24.2. Corrente elettrica#

24.2.1. Definizioni#

Definition 24.2 (Corrente elettrica)

La corrente elettrica (attraverso una superficie \(S\), in un dato istante di tempo \(t\)) può essere definita come il flusso di carica elettrica \(\Delta Q\) che attraversa una supercie in un intervallo di tempo \(\Delta t\), al tendere di \(\Delta t\) a zero.

A seconda del livello di dettaglio necessario, si può dare una descrizione microscopica o macroscopica della corrente elettrica. Localmente, è possibile definire una densità macroscopica di carica elettrica

\[\lim_{\Delta V(P) \rightarrow 0} \dfrac{\sum_{k \in \Delta V(P)} q_k}{\Delta V} = \rho(P)\]

e una densità macroscopica di corrente elettrica come la media pesata delle velocità delle cariche, \(\vec{v}\),

\[\lim_{\Delta V(P) \rightarrow 0} \dfrac{\sum_{k \in \Delta V(P)} q_k \vec{v}_k}{\Delta V_P} = \vec{j}(P)\]

La corrente elettrica attraverso una superficie \(S\) viene definita come il flusso di carica elettrica attraverso la superficie \(S\),

\[i = I_{S} = \Phi_{S}(\vec{j}) \ .\]

24.2.1.1. Densità di corrente elettrica#

Definition 24.3 (Densità di corrente elettrica)

\[\lim_{\Delta V(P) \rightarrow 0} \dfrac{\sum_{k \in \Delta V(P)} q_k \vec{v}_k}{\Delta V_P} = \vec{j}(P)\]

Nota

E” possibile - anzi è molto comune - misurare corrente elettrica anche in materiali elettricamente neutri. Ad esempio, la conduzione elettrica in solidi conduttori avviene per il moto medio degli elettroni liberi di conduzione, mentre i nuclei positivi sono in media fermi. I gas conducono corrente elettrica solo se sottoposti a un campo elettrico sufficentemente intenso da separare alcuni elettroni dai nuclei degli atomi: quello che si forma è un gas ionizzato, o plasma, e la corrente elettrica è il risultato del moto in una direzione degli elettroni (negativi) e nella direzione opposta degli ioni positivi - i nuclei ai quali è stato strappato qualche \(e^-\).

Nell’ipotesi di avere due sostanze diverse con densità di carica carica \(\rho^+\), \(\rho^-\) e velocità media delle due sostanze \(\vec{v}^+\), \(\vec{v}^-\), la corrente densità di corrente elettrica è

\[\vec{j} = \rho \vec{v} = \rho^+ \vec{v}^+ + \rho^- \vec{v}^- \ . \]

Nel caso in cui il materiale sia neutro, la densità di carica elettrica è nulla, \(0 = \rho = \rho^+ + \rho^- =\) e quindi \(\rho^+ = - \rho^-\) e la densità di corrente elettrica può essere scritta come \(\vec{j} = \rho^- (\vec{v}^- - \vec{v}^+)\).

Example 24.18 (Corrente in un cavo elettrico di piccola sezione)

Modello di cavo elettrico usato nell”approssimazione circuitale…

24.2.2. Principio di conservazione della carica elettrica#

Il principio di conservazione della carica elettrica afferma che la carica elettrica non si crea né si distrugge. E” quindi possibile scrivere il bilancio di carica elettrica per un volume \(V\),

(24.3)#\[\dot{Q}_V = - \Phi_{\partial V}(\vec{j}) = - i_{\partial V} \ .\]

La variazione di carica elettrica per unità di tempo contenuta all’interno del volume è uguale alla carica elettrica netta entrante nel volume attraverso la sua superficie, cioè la corrente elettrica attraverso la sua superficie \(\partial V\).

In parole povere, la differenza di carica elettrica tra due istanti del sistema è uguale alla carica che è entrata meno la carica che è uscita.

  • todo esempi/esercizi con misura della corrente e della carica elettrica, con strumenti di misura (misura o modello di strumento, come bilance)

24.2.3. Corrente elettrica nella materia#

In questa sezione viene discussa la conduzione della carica elettrica nella materia. Diversi materiali hanno proprietà e meccanismi di conduzione molto differenti, (facilmente) spiegabili con una descrizione del fenomeno a livello microscopico. Così, molto velocemnte:

  • i solidi conduttori (metalli,…) hanno ottime proprietà di conduzione, dovute alla presenza di elettroni (di conduzione) condivisi tra tutti gli atomi del materiale, non localizzati ma liberi di muoversi all’interno del materiale. L’applicazione di un campo elettrico di intensità modesta ne causa facilmente il moto, e quindi il materiale dimostra una buona conduzione.

