12.7. Collisioni

todo Sistemare il paragrafo: 1) introduzione, 2) definizione di coefficiente di restituzione, 3) urti tra sfere, 4) problemi

Una descrizione dettagliata delle collisioni tra sistemi qualsiasi va ben al di là dello scopo di un primo approccio alla meccanica.

Qui, ci si limiterà allo studio di collisioni che:

• possono essere caratterizzate unicamente da un coefficiente di ritorno, \(\varepsilon\) todo

• avvengono in intervalli di tempo ridotti, al limite nulli

Questi urti comportano delle variazioni finite delle quantità dinamiche in intervalli di tempo finiti, vengono definiti urti impulsivi (todo verificare) e rappresentano un esempio di moto «non regolare», per il quale le equazioni cardinali della dinamica devono essere scritte in forma incrementale.

todo approfondimento su forze impulsive e delta di Dirac?

Tra due istanti temporali immediatamente precedente e immediatamente successivo all’urto tra due sistemi possono essere trascurate tutte le azioni agenti sul sistema complessivo tranne quelle impulsive dovute all”urto, e ad eventuali reazioni vincolari (vedi esercizi),

\[\begin{split}\begin{aligned} \vec{I}^{ext} & = \Delta \vec{Q} \\ \vec{J}_H^{ext} & = \Delta \vec{\Gamma}_H + \Delta \vec{x}_H \times \vec{Q} = \Delta \vec{\Gamma}_{H} \\ L^{ext} + L^{int} & = \Delta K \ , \end{aligned}\end{split}\]

con \(\vec{I}^{ext}\) l’impulso delle forze esterne durante l’urto, \(\vec{J}^{ext}\) l’impulso dei momenti esterni durante l’urto, \(L^{ext}\), \(L^{int}\) il lavoro delle forze esterne e interne durante l’urto.

E” bene osservare che in assenza di forze e momenti impulsivi esterni - anche dovuti a eventuali vincoli - ai due sistemi che collidono, la quantità di moto e il momento della quantità di moto del sistema complessivo si conservano in un urto. Al contrario, in generale, l”energia cinetica non si conserva poiché dipende anche dal lavoro delle azioni interne che includono quelle impulsive scambiate durante l’urto.

Il coefficiente di restituzione \(\varepsilon \in [0, 1]\) caratterizza il tipo di urto e ha una facile interpretazione se l’urto viene studiato usando un sistema di riferimento con orgine il centro di massa del sistema, \(Q\). Le quantità riferite a questo sistema vengono indicate qui con l’apice.

Poiché si è scelto come riferimento il centro di massa, in assenza di forze implusive esterne,

\[\vec{0} = {\vec{p}^-} = {\vec{p}^+} \]

\[\vec{0} = {\vec{p}^-} = {\vec{p}_1^-} + {\vec{p}_2^-} \]

\[\vec{0} = {\vec{p}^+} = {\vec{p}_1^+} + {\vec{p}_2^+} \]

todo distinguere tra componente normale e tangenziale

Il coefficiente di restituzione viene definito come l’opposto del rapporto tra il valore assoluto (todo dovrebbe essere la componente normale, assumento che la componente tangenziale si conservi - oppure trovare anche un modello per la componente tangenziale, dovuta ad attrito) della quantità di moto di uno dei due corpi dopo e prima dell’urto,

\[\varepsilon := - \frac{|{\vec{p}_1^{+ '}} |}{|{\vec{p}_1^{- '}} |} = - \frac{{|\vec{p}_2^{+ '}} |}{|{\vec{p}_2^{- '}} |}\]

In termini di energia cinetica, nel sistema di riferimento del centro di massa

\[\begin{split}\begin{aligned} {K^{+ '}} & = \frac{1}{2 m_1} {\vec{p}_1^{+ '}} \cdot {\vec{p}_1^{+ '}} + \frac{1}{2 m_2} {\vec{p}_2^{+ '}} \cdot {\vec{p}_2^{+ '}} = \\ & = \varepsilon^2 \left[ \frac{1}{2 m_1} {\vec{p}_1^{- '}} \cdot {\vec{p}_1^{- '}} + \frac{1}{2 m_2} {\vec{p}_2^{- '}} \cdot {\vec{p}_2^{- '}} \right] = \varepsilon^2 {K^{- '}} \end{aligned}\end{split}\]

12.7.1. Collisione tra due sfere

12.7.1.1. Urto elastico

In questa sezione si studia l’urto elastico tra due sfere rigide di massa \(m\) e raggio \(R\), assumendo che la forza (impulsiva) scambiata tra le due sfere nel momento dell’urto sia normale alla superficie dell’urto. La velocità \(\vec{v}_i\) delle due sfere dopo l’urto può essere scritta in funzione della velocità \(\vec{v}'_i\) prima dell’urto e del vettore unitario \(\hat{n}\) che ha la direzione della congiungente dei due centri delle sfere nel momento dell’impatto,

\[\begin{split}\begin{cases} \vec{v}_1 & = \vec{v}'_1 + \hat{n} \hat{n} \cdot ( \vec{v}'_2 - \vec{v}'_1 ) \\ \vec{v}_2 & = \vec{v}'_2 - \hat{n} \hat{n} \cdot ( \vec{v}'_2 - \vec{v}'_1 ) \ . \end{cases}\end{split}\]

