11.3. Inerzia e grandezze dinamiche di un sistema esteso con distribuzione continua di massa

I sistemi rigidi sono indeformabili. Durante il moto, possono cambiare posizione e orientamento (in generale hanno 6 gradi di libertà nello spazio 3-dimensionale, e 3 gradi di libertà nello spazio 2-dimensionale), ma non cambiano forma.

Le proprietà di inerzia di un sistema rigido, se riferite a un punto materiale del sistema, se riferite a un sistema di riferimento materiale, in moto con il sistema stesso. Detto meglio e mettendo in luce la differenza tra quantità fisiche vettoriali (e tensoriali, assolute; todo Riferimento a una sezione sull’invarianza): le componenti delle proprietà di inerzia di un sistema rigido riferite a un sistema di riferimento materiale sono costanti.

In questa sezione vengono calcolate le proprietà inerziali (centro di gravità, momento di inerzia - con tutta l’attenzione che bisogna prestare quando si parla di momenti di inerzia qui1) di alcuni sistemi rigidi come: asta, anello, disco, sfera,…

11.3.1. Sistemi rigidi

Example 11.2 (Inerzia di una sfera)

Una sfera di massa \(m\) ha inerzia alla rotazione

usando le coordinate cilindriche

\[I = \int_V \rho \dots = \frac{2}{5} m R^2 \ . \]

usando le coordinate sferiche

\[I = \int_V \rho \dots = \frac{2}{5} m R^2 \ . \]

con la massa

\[m = \dots = \frac{4}{3} \pi \rho R^3 \ ,\]

Example 11.3 (Inerzia di una sfera con distribuzione di massa non uniforme)

Example 11.4 (Inerzia di un disco uniforme)

Un disco di massa \(m\) ha inerzia alla rotazione

\[I = \int_S \sigma \left( x^2 + y^2 \right) = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{R} \sigma r^2 \, r \, dr \, d\theta = 2 \pi \sigma \frac{R^4}{4} = \frac{1}{2} \pi \sigma R^4 = \frac{1}{2} m R^2 \ . \]

\[m = \int_S \sigma = \int_{\theta = 0}^{2 \pi} \int_{r=0}^{R} \sigma \, r \, dr \, d\theta = 2 \pi \sigma \frac{R^2}{2} = \pi \sigma R^2 \ ,\]

\[\sigma = \frac{m}{\pi R^2} \ .\]

Example 11.5 (Inerzia di un disco uniforme)

Example 11.6 (Inerzia di un anello uniforme)

Un anello di massa \(m\) ha inerzia alla rotazione

\[I = \oint_C \mu \left( x^2 + y^2 \right) = \int_{\theta=0}^{2\pi} \mu R^2 \, R \, d\theta = 2 \pi \mu R^3 = m R^2 \ . \]

\[m = \oint_C \mu = \int_{\theta = 0}^{2 \pi} \mu \, R \, d\theta = 2 \pi \mu R \]

\[\mu = \frac{m}{2 \pi R} \ .\]

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1

Le proprietà di inerzia di un sistema rigido sono descritte da grandezze scalari (massa), vettoriali (posizione del centro di massa), e tensoriali (tensore di inerzia e tensore del momento statico), come descritto nella sezione sull’inerzia nel materiale per l’università, Inertia - Tensor of Inertia.