  • i solidi isolanti: non ci sono cariche libere condivise, facili da muovere con l’applicazione di un campo elettrico di intensità modesta; se sottoposto a campi elettrici intensi, oltre la rigidità del dielettrico, si possono verificare scariche all’interno del mezzo

  • liquidi…

  • gas neutri, in assenza di portatori di carica liberi, le molecole del gas sono elettricamente neutre e il mezzo si comporta da isolante perfetto. E” necessaria una causa esterna, spesso un campo elettrico elevato (o anche temperatura?), che produca la ionizzazione di alcune delle molecole del gas, cioè la separazione di elettroni dalla restante parte dell’atomo (che diventa uno ione, con carica elettrica positiva). Un gas ionizzato costituito da elettroni e ioni liberi con carica netta nulla è definito plasma

24.2.3.1. Solidi conduttori#

Conduttori. I solidi hanno una struttura microscopica con gli atomi disposti in un reticolo, senza libertà di movimento medio, con alcuni elettroni non localizzati attorno al singolo atono, ma «condivisi» e libersi di muoversi tra tutti gli atomi del solido: queste cariche elettriche libere di muoversi permettono una buona conduzione di corrente elettrica, e vengono chiamati elettroni di conduzione.

Senza «forzanti esterne», come ad esempio campi elettrici, il moto degli elettroni di conduzione non ha direzioni privilegiate: poiché il moto delle cariche libere è casuale senza direzioni privilegiate, la velocità media è nulla (la velocità è una grandezza vettoriale!) e la corrente elettrica è nulla. Se le velocità delle cariche libere ha una direzione preferenziale, la loro velocità media, \(\vec{v}^-\), e quindi la corrente elettrica, non è nulla. Se il solido di interesse è in quiete rispetto all’osservatore, allora le cariche elettriche positive hanno \(\vec{v}^+ = \vec{0}\), e la densità di corrente elettrica diventa \(\vec{j} = \rho^- \vec{v}^-\).

24.2.3.1.1. Conduttori di Ohm#

Definition 24.4 (Conduttore di Ohm - legge di Ohm in forma locale)

In un conduttore di Ohm, il campo elettrico \(\vec{e}(\vec{r},t)\) è proporzionale alla densità di corrente elettrica \(\vec{j}(\vec{r},t)\). Per un solido isotropo, senza direzioni preferenziali, la forma locale - differenziale - della legge di Ohm:

(24.4)#\[ \vec{j}(P) = \sigma(P) \, \vec{e}(P) \qquad \ , \qquad \vec{e}(P) = \rho_R(P) \, \vec{j}(P) \]

essendo la resistività \(\rho_R\), e la conduttanza \(\sigma = \frac{1}{\rho_R}\) le costanti di proporzionalità, caratteristiche del materiale.

In un cavo elettrico, nell’ipotesi di grandezze uniformi sulla sezione - o riferendosi alle grandezze medie -, si può integrare la legge in forma locale su un tratto di lunghezza elementare, \(d \ell\),

\[\begin{split}\begin{aligned} \underbrace{e \, d \ell}_{- d v} \, A & = \rho_R \, \underbrace{j \, A}_{i} \, d \ell \\ \rightarrow \quad dv & = - \dfrac{\rho_R \, d \ell}{A} \, i = - dR \, i \ , \end{aligned}\end{split}\]

avendo introdotto la differenza di potenziale elementare \(d v\) tra gli estremi del tratto di cavo elementare, proporzionale alla corrente che transita nel cavo tramite la resistenza elettrica elementare \(dR\).

Queste relazioni che ben descrivono il comportamento di cavi elettrici conduttori in un ampio regime di funzionamento, sono le leggi Ohm.

Definition 24.5 (Leggi di Ohm per cavi elettrici)

Prima legge di Ohm. La differenza di potenziale \(dv\) agli estremi di un cavo di lunghezza elementare \(d \ell\) è proporzionale alla corrente \(i\)che passa nel conduttore, tramite la resistenza elettrica elementare, \(d R\),

(24.5)#\[dv = - dR \, i \ .\]

Per componenti di lunghezza \(\ell\) e resistenza \(R\) finita, l’equazione (24.5) diventa

(24.6)#\[\Delta v = - R \, i \ .\]

Seconda legge di Ohm. La resistenza elettrica di un cavo è direttamente proporzionale alla resistività del materiale, alla lunghezza del cavo, e inversamente proporzionale alla sezione del cavo,

(24.7)#\[dR = \frac{\rho_R \, d\ell}{A} \ .\]

Nel caso di proprietà omogenee in un resistore di lunghezza \(\ell\), la sua resistenza vale

\[R = \int d R = \int_{\ell} \frac{\rho_R}{A} d \ell = \dfrac{\rho_R \ell}{A} \ .\]

Example 24.19 (Effetto della temperatura sulla resistenza)

