24.4. Induzione ed elettromagnetismo#

Nella sezione precedente sono stati discussi alcuni fenomeni elettromagnetici in regime stazionario, mostrando come fenomeni elettrici possano indurre fenomeni magnetici - ad esempio, un cavo percorso da corrente elettrica genera un campo magnetico nello spazio circostante - mentre non si osservano fenomeni elettrici prodotti da fenomeni magnetici.

In questa sezione, vengono discussi i fenomeni elettromagnetici in regime instazionario, mostrando la dipendenza reciproca dei fenomeni magnetici da quelli elettrici (come già mostrato nella legge di Ampére, che comunque verrà corretta da Maxwell per un termine instazionario), e dei fenomeni elettrici da quelli magnetici: questa dipendenza, che prende il nome di induzione elettromagnetica, inizialmente riconosciuta da Faraday nei primi decenni del XIX secolo, è il principio fisico sul quale si basa il funzionamento di un enorme numero di applicazioni tecnologiche contemporanee, come:

  • i generatori elettrici, come quelli impiegati nelle centrali elettriche, che convertono altre forme di energia in energia meccanica e infine in energia elettrica

  • i motori elettrici, che convertono l’energia elettrica in energia meccanica), come quelli utilizzati nei sistemi di trasporto (treni, e recentemente automobili e altri mezzi) o negli elettrodomestici

  • i trasformatori, sistemi che consentono di variare la tensione e la corrente tra circuiti differenti, attualmente impiegati nei sistemi contemporanei tra le fasi di produzione, trasporto e utilizzo dell’energia elettrica: tra la produzione e il trasporto viene innalzata la tensione per ridurre le predite durante il trasporto; per motivi di sicurezza e e soddisfare le caratteristiche degli utilizzatori, la tensione viene poi ridotta all’ingresso delle città e successivamente fino agli utilizzi industriali o domestici.

24.4.1. Legge di Faraday per l’induzione elettromagnetica#

La legge di Faraday riconosce che la circuitazione del campo elettromagnetico lungo un circuito \(\partial S\) non è identicamente nulla nel caso instazionario, come dimostrato dall’equazione (24.1) per i fenomeni elettrostatici, ma è uguale alla derivata temporale del flusso del campo magnetico \(\vec{b}\) attraverso la superficie \(S\),

(24.14)#\[\Gamma_{\partial S}(\vec{e}) = - \dot{\Phi}_S(\vec{b}) \ .\]

24.4.2. Correzione di Maxwell dell’equazione di Ampére#

  • Correzione fondamentale per ricavare equazioni di bilancio dei fenomeni elettromagnetici che prevedessero la trasmissione di perturbazioni del campo come onde: il riconoscimento dei fenomeni elettromagnetici come fenomeni ondulatori con una velocità di trasmissione paragonabile alla velocità della luce nota allora permisero di riconoscere la luce come fenomeno elettromagnetico, come onda elettromagnetica. Alle equazioni di Maxwell, seguì la verifica sperimentale di Hertz.

  • La legge di Ampére equazione è valida solo in un regime elettrostatico: la forma generale dell’equazione di Ampére prevede un termine dipendente dal tempo, che è identicamente nullo nel regime elettrostatico.

  • Senza questo termine, l’equazione non sarebbe consistente con la conservazione della carica elettrica: la correzione di questa inconsistenza da parte di Maxwell è stata l’ultima azione, fondamentale, per ottenere un sistema di equazioni che governano i fenomeni elettromagnetici; la stessa modifica permette anche di riconoscere che i fenomeni EM sono fenomeni ondulatori; il calcolo della misura della velocità di propoagazione delle onde EM, confrontata con le misure disponibili della velocità della luce, permisero di riconoscere la luce come fenomeno EM

Per dimostrare l’incongruenza, è sufficiente applicare la legge di Ampére a una superficie che è il contorno di un volume chiuso, e che quindi ha contorno nullo,

\[S = \partial V \qquad , \qquad \partial S = \ell_S = \emptyset\]

In questo caso, la legge di Ampére diventa

\[0 = i_{\partial V} \ ,\]

mentre le leggi di conservazione della carica elettrica e la legge di Gauss per il campo elettrico

\[\begin{split}\begin{aligned} \dot{Q}_V & = - i_{\partial V} \\ \Phi_{\partial V}(\vec{d}) & = Q_V \\ \end{aligned}\end{split}\]

implicano

\[i_{\partial V} = - \dot{Q}_V = - \dot{\Phi}_{\partial V}(\vec{d}) \ .\]

La correzione di Maxwell non è altro che l’aggiunta del termine \(\dot{\Phi}_{\partial V}(\vec{d})\) all’equazione di Ampére per renderla compatibile con le altre equazioni dell’elettromagnetismo. Con questa modifica, l”equazione di Ampére-Maxwell diventa

\[\Gamma_{\partial S}(\vec{h}) - \dot{\Phi}_{S}(\vec{d}) = i_S \]

todo aggiungere immagine sul sistema del condensatore.

24.4.3. Equazioni di Maxwell dell’elettromagnetismo#

Giunti alla fine del capitolo sui fondamenti dell’elettromagnetismo classico, si è finalmente pronti per elencare la forma generale delle equazioni fondamentali che governano i fenomeni elettromagnetici.

Principio di conservazione della carica elettrica. Come già discusso nel capitolo sulla corrente elettrica, vale il principio di conservazione della carica elettrica: la carica elettrica non si crea, e non si distrugge. La variazione di carica elettrica contenuta in un volume \(V\) è quindi uguale al flusso di carica attraverso il suo contorno \(\partial V\), come già descritto dall’equazione (24.3),

(24.15)#\[\dot{Q}_V = - \Phi_{\partial V}(\vec{j}) = - i_{\partial V} \ .\]

Equazioni di Maxwell in forma integrale.

(24.16)#\[\begin{split}\begin{cases} \Phi_{\partial V}(\vec{d}) = Q_{V,f} \\ \Gamma_{\partial S}(\vec{e}) + \dot{\Phi}_S(\vec{b}) = 0 \\ \Phi_{\partial V}(\vec{b}) = 0 \\ \Gamma_{\partial S}(\vec{h}) - \dot{\Phi}_S(\vec{d}) = \Phi_S(\vec{j}_f) \end{cases}\end{split}\]

Forza di Lorentz. La forza agente su una carica elettrica di intensità \(q\) in moto in un campo elettromagnetico \(\vec{e}(P,t)\), \(\vec{b}(P, t)\)è descritta dall’espressione (24.11)

(24.17)#\[\vec{F}_P(t) = q \left[ \vec{e}(P(t), t) - \vec{b}(P(t), t) \times \vec{v}_P(t) \right] \ .\]

Fare riferimento a: