12.11. Note e dimostrazioni#

12.11.1. Equazioni cardinali della dinamica per un punto#

Le equazioni cardinali della dinamica in forma differenziale,

\[\begin{split}\begin{aligned} \dot{\vec{Q}} & = \vec{R}^{ext} & \text{(bilancio quantità di moto)} \\ \dot{\vec{L}}_H + \dot{\vec{x}}_H \times \vec{Q} & = \vec{M}_H^{ext} & \text{(bilancio momento della quantità di moto)} \\ \dot{K} & = P^{tot} & \text{(bilancio energia cinetica)} \ . \end{aligned}\end{split}\]

vengono ricavate per un sistema puntiforme calcolando la derivata nel tempo delle grandezze dinamiche di un punto,

\[\begin{split}\begin{aligned} \vec{Q}_P & := m_P \vec{v}_P & \text{(quantità di moto)} \\ \vec{L}_{P,H} & := (\vec{r}_P - \vec{r}_H) \times \vec{Q} = m_P (\vec{r}_P - \vec{r}_H) \times \vec{v}_P & \text{(momento della quantità di moto)} \\ K & := \frac{1}{2} m_P \vec{v}_P \cdot \vec{v}_P = \frac{1}{2} m_P |\vec{v}_P|^2 & \text{(energia cinetica)} \end{aligned}\end{split}\]

utilizzando i princìpi della dinamica.

Bilancio della quantità di moto

Il bilancio della quantità di moto di un punto materiale \(P\), \(\vec{Q}_P = m \vec{v}_P\) segue direttamente dal secondo principio della dinamica di Newton,

\[\dot{\vec{Q}}_P = \vec{R}^{ext}_P\]
Bilancio del momento della quantità di moto

La derivata nel tempo del momento della quantità di moto viene calcolata usando la regola del prodotto,

\[\begin{split}\begin{aligned} \dot{\vec{L}}_{P,H} & = \dfrac{d}{dt} \left[ m_P (\vec{r}_P - \vec{r}_H) \times \vec{v}_P \right] = \\ & = m \left[ ( \dot{\vec{r}}_P - \dot{\vec{r}}_H ) \times \vec{v}_P + m_P (\vec{r}_P - \vec{r}_H) \times \dot{\vec{v}}_P \right] = \\ & = - m_P \dot{\vec{r}}_H \times \vec{v}_P + m_P (\vec{r}_P - \vec{r}_H) \times \dot{\vec{v}}_P = \\ & = - \dot{\vec{r}}_H \times \vec{Q} + \vec{M}_H^{ext} \ . \end{aligned}\end{split}\]
Bilancio dell’energia cinetica.
\[\begin{split}\begin{aligned} \dot{K}_{P} & = \dfrac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} m_P \vec{v}_P \cdot \vec{v}_P \right) = \\ & = m_P \dot{\vec{v}}_P \cdot \vec{v}_P = \\ & = \vec{R}^{ext} \cdot \vec{v}_P = \\ & = \vec{R}^{tot} \cdot \vec{v}_P = P^{tot} \ . \end{aligned}\end{split}\]

12.11.2. Equazioni cardinali della dinamica per sistemi di punti#

Partendo dalle equazioni dinamiche per un punto, si ricavano le equazioni dinamiche per un sistema di punti,

\[\begin{split}\begin{aligned} \dot{\vec{Q}} & = \vec{R}^{ext} & \text{(bilancio quantità di moto)} \\ \dot{\vec{L}}_H + \dot{\vec{x}}_H \times \vec{Q} & = \vec{M}_H^{ext} & \text{(bilancio momento della quantità di moto)} \\ \dot{K} & = P^{tot} & \text{(bilancio energia cinetica)} \ . \end{aligned}\end{split}\]

sfruttando il terzo principio della dinamica di azione/reazione. Lo sviluppo delle equazioni permette di comprendere l’origine della natura additiva delle grandezze dinamiche di sistemi composti da più componenti,

\[\begin{split}\begin{aligned} \vec{Q} & = \sum_i \vec{Q}_i & \text{(quantità di moto)}\\ \vec{L}_{H} & = \sum_i \vec{L}_{H,i} & \text{(momento della quantità di moto)}\\ K & = \sum_i K_i & \text{(energia cinetica)} \ . \end{aligned}\end{split}\]

(quantità di moto, momento della quantità di moto, energia cinetica),

Bilancio della quantità di moto.