Dettagli

In assenza di forze esterne - o limitandosi all’istante dell’urto, in assenza di forze esterne impulsive - in un urto elastico si conservano sia la quantità di moto del sistema, sia la sua energia cinetica. Si può quindi scrivere

\[\begin{split}\begin{cases} m \vec{v}_1 + m \vec{v}_2 = m \vec{v}'_1 + m \vec{v}'_2 \\ \dfrac{1}{2} m \left| \vec{v}_1 \right|^2 + \dfrac{1}{2} m \left| \vec{v}_2 \right|^2 = \dfrac{1}{2} m \left| \vec{v}'_1 \right|^2 + \dfrac{1}{2} m \left| \vec{v}'_2 \right|^2 \\ \end{cases}\end{split}\]

L’equazione della quantità di moto può essere scritta

\[ \vec{v}_1 - \vec{v}'_1 = - \left( \vec{v}_2 - \vec{v}'_2 \right) \]

e usata nell’equazione dell’energia cinetica

\[\begin{split}\begin{aligned} \left| \vec{v}_1 \right|^2 - \left| \vec{v}'_1 \right|^2 & = \left| \vec{v}'_2 \right|^2 - \left| \vec{v}_2 \right|^2 \\ \left( \vec{v}_1 - \vec{v}'_1 \right) \cdot \left( \vec{v}_1 + \vec{v}'_1 \right) & = - \left( \vec{v}'_2 - \vec{v}_2 \right) \cdot \left( \vec{v}'_2 + \vec{v}_2 \right) \\ \end{aligned}\end{split}\]

La differenza di velocità ha la direzione normale alle due superfici nel punto e nel momento di contatto. Chiamando \(\vec{r}_1\), \(\vec{r}_2\) la posizione dei centri delle sfere nell’istante del contatto, identificato dalla condizione \(|\vec{r}_2 - \vec{r}_1| = 2 R\), il vettore normale è \(\hat{n} = \frac{\vec{r}_2 - \vec{r}_1}{2R}\). La differenza della velocità della sfera 1 dopo e prima dell’urto può quindi essere scritta come

\[\vec{v}_1 - \vec{v}'_1 = \hat{n} \, \hat{n} \cdot ( \vec{v}_1 - \vec{v}'_1 ) = \hat{n} ( v_{1,n} - v'_{1,n} ) = \hat{n} \Delta v_{1,n} \ .\]

Usando questa relazione nell’equazione dell’energia cinetica, si può scrivere

\[\begin{split}\begin{aligned} \Delta v_{1,n} \hat{n} \cdot ( \vec{v}_1 + \vec{v}'_1 ) & = \Delta v_{1,n} \hat{n} \cdot ( \vec{v}_2 + \vec{v}'_2 ) \\ v_{1,n} + v'_{1,n} & = v_{2,n} + v'_{2,n} \ . \end{aligned}\end{split}\]

Mettendo a sistema le due relazioni ricavata dall’equazione della quantità di moto e dall’energia cinetica,

\[\begin{split}\begin{cases} v_{1,n} - v'_{1,n} & = - v_{2,n} + v'_{2,n} \\ v_{1,n} + v'_{1,n} & = v_{2,n} + v'_{2,n} \\ \end{cases}\end{split}\]

si ottengono le relazioni

\[\begin{split}\begin{aligned} v'_{1,n} & = v_{2,n} \\ v'_{2,n} & = v_{1,n} \\ \end{aligned}\end{split}\]

e quindi l’espressione delle velocità dopo l’urto in funzione delle velocità prima dell’urto e del vettore normale \(\hat{n}\),

\[\begin{split}\begin{cases} \vec{v}_1 & = \vec{v}'_1 + \hat{n} \hat{n} \cdot ( \vec{v}'_2 - \vec{v}'_1 ) \\ \vec{v}_2 & = \vec{v}'_2 - \hat{n} \hat{n} \cdot ( \vec{v}'_2 - \vec{v}'_1 ) \\ \end{cases}\end{split}\]

12.7.2. Problemi

todo Aggiungere pendolo di Newton

Collisione tra blocchi su piano orizzontale liscio

Date le masse di due blocchi che scivolano su un piano orizzontale liscio, e le velocità iniziali dei due blocchi, e il coefficiente di restituzione dell’urto, viene chiesto di determinare le velocità dei due blocchi dopo l’urto.

Soluzione.

