11.2. Inerzia e grandezze dinamiche di un sistema esteso con distribuzione discreta di massa#
11.2.1. Inerzia#
11.2.2. Grandezze dinamiche#
\[\begin{split}\begin{aligned}
\vec{Q} = \sum_i \vec{Q}_i & = \sum_i m_i \, \vec{v}_i \\
\vec{L}_{H} = \sum_i \vec{L}_{i,H} & = \sum_i m_i \, (P_i - H) \times \vec{v}_i \\
K = \sum_i K_i & = \sum_i \frac{1}{2} m_i \left| \vec{v}_i \right|^2
\end{aligned}\end{split}\]
11.2.3. Sistemi rigidi#
Usando la definizione di centro di massa
\[m G = \sum_i m_i P_i\]
e legge del moto rigido
\[\vec{v}_i - \vec{v}_P = \vec{\omega} \times (P_i - P)\]
le quantità dinamiche possono essere espresse in funzione della velocità del punto di riferimento \(P\) e della velocità angolare del sistema, tramite la massa e le altre quantità inerziali
la quantità di moto
\[\begin{split}\begin{aligned}
\vec{Q} = \sum_i m_i \vec{v}_i
& = \sum_i m_i \left( \vec{v}_P + \vec{\omega} \times (P_i - P) \right) = \\
& = m \vec{v}_P + \vec{\omega} \times m (G - P)
\end{aligned}\end{split}\]
momento della quantità di moto
\[\begin{split}\begin{aligned}
\vec{L}_H = \sum_i m_i (P_i - H) \times \vec{v}_i
& = \sum_i m_i \left( P_i - P + \vec{r}_P - \vec{r}_H \right) \times \vec{v}_i = \\
& = \sum_i m_i \left( P_i - P \right) \times \vec{v}_i + \left( P - H \right) \times \vec{Q} = \\
& = \sum_i m_i \left( P_i - P \right) \times \left( \vec{v}_P - \left( P_i - P \right) \times \vec{\omega} \right) + \left( P - H \right) \times \vec{Q} = \\
& = m (G - P) \times \vec{v}_P - \sum_i m_i \left( P_i - P \right) \times \left( \left( P_i - P \right) \times \vec{\omega} \right) + \left( P - H \right) \times \vec{Q} = \\
& = \mathbb{I}_P \cdot \vec{\omega} + m (G - P) \times \vec{v}_P + \left( P - H \right) \times \vec{Q}
\end{aligned}\end{split}\]
Nel caso di moto 2-dimensionale e velocità angolare perpendicolare a questo piano, todo
\[\begin{split}\begin{aligned}
\vec{r}_{i/P} & := P_i - P = \left( x_i - x_P \right) \hat{x} + \left( y_i - y_P \right) \hat{y} \\
\vec{\omega} & = \dot{\theta} \, \hat{z}
\end{aligned}\end{split}\]
\[\begin{split}\begin{aligned}
- \vec{r}_{i/P} \times \left( \vec{r}_{i/P} \times \hat{\omega} \right)
& = - ( \Delta x_i \hat{x} + \Delta y_i \hat{y} ) \times \left[ ( \Delta x_i \hat{x} + \Delta y_i \hat{y} ) \times \dot{\theta} \hat{z} \right] = \\
& = - \dot{\theta} ( \Delta x_i \hat{x} + \Delta y_i \hat{y} ) \times \left( - \Delta x_i \hat{y} + \Delta y_i \hat{x} \right) = \\
& = \left( \Delta x_i^2 + \Delta y_i^2 \right) \dot{\theta} \, \hat{z} \ .
\end{aligned}\end{split}\]
e l’espressione del momento della quantità di moto diventa
\[\vec{L}_{H} = I_P \, \vec{\omega} + m (G - P) \times \vec{v}_P + \left( P - H \right) \times \vec{Q}\]
con
\[I_P = \sum_i m_i \left[ \left(x_i - x_P\right)^2 + \left(y_i - y_P\right)^2 \right]\]