \(\omega = 6 \, \text{rad/s}\) a una distanza \(r = 4 \, \text{m}\). Calcola l’energia cinetica e il momento angolare.
11.4.2. Sistemi di Punti Materiali#
Exercise 11.6 (Momento di Inerzia di un Sistema di Punti)
Tre masse, \(m_1 = 2 \, \text{kg}\), \(m_2 = 3 \, \text{kg}\), e \(m_3 = 4 \, \text{kg}\), sono disposte su un piano cartesiano nelle seguenti posizioni: \((1, 0)\), \((0, 2)\), e \((-1, -1)\). Calcola il momento di inerzia totale del sistema rispetto all’asse \(z\) (perpendicolare al piano).
Exercise 11.7 (Momento Angolare di un Sistema di Punti)
Un sistema di tre masse, \(m_1 = 1 \, \text{kg}\), \(m_2 = 2 \, \text{kg}\), e \(m_3 = 3 \, \text{kg}\), si muove su traiettorie circolari di raggi rispettivamente \(r_1 = 2 \, \text{m}\), \(r_2 = 3 \, \text{m}\), e \(r_3 = 4 \, \text{m}\). Se le velocità tangenziali sono \(v_1 = 5 \, \text{m/s}\), \(v_2 = 6 \, \text{m/s}\), e \(v_3 = 7 \, \text{m/s}\), calcola il momento angolare totale del sistema rispetto all’origine.
Exercise 11.8 (Energia Cinetica di un Sistema di Punti)
Un sistema di 4 masse, disposte lungo un’asse \(x\), ha masse \(m_1 = 2 \, \text{kg}\), \(m_2 = 3 \, \text{kg}\), \(m_3 = 4 \, \text{kg}\), e \(m_4 = 5 \, \text{kg}\) a distanze rispettivamente di \(r_1 = 1 \, \text{m}\), \(r_2 = 2 \, \text{m}\), \(r_3 = 3 \, \text{m}\), e \(r_4 = 4 \, \text{m}\). Calcola l’energia cinetica totale del sistema, considerando che tutte le masse si muovono con velocità angolare uniforme \(\omega = 3 \, \text{rad/s}\).
Exercise 11.9 (Momento di Inerzia di un Sistema di Punti in Movimento)
Un sistema di masse \(m_1 = 3 \, \text{kg}\) e \(m_2 = 4 \, \text{kg}\) si muovono su traiettorie circolari con raggi \(r_1 = 2 \, \text{m}\) e \(r_2 = 3 \, \text{m}\) rispettivamente. Calcola il momento di inerzia del sistema rispetto a un asse passante per l’origine.
Exercise 11.10 (Teorema del Trasporto di Huygens)
Un sistema di punti materiali con masse \(m_1 = 2 \, \text{kg}\), \(m_2 = 3 \, \text{kg}\) e \(m_3 = 4 \, \text{kg}\) ruota attorno a un asse con velocità angolare \(\omega = 2 \, \text{rad/s}\). Il sistema si sposta di \(3 \, \text{m}\) lungo l’asse \(x\). Usa il teorema del trasporto di Huygens per calcolare la variazione dell’energia cinetica durante il trasporto.
11.4.3. Sistemi con Distribuzione Continua di Massa#
Exercise 11.11 (Momento di Inerzia di un Disco)
Calcola il momento di inerzia di un disco di massa \(m = 10 \, \text{kg}\) e raggio \(R = 5 \, \text{m}\) rispetto all’asse centrale e perpendicolare al piano del disco.
Exercise 11.12 (Energia Cinetica di un Disco in Rotazione)
Un disco di massa \(m = 8 \, \text{kg}\) e raggio \(R = 4 \, \text{m}\) ruota con una velocità angolare \(\omega = 6 \, \text{rad/s}\). Calcola la sua energia cinetica totale.
Exercise 11.13 (Momento Angolare di un Corpo Rigido)
Un corpo rigido ruota attorno a un asse con velocità angolare \(\omega = 4 \, \text{rad/s}\). Se la massa totale del corpo è \(m = 6 \, \text{kg}\) e il raggio di rotazione medio è \(r = 2 \, \text{m}\), calcola il momento angolare del corpo.
Exercise 11.14 (Energia Cinetica di un Corpo Rigido in Rotazione e Traslazione)
Un corpo rigido di massa \(m = 5 \, \text{kg}\) e raggio \(r = 3 \, \text{m}\) si muove in traslazione con velocità \(v = 2 \, \text{m/s}\) e ruota attorno a un asse con velocità angolare \(\omega = 4 \, \text{rad/s}\). Calcola l’energia cinetica totale del corpo.
Exercise 11.15 (Momento di Inerzia di una Barra)
Calcola il momento di inerzia di una barra di lunghezza \(L = 2 \, \text{m}\) e massa \(m = 4 \, \text{kg}\) rispetto a un asse che passa per un’estremità e perpendicolare alla barra.
Exercise 11.16 (Energia Cinetica di una Barra in Rotazione)
Una barra di massa \(m = 3 \, \text{kg}\) e lunghezza \(L = 2 \, \text{m}\) ruota con velocità angolare \(\omega = 5 \, \text{rad/s}\) attorno a un asse perpendicolare alla barra e situato al suo centro di massa. Calcola l’energia cinetica totale.
Exercise 11.17 (Momento di Inerzia di un Solido)
Calcola il momento di inerzia di un cilindro solido di massa \(m = 12 \, \text{kg}\) e raggio \(R = 3 \, \text{m}\) rispetto a un asse che passa attraverso il centro e perpendicolare al piano del cilindro.
Exercise 11.18 (Teorema del Trasporto di Huygens Applicato a un Solido)
Un cilindro solido ruota con velocità angolare \(\omega = 4 \, \text{rad/s}\) attorno a un asse passante per il suo centro. Calcola la variazione dell’energia cinetica se il cilindro si sposta lungo l’asse \(x\) di \(2 \, \text{m}\) utilizzando il teorema del trasporto di Huygens.
Exercise 11.19 (Momento di Inerzia di un Solido Sottile)
Un oggetto sottile e rigido di massa \(m = 6 \, \text{kg}\) e lunghezza \(L = 3 \, \text{m}\) ha una distribuzione di massa lineare uniforme. Calcola il momento di inerzia rispetto a un asse perpendicolare al piano e situato al centro dell’oggetto.
Exercise 11.20 (Energia Cinetica di un Corpo Rotante)
Un corpo rigido di massa \(m = 15 \, \text{kg}\) e momento di inerzia $I =