La posizione e la velocità del centro di massa del sistema sono

\[\begin{split}\begin{aligned} x_C & = \frac{x_1 m_1 + x_2 m_2}{m_1 + m_2} \\ v_C & = \frac{m_1}{m_1+m_2} \dot{x}_1 + \frac{m_2}{m_1+m_2} \dot{x}_2 \\ \end{aligned}\end{split}\]

In assenza di forze esterne parallele alla parete, la velocità del centro di massa del sistema è costante. L’energia cinetica nel sistema di riferimento del centro di massa prima e dopo l’urto vale

\[\begin{split}\begin{aligned} K_- & = \frac{1}{2} m_1 (\dot{x}_1 - v_C)^2 + \frac{1}{2} m_2 (\dot{x}_2 - v_C)^2 = \\ & = \frac{1}{2} m_1 \left( \frac{m_2}{m_1+m_2} (\dot{x}_1 - \dot{x}_2) \right)^2 + \frac{1}{2} m_2 \left( \frac{m_1}{m_1+m_2} (\dot{x}_2 - \dot{x}_1) \right)^2 = \\ & = \frac{1}{2} m_1 m_2 \frac{m_1 + m_2}{(m_1 + m_2)^2} (\dot{x}_1 - \dot{x}_2)^2 = \\ & = \frac{1}{2} \frac{ m_1 m_2}{m_1 + m_2} (\dot{x}_1 - \dot{x}_2)^2 \ . \end{aligned}\end{split}\]

…

In termini di velocità relative

\[\begin{split}\begin{cases} 0 = \mu_1 \dot{x}'_{1,-} + \mu_2 \dot{x}'_{2,-} = \mu_1 \dot{x}'_{1,+} + \mu_2 \dot{x}'_{2,+} \\ \varepsilon^2 \left( \frac{1}{2} \mu_1 \dot{x}^{'2}_{1,-} + \frac{1}{2} \mu_2 \dot{x}^{'2}_{2,-} \right) = \frac{1}{2} \mu_1 \dot{x}^{'2}_{1,+} + \frac{1}{2} \mu_2 \dot{x}^{'2}_{2,+} \end{cases}\end{split}\]

Dalla prima equazione

\[\dot{x}'_{2,+} = - \frac{\mu_1}{\mu_2} \dot{x}'_{1,+} \]

inserita nella seconda

\[\frac{1}{2} \left( \mu_1 + \mu_2 \left( \frac{\mu_1}{\mu_2} \right)^2 \right) \dot{x}^{'2}_{1,+} = \varepsilon^2 K'_-\]

si possono ricavare le velocità relative dopo l’urto,

\[\begin{split}\begin{aligned} \dot{x}'_{1,+} & = \mp \sqrt{ \frac{2 \varepsilon^2 K'_-}{ \mu_1 \left( 1 + \frac{\mu_1}{\mu_2} \right)} } \\ \dot{x}'_{2,+} & = \pm \sqrt{ \frac{2 \varepsilon^2 K'_-}{ \mu_2 \left( 1 + \frac{\mu_2}{\mu_1} \right)} } \\ \end{aligned}\end{split}\]

Infatti

\[ \dot{x}_{2,+} = - \frac{\mu_1}{\mu_2} \dot{x}_{1,+} = \pm \frac{\mu_1}{\mu_2} \sqrt{ \frac{2 \varepsilon^2 K'_-}{ \mu_1 \left( 1 + \frac{\mu_1}{\mu_2} \right)} } = \pm \sqrt{ \frac{2 \varepsilon^2 K'_-}{ \frac{\mu_2^2}{\mu_1} \left( 1 + \frac{\mu_1}{\mu_2} \right)} } = \pm \sqrt{ \frac{2 \varepsilon^2 K'_-}{ \mu_2 \left( 1 + \frac{\mu_2}{\mu_1} \right)} } \]

Collisione tra blocchi su piano orizzontale scabro

Date le masse di due blocchi che scivolano su un piano orizzontale scabro, le velocità e la distanza iniziale tra i due blocchi, il coefficiente di restituzione dell’urto, il coefficiente di attrito dinamico \(\mu^d\) tra i due blocchi e il piano orizzontale, viene chiesto di determinare:

• le condizioni affinché avvenga l’urto

• in caso di urto:

  • le velocità immediatamente dopo l’urto

  • la posizione finale delle due masse

Soluzione.

todo

Rimbalzo di una palla

Dato il coefficiente di restituzione degli urti tra la palla di massa \(m_1\) nota e il piano orizzontale, viene chiesto di determinare la distanza verticale percorsa dalla palla durante i rimbalzi.

Oss. Il numero di rimbalzi è infinito, ma il risultato si ottiene da una serie infinita convergente.

Soluzione.

