9.3. Azioni conservative

Un campo di forze conservativo viene definito tramite il lavoro compiuto. In generale, il lavoro di un campo di forze agente su un punto \(P\) che si muove nello spazio dal punto \(A\) al punto \(B\) lungo un percorso \(\ell_{AB}\) dipende dal percorso. (todo aggiungere riferimento)

Se il lavoro di un campo di forze non dipende dal percorso \(\ell_{AB}\) ma solo dai punti estremi \(A\), \(B\), per tutte le coppie di punti appartententi a una regione dello spazio \(\Omega\), si dice che il campo di forze è conservativo nella regione \(\Omega\) dello spazio.

In questo caso, il lavoro compiuto può essere scritto come differenza di una campo scalare, \(U(P)\) o il suo opposto \(V(P) := - U(P)\),

\[\begin{split}\begin{aligned} L_{AB} & = U(B) - U(A) = \Delta_{AB} U \\ & = V(A) - V(B) =-\Delta_{AB} V \\ \end{aligned}\end{split}\]

Le funzioni \(U\), \(V\) vengono definite rispettivamente potenziale ed energia potenziale del campo di forze.

Il lavoro elementare può quindi essere scritto in termini del differenziale di queste funzioni,

\[\begin{split}\begin{aligned} \delta L & = \ \ \ d U =\ \ \ d \vec{r} \cdot \nabla U = \\ & = - d V = - d \vec{r} \cdot \nabla V \\ \end{aligned}\end{split}\]

Confrontando questa relazione con la definizone di lavoro \(\delta L = d \vec{r} \cdot \vec{F}\), è possibile identificare il campo di forze con il gradiente della funzione potenziale, e l’opposto del gradiente dell’energia potenziale,

\[\vec{F} = \nabla U = - \nabla V \ .\]