19.3. Carnot e le «Riflessioni sulla forza motrice del fuoco»

Una macchina ideale è una macchina in cui:

• non si verificano fenomeni di dissipazione dell’energia meccanica \(\delta^+ D = 0\), in cui i processi sono quasi-stazionari; i termini cinetici possono essere trascurati,

  \[\begin{split}\begin{aligned} K & \sim 0 \\ E^{tot} & = K + E \sim E \\ d K & = \delta P^{tot} = \delta L^{e} + \delta L^{i} & & \quad \rightarrow \quad \delta L^{e} \sim - \delta L^i \\ d E^{tot} & = \delta Q^{e} + \delta L^e & & \quad \rightarrow \quad \delta E \sim \delta Q^{e} - \delta L^i \end{aligned}\end{split}\]

• la trasmissione del calore tra la macchina e le sorgenti di calore esterne avvengono con differenza di temperatura nulla

19.3.1. Ciclo di Carnot

Il ciclo di Carnot è formato da due adiabatiche ideali e due isoterme ideali.

Per una trasformazione ideale rappresentata nel piano \(T-S\) dalla curva \(\gamma\), il calore entrante nel sistema è uguale all’integrale todo ref

\[\Delta Q = \int_{\gamma} T d S \ .\]

La massimizzazione del rendimento di una macchina termica in funzionamento periodico diretto consiste nella massimizzazione di \(Q^{e,1}_{in}\) e la minimizzazione di \(|Q^{e,1}_{out}|\).

Il rendimento massimo di una macchina termica che scambia calore con due sistemi a temperatura costante \(T_1 > T_2\) si ottiene con due trasformazioni isoterme con il sistema alla temperatura delle fonti di calore (e quindi estremamente lente, poiché avvengono con differenza di temperatura nulla o trascurabile todo riferimento alla sezione sui meccanismi di trasmissione del calore), e due trasformazioni adiabatiche ideali in cui il sistema non scambia calore con l’esterno.

\[\begin{split}\begin{aligned} Q^{1}_{in} & = \int_{S = S_1}^{S_2} T \, dS = \int_{S = S_1}^{S_2} T_1 \, dS = T_1 \Delta S \\ Q^{1}_{out} & = \int_{S = S_2}^{S_1} T \, dS = \int_{S = S_2}^{S_1} T_2 \, dS = - T_2 \Delta S \\ \end{aligned}\end{split}\]

\[\eta_{C} = 1 + \frac{Q^{e,1}_{out}}{Q^{e,1}_{in}} = 1 + \frac{-T_2 \, \Delta S}{T_1 \, \Delta S} = 1 - \dfrac{T_2}{T_1} \ .\]

todo

• rappresentare il ciclo nel piano entropico \(T-S\), ricordando il significato geometrico delle aree in questo piano, e (di)mostrando le conclusioni del teorema di Carnot

• rappresentare un ciclo in cui le trasformazioni isoterme avvengono con una differenza finita di temperatura tra la macchina e i sistemi con cui la macchina scambia calore, mostrando:

  • il rendimento confrontato al rendimento della macchina ideale

  • la variazione di entropia nell’universo

19.3.2. Teorema di Carnot

Il rendimento massimo di una macchina termica che scambia calore con due sorgenti di calore a temperatura costante \(T_1\), \(T_2 < T_1\) è quello del ciclo di Carnot. Quindi ogni macchina termica che scambia calore con due sorgenti di calore a temperatura costante \(\eta\) ha un’efficienza minore di quella di una macchina di Carnot che opera tra sorgenti di calore con le stesse temperature,

\[\eta \le \eta_C = 1 - \dfrac{T_2}{T_1} \ .\]