Il caso di urto contro una parete rigida fissa può essere rappresentato considerando il centro di massa dei corpi in urto coincidente con la parete fissa (come se calcolassimo l’urto tra palla e pianeta Terra. Non dovrebbe essere difficile immaginare - e calcolare - che l’urto di una palla di massa dell’ordine del chilogrammo non influenzi in maniera significativa lo stato della Terra).

Il moto è «conservativo a tratti» tra due urti consecutivi. Per ogni urto, vale la relazione

\[K_+ = \varepsilon^2 K_- \ ,\]

per l’energia cinetica prima e dopo ogni urto, \(K_-\) e \(K_+\) rispettivamente.

Partendo in quiete da una quota \(h\), l’energia meccanica del sistema prima del primo urto vale

\[E_0 = m g h_0 \ .\]

L’energia meccanica dopo l”\(n\)-esimo urto vale

\[E_n = E_0 \varepsilon^{2n} \ .\]

La quota massima raggiunta dopo l”\(n\)-esimo urto vale

\[h_n = \frac{E_n}{mg} = \frac{E_0}{mg} \varepsilon^{2n} = h_0 \varepsilon^{2n} \ .\]

La distanza verticale coperta dalla palla fino all”\(N\)-esimo urto è

\[S_N = h_0 + \sum_{n=1}^{N} 2 \, h_n = h_0 \left( 1 + \sum_{n=1}^N \varepsilon^{2n} \right) \ .\]

La somma vale

\[S_N = h_0 \left( 1 + 2 \, \frac{1 - \varepsilon^{2(N+1)}}{1-\varepsilon^{2}} \right) \ .\]

Per il numero di rimbalzi che tende all’infinito, se \(\varepsilon < 1\) la serie è una serie geometrica convergente e la palla compie la distanza finita

\[S = h_0 \left( 1 + \frac{2}{1-\varepsilon^{2}} \right) \ .\]

Collisione di un sistema massa-molla con una parete

Data la configurazione iniziale del sistema massa-molla, con lunghezza a riposo nulla \(\ell_0\) e allungamento iniziale \(x_0\), viene chiesto di descrivere l’evoluzione del sistema in funzione del coefficiente di restituzione \(\varepsilon\) degli urti tra la massa e la parete rigida verticale. In particolare, si chiede di distinguere il caso di urto elastico dai casi di urto parzialmente elastico.

Soluzione.

todo

Collisioni tra due blocchi e una parete rigida

Nel caso di urti perfettamente elastici tra i due blocchi e con la parete, viene chiesto di determinare il numero di urti tra i due blocchi.

Soluzione.

todo

Proiettile su pendolo con massa concentrata

Un proiettile colpisce un pendolo. In funzione del coefficiente di restituzione \(\varepsilon\), viene chiesto di determinare:

• le condizioni immediatamente successive all’urto

• l’energia meccanica dissipata nell’urto

• l’angolo massimo raggiunto dal pendolo

Si calcolino poi le reazioni vincolari a terra, prima, durante e dopo l’urto.

Si analizzi inizialmente il caso di urto anelastico.

Soluzione.

Urto anelastico. Nel caso di urto anelastico, il proiettile di massa \(m\) rimane incastrato nella massa \(M\). Usando il bilancio del momento della quantità di moto rispetto alla cerniera per confrontare le due condizioni prima e dopo l’urto, in assenza di reazioni impulsive che hanno momento non nullo rispetto alla rotazione attorno alla cerniera, si ha:

\[\Delta L_H = 0 \quad \rightarrow \quad m v^- L = (m+M) v^+ L \ ,\]

e quindi

\[\begin{split}\begin{aligned} v^+ & = \frac{1}{1+ \frac{M}{m}} v^- \\ \dot{\theta}^+ & = \frac{1}{1+ \frac{M}{m}} \frac{v^-}{L} \end{aligned}\end{split}\]

L’energia meccanica dissipata nell’urto è uguale alla differenza di energia cinetica, poiché non ci sono variazioni finite impulsive di energia potenziale,

\[\begin{split}\begin{aligned} \Delta E = \Delta K & = \frac{1}{2} m v_-^2 - \frac{1}{2} (m + M) v_+^2 = \\ & = \frac{1}{2} m v_-^2 - \frac{1}{2} (m + M) \frac{m^2}{(m+M)^2} v_-^2 = \\ & = \frac{1}{2} m v_-^2 \left[ 1 - \frac{m}{m+M} \right] = \\ & = \frac{1}{2} m v_-^2 \frac{1}{1+\frac{m}{M}} \ . \end{aligned}\end{split}\]

Dall’istante successivo all’urto, il sistema è conservativo. E” possibile quindi calcolare la quota massima raggiunta dal pendolo dalla conservazione dell’energia meccanica,

\[E = \frac{1}{2} (m+M) |\vec{v}|^2 + (m+M) g h \ .\]

Scegliendo la quota di riferimento per l’energia potenziale nel punto più basso della traiettoria, e riconoscendo che nel punto più alto la velocità del sistema è nulla, si possono confrontare le due condizioni 1) subito dopo l’urto e 2) nel punto di altezza massima

\[\frac{1}{2} (m+M) L^2 \dot{\theta}_1^2 = (m + M) g h_2 \ ,\]

per trovare

\[h_2 = \frac{1}{2} \frac{L^2 \dot{\theta}_1^2}{g} \ .\]

Reazioni vincolari.

