31.1. Relatività speciale#

La teoria della relatività speciale viene presentata da A.Einstein in due articoli del suo Annus Mirabilis, il 1905. Il primo articolo, «Sull’elettrodinamica dei corpi in movimento»[1], propone una nuova teoria della meccanica partendo da due princìpi: le leggi non dipendono dall’osservatore, e la velocità della luce misurata da ogni osservatore è costante. Questi due princìpi permettono di ricavare una teoria meccanica che sia compatibile con le equazioni di Maxwell dell’elettromagnetismo, sostituendo la relarività galileiana con le trasformazioni di Lorentz ricavate a partire dai due princìpi, come mostrato nella sezione sulla cinematica realtivistica. Nel secondo articolo, «L’inerzia di un corpo dipende dal contenuto di energia?»[2], viene discussa la dinamica e riconosciuto il ruolo della massa nell’eneergia dei sistemi: la più famosa conseguenza è riassunta nella legge

\[E^{rest} = m c^2 \ ,\]

che lega l’energia di un sistema in quiete, \(E^{rest}\), alla sua massa \(m\), come viene mostrato nella sezione su alcuni cenni di dinamica.

31.1.1. Princìpi della relatività speciale#

Axiom 31.1 (Invarianza delle leggi fisiche)

Non esiste un sistema di riferimento assoluto: il fenomeno fisico è assoluto1, cioè invariante, indipendente dal sistema di riferimento usato per descriverlo.

Axiom 31.2 (Costanza della velocità della luce)

In accordo con le equazioni di Maxwell dell’elettromagnetismo e con l”esperimento di Michelson-Morley, la velocità della luce è costante. Questa è inoltre la velocità massima della trasmissione di informazioni nello spazio, tale da garantire la causalità, vedi Velocità della luce e causalità.

Esiste però una classe di sistemi di riferimento «privilegiata» per la descrizione del fenomeno fisico (almeno in relatività speciale), la classe dei sistemi riferimento inerziali: l’espressione delle equazioni della fisica sono le stesse quando sono scritte con le coordinate di sistemi di riferimento inerziali. Questo non è vero per un sistema di riferimento qualsiasi.

Alcune conseguenze: tempo e spazio non sono più assoluti se presi indipendentemente, lo spazio-tempo lo è; il tempo non è più lo stesso per tutti gli osservatori, e quindi si perde il concetto di simultaneità; le trasformazioni di Galileo non rappresentano più le trasformazioni di coordinate tra due sistemi inerziali: queste devono essere sostituite dalle trasformazioni di Lorentz, le stesse trasformazioni di coordiante rispetto alle quali l’equazione delle onde (come quella ricavata dalle equazioni dell’elettromagnetismo di Maxwell) sono invarianti

  • Un evento è definito dalle informazioni della posizione e dell’istante temporale (rispetto a un osservatore?) nel quale avviene.

Rispetto a un’origine \(P - O = ct \mathbf{E}_0 + x \mathbf{E}_1\); perché si può definire un sistema di riferimento per tutto lo spazio tempo? Perché in relatività ristretta si considera lo spazio-tempo piatto, non curvo (analogia con lo spazio euclideo, anche se diverso…Minkowski,…)

FitzGerald

bla bla

Lorentz

bla bla

Poincaré

bla bla

Minkowski

bla bla

31.1.2. Cinematica#

31.1.2.1. Relatività e trasformazioni di Lorentz#

Si ricavano qui le trasformazioni di Lorentz che legano le coordinate spazio-tempo di due osservatori inerziali in moto relativo uniforme, lungo la direzione identificata dalle coordinate \(x\), \(x'\). Le trasformazioni di Lorentz seguono (quasi) in maniera indolore, dopo aver ribadito (0) la definizione della velocità nello spazio di un evento misurata da un’osservatore, (1) la costanza della velocità di un evento che corrisponde alla propagazione di un segnale luminoso, la cui misura è uguale per ogni osservatore, e (2,3) la simmetria della descrizione del moto relativo:

  1. la velocità (3-dimensionale) di un punto rispetto all’osservatore \(Oxt\), visto dallo stesso osservatore è definita come la derivata della coordinata spaziale rispetto alla coordinata temporale misurata dall’osservatore,

    \[v = \dfrac{d x}{d t}\]

  2. la velocità della luce nel vuoto misurata da entrambi gli osservatori è uguale a \(c\) in modulo; quindi i raggi luminosi che viaggiano verso le \(x\) e \(x'\) positive e in verso opposto sono rispettivamente

\[ c = \dfrac{d x_+}{ dt } = \dfrac{d x'_+}{ dt ' } \quad , \quad - c = \dfrac{d x_-}{ dt } = \dfrac{d x'_-}{ dt ' } \]

  1. la velocità di \(O'\) rispetto a \(O\) misurata da \(O\) è uguale e contraria alla velocità di \(O\) rispetto a \(O'\) misurata da \(O'\),

    \[v := v_{O'/O} = \dfrac{d x_{O'}}{d t} = - \dfrac{d x'_{O}}{d t'} = - v'_{O/O'}\]