E” possibile scrivere il bilancio della quantità di moto per ogni punto \(i\) del sistema, scrivendo la risultante delle forze esterne agente sul punto come la somma delle forze esterne all’intero sistema agenti sul punto e le forze interne scambiate con gli altri punti del sistema,

\[\vec{R}_i^{ext,i} = \vec{F}_i^{ext} + \sum_{j \ne i} \vec{F}_{ij} \ .\]

L’equazione di bilancio per la \(i\)-esima massa diventa quindi

\[\dot{\vec{Q}}_i = \vec{R}_i^{ext,i} = \vec{F}_i^{ext} + \sum_{j \ne i} \vec{F}_{ij} \ .\]

Sommando le equazioni di bilancio di tutte le masse, si ottiene

\[\begin{split}\begin{aligned} \sum_{i} \dot{\vec{Q}}_i & = \sum_i \vec{F}_{i}^{ext} + \sum_i \sum_{j \ne i} \vec{F}_{ij} = \\ & = \sum_i \vec{F}_{i}^{ext} + \sum_{\{i,j\}} \underbrace{\left( \vec{F}_{ij} + \vec{F}_{ji} \right)}_{=\vec{0}} \end{aligned}\end{split}\]

e definendo la quantità di moto di un sistema come la somma delle quantità di moto delle sue parti e la risultante delle forze esterne come somma delle forze esterne agenti sulle parti del sistema,

\[\vec{Q} := \sum_i \vec{Q}\]
\[\vec{R}^{ext} := \sum_i \vec{F}_i^{ext}\]

si ritrova la forma generale del bilancio della quantità di moto,

\[\dot{\vec{Q}} = \vec{R}^{ext} \ .\]
Bilancio del momento della quantità di moto

E” possibile scrivere il bilancio del momento della quantità di moto per ogni punto \(i\) del sistema, scrivendo la risultante dei momenti esterni agente sul punto come la somma dei momenti esterni all’intero sistema agenti sul punto e i momenti interni scambiati con gli altri punti del sistema,

\[\vec{M}_{H,i}^{ext,i} = \vec{M}_{H,i}^{ext} + \sum_{j \ne i} \vec{M}_{H,ij} \ .\]

Nel caso le parti del sistema interagiscano tramite forze, il momento rispetto al polo \(H\) generato dalla massa \(j\) sulla massa \(i\) vale

\[\vec{M}_{H,ij} = (\vec{r}_i - \vec{r}_H) \times \vec{F}_{ij} \ .\]

L’equazione di bilancio per la \(i\)-esima massa diventa quindi

\[\dot{\vec{L}}_{H,i} + \dot{\vec{r}}_H \times \vec{Q}_i = \vec{M}_{H,i}^{ext,i} = \vec{M}_{H,i}^{ext} + \sum_{j \ne i} \vec{M}_{H,ij} \ .\]

Sommando le equazioni di bilancio di tutte le masse, si ottiene

\[\begin{split}\begin{aligned} \sum_{i} \left( \dot{\vec{L}}_i + \dot{\vec{r}}_H \times \vec{Q}_i \right) & = \sum_i \vec{M}_{H,i}^{ext} + \sum_i \sum_{j \ne i} \vec{M}_{H,ij} = \\ & = \sum_i \vec{M}_{H,i}^{ext} + \sum_{\{i,j\}} \underbrace{\left( \vec{M}_{H,ij} + \vec{M}_{H,ji} \right)}_{=\vec{0}} \end{aligned}\end{split}\]

e riconoscendo la quantità di moto del sistema e definendo il momento della quantità di moto di un sistema come la somma del momento della quantità di moto delle sue parti e la risultante dei momenti esterni come somma dei momenti esterni agenti sulle parti del sistema,

\[\vec{L}_H := \sum_i \vec{L}_{H,i}\]
\[\vec{M}_H^e := \sum_i \vec{M}_{H,i}^{ext}\]

si ritrova la forma generale del bilancio del momento della quantità di moto,

\[\dot{\vec{L}}_{H} + \dot{\vec{r}}_H \times \vec{Q} = \vec{M}_H^{ext} \ .\]
Bilancio dell’energia cinetica.

E” possibile ricavare il bilancio dell’energia cinetica del sistema, moltiplicando scalarmente il bilancio della quantità di moto di ogni punto,

\[\vec{v}_i \cdot m_i \dot{\vec{v}}_i = \vec{v}_i \cdot \left( \vec{F}_i^{e} + \sum_{j \ne i} \vec{F}_{ij} \right) \ ,\]

riconoscendo nel primo termine la derivata nel tempo dell’energia cinetica dell”\(i\)-esimo punto,

\[\dot{K}_i = \dfrac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} m_i \vec{v}_i \cdot \vec{v}_i \right) = m_i \vec{v}_i \cdot \dot{\vec{v}}_i \ ,\]

e sommando queste equazioni di bilancio per ottenere

\[\begin{aligned} \sum_i \dot{K}_i = \sum_i \vec{v}_i \cdot \vec{F}_i^{e} + \sum_i \vec{v}_i \cdot \sum_{j \ne i} \vec{F}_{ij} \ . \end{aligned}\]

Definendo l’energia cinetica di un sistema come la somma dell’energia cinetica delle sue parti, e definendo la potenza delle forze esterne/interne agenti sul sistema come la somma della potenza di tutte le forze esterne/interni al sistema,

\[K := \sum_i K_i\]
\[P^e := \sum_i P^{ext}_i = \sum_i \vec{v}_i \cdot \vec{F}_i^{ext} \]
\[P^i := \sum_i P^{int}_i = \sum_i \vec{v}_i \cdot \sum_{j \ne i} \vec{F}_{ij}\]

si ritrova la forma generale del bilancio dell’energia cinetica,

\[\dot{K} = P^{ext} + P^{int} = P^{tot} \ .\]

12.12. Equazioni cardinali della dinamica per un corpo rigido in moto piano#

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