• Prima dell’urto, la reazione alla cerniera deve solo sostenere il peso del corpo di massa \(M\), e quindi la forza è in direzione radiale (verso l’alto nella posizione di quiete, per bilanciare il peso) di intensità \(Mg\)

• Dopo l’urto, le reazioni della cerniera contribuiscono a realizzare il moto. Noto il moto \(\theta(t), \dot{\theta}(t)\) e l’azione delle «forze attive», è possible ricavare le reazioni dalle equazioni del moto

  \[\begin{split}\begin{aligned} x: & \quad F_x = (M+m) \dfrac{d v_x}{dt} = (M+m) \dfrac{d}{dt} \left( L \dot{\theta} \cos \theta \right) = (M+m) L (\ddot{\theta} \cos \theta - \dot{\theta}^2 \sin \theta ) \\ y: & \quad F_x - (M+m)g = (M+m) \dfrac{d v_y}{dt} = (M+m) \dfrac{d}{dt} \left( L \dot{\theta} \sin \theta \right) = (M+m) L (\ddot{\theta} \sin \theta + \dot{\theta}^2 \cos \theta ) \\ \end{aligned}\end{split}\]

• Durante l’urto, la cerniera introduce nel sistema delle reazioni impulsive. Queste possono essere valuatate usando le equazioni del moto nella forma incrementale per un intervallo di tempo attorno all’urto. Ad esempio, usando l’equazione di bilancio della quantità di moto,

  \[\vec{I}^{hinge} = \Delta \vec{Q} = (M+m) L \dot{\theta}^+ \hat{x} - m v^- \hat{x} = \vec{0} \]

Proiettile su pendolo con massa distribuita

Un proiettile colpisce un pendolo. In funzione del coefficiente di restituzione \(\varepsilon\), viene chiesto di determinare:

• le condizioni immediatamente successive all’urto

• l’angolo massimo raggiunto dal pendolo.

Si calcolino poi le reazioni vincolari a terra, prima, durante e dopo l’urto.

Si analizzi inizialmente il caso di urto anelastico.

Soluzione.

Urto anelastico. Nel caso di urto anelastico, il proiettile di massa \(m\) rimane incastrato nella massa \(M\). Usando il bilancio del momento della quantità di moto rispetto alla cerniera per confrontare le due condizioni prima e dopo l’urto, in assenza di reazioni impulsive che hanno momento non nullo rispetto alla rotazione attorno alla cerniera, si ha:

\[\Delta L_H = 0 \quad \rightarrow \quad m v^- L = m v^+ L + \frac{1}{3} M L^2 \dot{\theta} = \left( m + \frac{1}{3} M \right) L v_+ \ ,\]

e quindi

\[\begin{split}\begin{aligned} v^+ & = \frac{1}{1+ \frac{1}{3} \frac{M}{m}} v^- \\ \dot{\theta}^+ & = \frac{1}{1+ \frac{1}{3} \frac{M}{m}} \frac{v^-}{L} \end{aligned}\end{split}\]

L’energia meccanica dissipata nell’urto è uguale alla differenza di energia cinetica, poiché non ci sono variazioni finite impulsive di energia potenziale,

\[\begin{split}\begin{aligned} \Delta E = \Delta K & = \frac{1}{2} m v_-^2 - \left[ \frac{1}{2} m v_+^2 + \frac{1}{2} \frac{1}{3} M L^2 \dot{\theta}_+^2 \right]= \\ & = \frac{1}{2} m v_-^2 - \frac{1}{2} \left( m + \frac{1}{3}M \right) \frac{1}{\left( 1 + \frac{1}{3}\frac{M}{m} \right)^2} v_-^2 = \\ & = \frac{1}{2} m v_-^2 \left[ 1 - \frac{m}{m+ \frac{1}{3} M} \right] = \\ & = \frac{1}{2} m v_-^2 \frac{1}{1 + 3\frac{m}{M}} \ . \end{aligned}\end{split}\]

Dall’istante successivo all’urto, il sistema è conservativo. E” possibile quindi calcolare la quota massima raggiunta dal pendolo dalla conservazione dell’energia meccanica,

\[\begin{split}\begin{aligned} E & = \frac{1}{2} m |\vec{v}|^2 + \frac{1}{2} \frac{1}{3} M L^2 \dot{\theta}^2 + \left(m + \frac{M}{2} \right) g h \\ & = \left( \frac{1}{2} m + \frac{1}{6} M \right) L^2 \dot{\theta}^2 + \left( m + \frac{M}{2} \right) g h \\ \end{aligned}.\end{split}\]

todo Aggiungere qualche parola sull’espressione dell’energia potenziale, che potrebbe essere scritta come

\[m g h + M g \left(-\frac{R}{2} + \frac{h}{2} \right)\]

