9.2. Lavoro e potenza

In meccanica, come sarà più chiaro avanti (todo aggiungere riferimento), il concetto di lavoro è legato al concetto di energia. todo

9.2.1. Lavoro e potenza di una forza

Lavoro. Il lavoro elementare di una forza \(\vec{F}\) applicata nel punto \(P\) che subisce uno spostamento elementare \(d \vec{r}_P\) è definito come il prodotto scalare tra la forza e lo spostamento,

\[\delta L := \vec{F} \cdot d \vec{r}_P \ .\]

Il lavoro compiuto dalla forza \(\vec{F}\) applicata nel punto \(P\) che si muove dal punto \(A\) al punto \(B\) lungo il percorso \(\ell_{AB}\) è la somma di tutti i contributi elementari - e quindi, al limite per spostamenti elementari \(\rightarrow 0\) per variazioni continue, l’integrale di linea,

\[L_{\ell_{AB}} = \int_{\ell_{AB}} \delta L = \int_{\ell_{AB}} \vec{F} \cdot d \vec{r}_{P} \ .\]

In generale, il lavoro di una forza o di un campo di forze dipende dal percorso \({\ell}_{AB}\). Nei casi in cui il lavoro è indipendente dal percorso, ma dipende solo dagli estremi del percorso, si parla di azioni conservative.

Potenza. La potenza della forza viene definita come la derivata nel tempo del lavoro,

\[P := \frac{\delta L}{dt} = \vec{F} \cdot \frac{d \vec{r}_P}{d t} = \vec{F} \cdot \vec{v}_P \ , \]

e coincide con il prodotto scalare tra la forza e la velocità del punto di applicazione. Prestare attenzione se una forza è applicata a punti geometrici e non materiali, come ad esempio il caso di una disco che rotola senza strisciare su una superficie: in ogni istante il (nuovo) punto materiale di contatto ha velocità nulla, mentre il punto geometricodi contatto è la proiezione del centro del disco e si muove con la stessa velocità, \(v = R \theta\)

9.2.2. Lavoro e potenza di un sistema di forze

Lavoro. Il lavoro di un sistema di forze è la somma dei lavori delle singole forze,

\[\delta L = \sum_{n=1}^{N} \delta L_n = \sum_{n=1}^{N} \vec{F}_n \cdot d \vec{r}_n\]

Potenza. La potenza di un sistema di forze è la somma delle potenze delle singole forze

\[P = \sum_{n=1}^{N} P_n = \sum_{n=1}^{N} \vec{F}_n \cdot \vec{v}_n \ .\]

9.2.3. Lavoro e potenza di una coppia di forze

Lavoro. Il lavoro elementare di una coppia di forze è la somma dei lavori elementari

\[\begin{split}\begin{aligned} \delta L & = \vec{F}_1 \cdot d \vec{r}_1 + \vec{F}_2 \cdot d \vec{r}_2 = \\ & = \vec{F}_1 \cdot ( d \vec{r}_1 - d \vec{r}_2 ) = \end{aligned}\end{split}\]

Potenza. La potenza di una coppia di forze,

\[P = \vec{F}_1 \cdot (\vec{v}_1 - \vec{v}_2)\]

può essere riscritta se i punti di applicazione compiono un atto di moto rigido (todo verificare la definizione di atto di moto e se è il caso di introdurla),

\[\vec{v}_1 - \vec{v}_2 = \vec{\omega} \times (P_1 - P_2) \ ,\]

come

\[\begin{split}\begin{aligned} P & = \vec{F}_1 \cdot (\vec{v}_1 - \vec{v}_2) = \\ & = \vec{F}_1 \cdot \left[ \vec{\omega} \times (P_1 - P_2) \right] = \\ & = \vec{\omega} \cdot \left[ (P_1 - P_2) \times \vec{F}_1\right] = \\ & = \vec{\omega} \cdot \vec{C} \ . \end{aligned}\end{split}\]