  2. l’intervallo di tempo di \(O'\) letto da \(O\) è uguale all’intervallo di tempo di \(O\) letto da \(O'\)

Per motivi di composizione delle trasformazioni tra più sistemi di riferimento, vedi Example 31.1, viene considerata una trasformazione lineare. Come dimostrato in seguito, le trasformazioni di Lorentz tra le coordinate dei due sistemi inerziali appena descritti sono (todo ipotesi su una «posizione iniziale» delle origini)

(31.1)#\[\begin{split} \begin{cases} c t = \gamma \left( c t' + \frac{v}{c} x' \right) \\ x = \gamma \left( \frac{v}{c} c t' + x' \right) \\ \end{cases} \quad , \quad \begin{cases} c t'= \gamma \left( c t' - \frac{v}{c} x \right) \\ x'= \gamma \left(-\frac{v}{c} c t' + x \right) \\ \end{cases} \end{split}\]

con \(\gamma = \left[ 1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2 \right]^{-\frac{1}{2}}\). Da queste trasformazioni seguono i fenomeni di contrazione delle lunghezze, dilatazione dei tempi e il «paradosso»2 dei gemelli

Dimostrazione delle trasformazioni di Lorentz a partire dalle 3 osservazioni

Si parte dalla trasformazione lineare generale tra le coordinate dei due sistemi di riferimento inerziali

\[\begin{split} \begin{cases} c t' = A c t + B x \\ x' = C c t + D x \end{cases} \qquad , \qquad \begin{cases} c t = A' c t' + B' x' = \frac{D}{AD - BC} c t' - \frac{B}{AD-BC} x' \\ x = C' c t' + D' x' =-\frac{C}{AD - BC} c t' + \frac{A}{AD-BC} x' \end{cases} \end{split}\]

e si ricavano i valori dei quattro coefficienti \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) con le condizioni che (1) traducono la costanza della velocità della luce misurata da due osservatori inerziali, e (2,3) la simmetria delle descrizioni relative

  1. Un raggio di luce viaggiante verso destra e uno viaggiante verso sinistra hanno rispettivamente velocità

    \[\begin{split}\begin{aligned} \pm 1 & = \dfrac{\Delta x_{\pm}}{c \Delta t} \\ \pm 1 & = \dfrac{\Delta x'_{\pm}}{c \Delta t'} = \frac{C \Delta ct + D \Delta x}{ A \Delta ct + B \Delta x} = \frac{C + D \frac{\Delta x}{\Delta ct}}{ A + B \frac{\Delta x}{\Delta ct}} = \frac{C \pm D}{A \pm B} \end{aligned}\end{split}\]

    e quindi le due relazioni

    \[\begin{split}\begin{cases} C + D = A + B \\ C - D = -A + B \\ \end{cases} \qquad \rightarrow \qquad \begin{cases} A = D \\ B = C \end{cases} \end{split}\]

  1. Moto relativo di \(O\) e \(O'\). La posizione di \(O'\) è definita dalla condizione \(x'_{O'/O'} = 0\)

    \[\frac{v}{c} = \dfrac{\Delta x_{O'/O}}{\Delta c t} = \frac{-\frac{C}{AD-BC} \Delta c t'}{\frac{D}{AD - BC} \Delta c t'} \qquad \rightarrow \qquad C = - \frac{v}{c} D \]

    La posizione di \(O\) è definita dalla condizione \(x_{O/O}\)

    \[- \frac{v}{c} = \dfrac{\Delta x'_{O/O'}}{\Delta c t'} = \frac{C \Delta c t}{A \Delta c t} \qquad \rightarrow \qquad C = - \frac{v}{c} A \]

  2. L’ultima relazione deriva dalla simmetria delle letture degli intervalli di tempo

    \[\begin{split}\begin{aligned} A \Delta c t_{O'} + B \Delta x_{O'} & = \frac{1}{AD-BC} \left( D \Delta t'_{O} - B \Delta x'_{O} \right) \\ A + B \frac{\Delta x_{O'}}{\Delta c t_{O'}} & = \frac{1}{AD-BC} \left( D - B \frac{\Delta x'_{O}}{\Delta t'_{O}} \right) \\ \end{aligned}\end{split}\]

    e quindi, usando \(A = D\), \(B = C = -\frac{v}{c}A\), \(v:=\frac{\Delta x_{O'}}{\Delta c t_{O'}} = - \frac{\Delta x'_{O}}{\Delta c t'_{O}}\)

    \[A - \left(\frac{v}{c}\right)^2 A = \frac{1}{A^2 \left[1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2 \right]} A \left[ 1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2 \right]\]

    e risolvendo, si possono ricavare i coefficienti della trasformazione di Lorentz,

    \[\begin{split}\begin{aligned} A & = D = \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2}} \\ B & = C = - \frac{v}{c} \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2}} \end{aligned}\end{split}\]