Scegliendo la quota di riferimento per l’energia potenziale nel punto più basso della traiettoria, e riconoscendo che nel punto più alto la velocità del sistema è nulla, si possono confrontare le due condizioni 1) subito dopo l’urto e 2) nel punto di altezza massima

\[\left( m + \frac{M}{2} \right) g h_2 = \left( \frac{1}{2} m + \frac{1}{6} M \right) L^2 \dot{\theta}_1^2 \ ,\]

per trovare

\[h_2 = \frac{\left(\frac{1}{2} m + \frac{1}{6} M \right) L^2 \dot{\theta}_1^2 }{\left( m + \frac{M}{2} \right) g} \ .\]

Reazioni vincolari.

• Prima dell’urto, la reazione alla cerniera deve solo sostenere il peso del corpo di massa \(M\), e quindi la forza è in direzione radiale (verso l’alto nella posizione di quiete, per bilanciare il peso) di intensità \(Mg\)

• Dopo l’urto, le reazioni della cerniera contribuiscono a realizzare il moto. Noto il moto \(\theta(t), \dot{\theta}(t)\) e l’azione delle «forze attive», è possible ricavare le reazioni dalle equazioni del moto

  \[\begin{split}\begin{aligned} x: & \quad F_x = (M+m) \dfrac{d v_x}{dt} = (M+m) \dfrac{d}{dt} \left( L \dot{\theta} \cos \theta \right) = (M+m) L (\ddot{\theta} \cos \theta - \dot{\theta}^2 \sin \theta ) \\ y: & \quad F_x - (M+m)g = (M+m) \dfrac{d v_y}{dt} = (M+m) \dfrac{d}{dt} \left( L \dot{\theta} \sin \theta \right) = (M+m) L (\ddot{\theta} \sin \theta + \dot{\theta}^2 \cos \theta ) \\ \end{aligned}\end{split}\]

• Durante l’urto, la cerniera introduce nel sistema delle reazioni impulsive. Queste possono essere valuatate usando le equazioni del moto nella forma incrementale per un intervallo di tempo attorno all’urto. Ad esempio, usando l’equazione di bilancio della quantità di moto,

  \[\begin{split}\begin{aligned} \vec{I}^{hinge} = \Delta \vec{Q} & = \left( \dfrac{M}{2} + m \right) L \dot{\theta}^+ \hat{x} - m v^- \hat{x} = \\ & = \left( \dfrac{\dfrac{M}{2} + m}{3 m + M} - 1 \right) m v^- \hat{x} = \\ & = - \dfrac{1 + 4 \frac{m}{M}}{2+6\frac{m}{M}} m v^- \hat{x} \ . \end{aligned}\end{split}\]

  La cerniera introduce una reazione impulsiva in direzione opposta alla quantità di moto iniziale del proiettile \(m v^- \hat{x}\).

Proiettile su bersaglio di poligono di tiro

Un proiettile colpisce il bersaglio di un poligono, inizialmente appoggiato alla parete verticale. In funzione del coefficiente di restituzione \(\varepsilon\), viene chiesto di determinare:

• le condizioni immediatamente successive all’urto

• la velocità minima del proiettile prima dell’urto che garantisce di abbattere il bersaglio.

Si calcolino poi le reazioni vincolari a terra, prima, durante e dopo l’urto.

Si analizzi inizialmente il caso di urto anelastico.

Soluzione.

Urto anelastico. Usando il bilancio della quantità di moto in direzione orizzontale e il bilancio del momento della quantità di moto rispetto alla cerniera,

\[\begin{split}\begin{cases} - m v_- + ( M + m ) L \dot{\theta}_+ = I_{A,x} + I_{B,x} \\ - m L v_- + ( M + m ) L^2 \dot{\theta}_+ = I_{B,x} \ell \qquad \text{if $I_{B,x} > 0$, else $I_{B,x} = 0$} \\ \end{cases}\end{split}\]

todo

Collisione su sistema libero rigido di masse concentrate

Un proiettile colpisce un sistema rigido di due masse concentrate, libero e inizialmente in quiete. Si chiede di determinare il moto dei sistemi dopo l’urto, in funzione del coefficiente di restituzione.

Si analizzi inizialmente il caso di urto anelastico.

Soluzione.