Assumendo una relazione lineare tra la resistività di un materiale e la sua temperatura,

\[\rho_R(T) = \rho_{R,0} \left[ 1 + r (T - T_0) \right] \ ,\]

e usando la definizione di coefficiente di dilatazione lineare \(\lambda = \frac{1}{L}\frac{\partial L}{\partial T}\) per esprimere la variazione delle dimensioni geometriche del resistore,

\[\begin{split}\begin{aligned} L(T) & = L_0 \left[ 1 + \lambda (T-T0) \right] \\ A(T) & = A_0 \left[ 1 + 2 \lambda (T-T0) \right] \\ \end{aligned}\end{split}\]

si può esprimere la dipendenza della resistenza elettrica in funzione della temperatura,

\[\begin{split}\begin{aligned} R = \dfrac{\rho_R \ell}{A} & = \dfrac{\rho_{R,0} \ell_0}{A_0} \frac{\left( 1 + r \Delta T\right)\left( 1 + \lambda \Delta T \right)}{1 + 2 \lambda \Delta T} \sim \\ & = \dfrac{\rho_{R,0} \ell_0}{A_0} \left[ 1 + \left( r - \lambda \right) \Delta T \right] = \\ & = R_0 \left[ 1 + \left( r - \lambda \right) \Delta T \right] \ , \end{aligned}\end{split}\]

essendosi affidati alla bontà di un’approssimazione in serie al primo ordine per \(\lambda \Delta T\) «piccoli» per scrivere \(\frac{1}{1 + 2 \lambda \Delta T} \sim 1 - 2 \lambda \Delta T + o(\Delta T)\). E” quindi possibile riconoscere la sensibilità della resistenza elettrica di un semplice resistore alla variazione di temperatura,

\[\frac{R(T)- R(T_0)}{R(T_0)} = (r - \lambda) \Delta T \ .\]

24.2.3.2. Solidi dielettrici#

I fenomeni elettromagnetici nei solidi possono essere rappresentati come sovrapposizione degli effetti dovuti a cariche elettriche di natura diversa:

  • cariche libere di muoversi all’interno della struttura del materiale (come gli elettroni di conduzione nei metalli)

  • cariche vincolate al reticolo degli atomi, che si manifestano sotto forma di polarizzazione e magnetizzazione del materiale, come risposta del materiale a un campo elettromagnetico esterno.

todo

24.2.3.3. Conduzione nei gas#

todo blabla

  • fenomeno fisico: ionizzazione; necessario campo elettrico intenso (!)

  • apparati sperimentali: tubo di Crookes, attuatori al plasma,…

  • spiegazione (immediata utilizzando modello atomistico della materia): campo elettrico elevato «strappa» \(e^-\) dagli atomi dei gas (rarefatti). Un atomo inizialmente neutro viene ionizzato: gli elettroni hanno carica negativa, lo ione (l’atomo al quale sono stati sottratti gli elettroni) ha carica positiva. Queste due entità hanno ora carica elettrica netta, e subiscono l’accelerazione dovuta all”interazione con un campo elettrico \(\vec{F} = q \vec{e}\) agente sulle particelle cariche. L’equazione del moto è \(m \ddot{r} = q \vec{e}\). Il moto di corpi di carica diversa si sviluppa quindi in due direzioni opposte:

    • moto delle cariche positive nella stessa direzione del campo elettrico

    • moto delle cariche negative in direzione opposta al campo elettrico Esperimenti:

  • Goldstein (1886) si concentra sul moto delle cariche positive: tubi di Crookes con sostanze diverse producono «particelle» (todo Goldstein aveva in mente la natura discreta di quello che stava osservando? In quali termini si esprimeva?) con rapporto \(\frac{\text{carica}}{\text{massa}}\) caratteristici della sostanza, ma diversi da sostanza a sostanza. Spiegazione di oggi: gli ioni di sostanze diverse hanno massa e carica che dipendono dalla sostanza di partenza

  • Thomson (1897) si concentra sul moto delle cariche negative, scoprendo che il rapporto \(\frac{\text{massa}}{\text{carica}}\) è indipendente dalla sostanza contenuta nel tubo di Crookes. Viene scoperto/introdotto il concetto di elettrone, come unità di carica «elementare».

  • Rontgen e i raggi X todo link a Rontgen: raggi X, Becquerel: fosforescenza, emissione di raggi e radioattività naturale; coniugi Curie

24.2.3.4. Conduzione nei semiconduttori#

cenni all’elettronica: diodi, transistor, …

24.2.4. Strumenti: misura e generazione#

L”amperometro e il voltmetro sono gli strumenti per la misura della corrente elettrica e della differenza di tensione, rispettivamente. Alcuni semplici modelli - di una versione rudimentale - di questi strumenti è presentata nel prossimo capitolo, quando verranno trattate le azioni meccaniche agenti su un conduttore percorso da corrente elettrica immerso in un campo magnetico, principio fisico sul quale si basano i modelli rudimentali di amperometri e voltmetri.

todo

  • strumenti per misurare corrente e tensione: amperometro e voltmetro

  • generatori di «spinta»: generatori di tensione

  • resistenza al moto: la resistenza elettica