Urto anelastico. Usando il bilancio della quantità di moto in direzione orizzontale e il bilancio del momento della quantità di moto, con il vincolo cinematico imposto dalla condizione di urto anelastico, si ricavano le condizioni

\[\begin{split}\begin{cases} m v_- = M ( \dot{x} + \frac{L}{2} \dot{\theta}) + M ( \dot{x} - \frac{L}{2} \dot{\theta}) + m ( \dot{x} + \frac{L}{2} \dot{\theta}) \\ 0 = M L ( \dot{x} - \frac{L}{2} \dot{\theta}) \ . \end{cases}\end{split}\]

e quindi

\[\dot{x} = \frac{1}{2} L \dot{\theta}\]

\[m v_- = (M + m) L \dot{\theta}\]

e se \(m \ne 0\),

\[\begin{split}\begin{cases} \dot{\theta} = \frac{1}{1 + \frac{M}{m}} \frac{v_-}{L} \\ \dot{x} = \frac{1}{2} \frac{1}{1 + \frac{M}{m}} v_- \end{cases}\end{split}\]

Collisione su sistema libero rigido a massa distribuita

Un proiettile colpisce un sistema rigido di due masse concentrate, libero e inizialmente in quiete. Si chiede di determinare il moto dei sistemi dopo l’urto, in funzione del coefficiente di restituzione.

Soluzione.

todo

Doppia collisione

Si usi un modello di doppia collisione in serie (non una collisione tripla in simultanea), studiando prima la collisione tra la palla grossa e il pavimento, e successivamente la collisione tra la palla grossa e la palla piccola.

Short YouTube dell’esperimento di Walter Lewin Video con qualche commento di W.Lewin

Soluzione.

Si identificano qui alcuni istanti:

• 0: istante iniziale

• 1: istante vicino a parete, immediatamente prima del primo urto

• 2: istante vicino a parete, immediatamente dopo il primo urto e immediatamente prima del secondo urto

• 3: istante vicino a parete, immediatamente dopo il secondo urto

• 4: istante in cui la pallina piccola raggiunge la quota massima.

\(0 \rightarrow 1\). Dinamica regolare. Il principio di conservazione dell’energia meccanica (in assenza di azioni non conservative), permette di calcolare la velocità delle due palle poco prima del primo impatto. Per la massa \(A\) (si può scrivere lo stesso bilancio per la massa \(B\))

\[0 = E_{A,0} - E_{A,1} = m_A g h_0 - \frac{1}{2} m_A v_1^2 \ ,\]

e quindi

\[v_{A,1} = v_{B,1} = - \sqrt{2 g h_0} \ ,\]

avendo scelto la convenzione di spostamento e velocità positive verso l’alto.

\(1 \rightarrow 2\). Prima collisione elastica. In un urto elastico si conserva l’energia cinetica del sistema «palla grande»+Terra. In assenza di moviemnto della superficie terrestre (si può studiare il problema di urto tra due corpi, di cui uno - la Terra - con massa enorme rispetto all’altro e concludere che la sua velocità rimane invariata prima e dopo l’urto), si conclude che la palla grande dopo l’urto ha una velocità uguale e contraria alla velocità \(v_{1,A}\),

\[v_{A,2} = - v_{A,1} = \sqrt{2 g h_0} \ .\]

\(2 \rightarrow 3\). Seconda collisione elastica. Nel secondo urto elastico tra la palla piccola e la palla grande si possono usare la conservazione dell’energia cinetica (urto istantaneo, nessuna dissipazione), e la conservazione della quantità di moto (nessuna forza esterna impulsiva agente sul sistema). La palla piccola nell’istante 2 non ha ancora subito nessuna collisione, e quindi \(v_{B,2} = v_{B,1}\)

\[\begin{split}\begin{cases} 0 = \Delta E = \frac{1}{2} m_A v_{A,3}^2 + \frac{1}{2} m_B v_{B,3}^2 - \left( \frac{1}{2} m_A v_{A,2}^2 + \frac{1}{2} m_B v_{B,2}^2 \right) \\ 0 = \Delta Q = m_A v_{A,3} + m_B v_{B,3} - \left( m_A v_{A,2} + m_B v_{B,2} \right) \\ \end{cases}\end{split}\]

\[\begin{split}\begin{cases} 0 = m_A v_{A,3}^2 + m_B v_{B,3}^2 - \left( m_A + m_B \right) v_{A,2}^2 \\ 0 = m_A v_{A,3} + m_B v_{B,3} - v_{A,2} \left( m_A - m_B \right) \\ \end{cases}\end{split}\]

Ricavando \(v_{A,3}\) dalla seconda equazione,

\[v_{A,3} = - \frac{m_B}{m_A} v_{B,3} + \left( 1 - \frac{m_B}{m_A} \right) v_{A,2} \ ,\]

e inserendo nella prima

\[\begin{split}\begin{aligned} 0 & = m_A \left[ - \frac{m_B}{m_A} v_{B,3} + \left( 1 - \frac{m_B}{m_A} \right) v_{A,2} \right]^2 + m_B v_{B,3}^2 - \left( m_A + m_B \right) v_{A,2}^2 \\ & = m_B \left( 1 + \frac{m_B}{m_A} \right) v_{B,3}^2 - 2 m_B \left( 1 - \frac{m_B}{m_A} \right) v_{A,2} v_{B,3} + \left( m_A - 2 m_B + \frac{m_B^2}{m_A} - m_A - m_B \right) v_{A,2}^2 \\ & = m_B \left( 1 + \frac{m_B}{m_A} \right) v_{B,3}^2 - 2 m_B \left( 1 - \frac{m_B}{m_A} \right) v_{A,2} v_{B,3} + m_B \left( - 3 + \frac{m_B}{m_A} \right) v_{A,2}^2 \\ \end{aligned}\end{split}\]

Dopo aver semplificato per \(m_B \ne 0\), il discriminante dell’equazione di secondo grado è sempre positivo (con l’eccezione di essere nullo, se le palle sono appoggiate sul tavolo nella loro condizione iniziale),

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{\Delta}{4} & = \left( 1 - r \right)^2 v_{A,2}^2 - \left( 1 + r \right) \left( - 3 + r \right ) v_{A,2}^2 = \\ & = v_{A,2}^2 \left( 1 - 2 r + r^2 + 3 + 3 r - r - r^2 \right) = \\ & = 4 \, v_{A,2}^2 > 0 \end{aligned}\end{split}\]

e la soluzione dell’equazione restituisce la velocità della palla piccola dopo l’urto,

\[\begin{split}\begin{aligned} v_{B,3} & = \frac{1}{1 + \frac{m_B}{m_A}} \left[ \left(1-\frac{m_B}{m_A}\right) \mp 2 \right] v_{A,2} \\ v_{B,3} & = \begin{cases} \frac{1}{1+\frac{m_B}{m_A}} \left( 3 - \frac{m_B}{m_A} \right) v_{A,2} && \text{(Soluzione fisica)} \\ - v_{A,2} && \text{(Soluzione in assenza di urto, vedi sotto)} \\ \end{cases} \end{aligned}\end{split}\]

mentre la velocità della palla grande è

\[\begin{split}\begin{aligned} v_{A,3} & = v_{A,2} - \frac{m_B}{m_A} ( v_{A,2} + v_{B,3} ) = \\ \end{aligned}\end{split}\]

Discussione della soluzione fisica e «non fisica». In un urto con il la pallina piccola (il corpo B) che ha velocità iniziale verso il basso e quindi negativa, la velocità verticale della palla grande (il corpo A) deve diminuire dopo la collisione, e quindi \(v_{A,3} < v_{A,2}\). La validità di questa disequazione dipende dal segno del termine

\[-\frac{m_B}{m_A} ( v_{A,2} + v_{B,3} ) < 0 \ ,\]

e quindi dal termine \(v_{A,2} + v_{B,3} > 0\). La prima soluzione implica

\[\frac{v_{A,2} + v_{B,3}}{v_{A,2}} = 1 + \frac{3 - r}{1+r} = \frac{1+r+3-r}{1+r} = \frac{4}{1+r} > 0 \ .\]

La seconda soluzione implica

\[v_{A,3} = v_{A,2} \ ,\]

cioè nessun cambiamento della velocità delle due palle negli istanti prima e dopo l’urto (che quindi non è avvenuto).

\(3 \rightarrow 4\). Dinamica regolare. Usando ancora la conservazione dell’energia meccanica per la pallina piccola (corpo \(B\)), si può calcolare la quota massima raggiunta, rispetto alla quota nel momento dell’urto

\[0 = E_{B,4} - E_{B,3} = m_B g H_{B,4} - \frac{1}{2} m_B v_{B,3}^2 \ ,\]

e quindi

\[\begin{split}\begin{aligned} H_{B,4} & = \frac{1}{2 g} v_{B,3}^2 = \\ & = \frac{1}{2g} \left[ \frac{1}{1+\frac{m_B}{m_A}} \left( 3 - \frac{m_B}{m_A} \right) v_{A,2} \right]^2 = \\ & = \frac{1}{2g} \left[ \frac{1}{1+\frac{m_B}{m_A}} \left( 3 - \frac{m_B}{m_A} \right) \right]^2 2 g h_0 = \\ & = h_0 \, \left[ \frac{1}{1+\frac{m_B}{m_A}} \left( 3 - \frac{m_B}{m_A} \right) \right]^2 \ , \end{aligned}\end{split}\]

Nel limite in cui la massa della palla grande è molto maggiore della massa della palla piccola, \(m_B \ll m_A\), \(\frac{m_B}{m_A} \rightarrow 0\), la quota raggiunta dalla palla piccola - rispetto all’istante dell’urto - è

\[H_{B,4} = 9 h_0 \ ,\]

e quindi il punto più basso della pallina raggiunge la quota sopra il piano orizzontale \(H_{B,4} + 2 R_A\), e il suo centro di massa la quota \(H_{B,4} + 2 R_A + R_B\).

Discussione collisione tripla

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