31.1.2.2. Velocità della luce e causalità#

Example 31.1 (Trasformazione di coordinate tra 3 sistemi di riferimento e composizione delle velocità)

Nemmeno continuando a comporre velocità positive può essere superata la velocità della luce…

31.1.2.3. Dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze#

31.1.2.4. «Paradosso» dei gemelli#

31.1.2.5. Geometria della relatività speciale#

Intervallo tra due eventi(invariante); tempo proprio; metrica di Minkowski

\[d s^2 = c^2 dt^2 - dx^2 = \dots = c^2 dt'^2 - dx'^2 = d\mathbf{X} \cdot d \mathbf{X}\]
Invarianza della lunghezza dell’intervallo

Tempo proprio \(\tau\), definito come

\[c \, d\tau = ds = c \sqrt{ 1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2} \, dt = \gamma^{-1} \, c \, dt \ . \]

31.1.3. Dinamica#

La posizione di un sistema puntiforme nello spazio-tempo può essere parametrizzata in maniera conveniente in funzione della lunghezza dell’intervallo \(s\) o del tempo proprio \(\tau\),

\[\mathbf{X}(s) = c t(s) \, \mathbf{E}_0 + x(s) \, \mathbf{E}_1\]

La velocità nello spazio-tempo può essere definita come la derivata della posizione nello spazio-tempo rispetto a \(s\) o a \(\tau\),

\[\mathbf{U}(s) := \dfrac{d \mathbf{X}}{ds} = \dfrac{d \, ct}{ds} \dfrac{d \mathbf{X}}{d \, ct} = \gamma \, \left( c \mathbf{E}_0 + \dfrac{d x}{dt} \right) = \gamma \mathbf{E}_0 + \gamma \frac{v}{c} \mathbf{E}_1 \]

La quantità di moto viene scritta come il prodotto della velocità per la massa

\[\mathbf{P}(s) := m \mathbf{U}(s) = \gamma m \mathbf{E}_0 + \gamma m \frac{v}{c} \mathbf{E}_1 = \frac{E}{c^2} \mathbf{E}_0 + \frac{p}{c} \mathbf{E}_1 \ .\]

avendo definito la quantità di moto come prodotto del fattore di Lorentz per la quantità di moto classica \(p = \gamma \, m v\), e definito l’energia \(E := \gamma m c^2\). Utilizzando queste definizioni e calcolando il prodotto \(\mathbf{P} \cdot \mathbf{P}\), si ottiene la relazione

\[m^2 = \frac{E^2}{c^4} + \frac{p^2}{c^2} \ , \]

o esplicitando l’energia

(31.2)#\[E^2 = m^2 c^4 + p^2 c^2 \ . \]

Da questa ultima relazione, si ricava ora la famosa relazione \(E = mc^2\) per un sistema in quiete e il limite classico dell’energia dei una particella libera, in moto con velocità \(v \ll c\).

Energia in quiete

Un sistema in quiete rispetto a un osservatore ha quantità di moto nulla, \(p = 0\). Prendendo solo il valore positivo dell’energia3, si ottiene la famosa relazione

(31.3)#\[E = m c^2 \ ,\]

ricavata e discussa nell’articolo dal titolo «L’inerzia di un corpo dipende dal contenuto di energia?»[2]. Il titolo dell’articolo descrive bene le conclusioni riassunte nella formula (31.3): un corpo in quiete ha energia non nulla, per il fatto di avere massa. Qua potremmo ricominciare a ragionare su cosa è l’energia e cosa è la massa. Ma per ora rimandiamo questa discussione… todo aggiungere link? serie divulgativa di CURIUSS sulla massa?

Limite classico

Energia. Partendo dall’espressione dell’energia

\[E = \gamma m c^2\]

e calcolando i primi termini dell’espansione in serie di Taylor del fattore di Lorentz \(\gamma(v)\), buona approssimazione per \(v \ll t\)

\[\begin{split}\begin{aligned} \gamma(v) & = \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right)^{-\frac{1}{2}} = 1 + \frac{1}{2} \frac{v^2}{c^2} + o(v^2) \\ \end{aligned}\end{split}\]

si ottiene l’espressione dell’energia troncata alla potenza \(v^2\) come somma dell’energia in quiete e dell’energia cinetica classica del sistema,

\[E = m c^2 + \frac{1}{2} m v^2 + o(v^2) \ ,\]

Quantità di moto. L’espansione in serie della quantità di moto ha come primo termine significativo l’espressione classica della quantità di moto

\[p = \gamma m v = m v \left[ 1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} \right] + o(v^3) \ .\]

31.1.4. Elettromagnetismo#

… è un po” troppo? Link a Modern Physics:Special Relativity

1

A. Einstein. Zur elektrodynamik bewegter körper. Annalen der physik, 17(10):891–921, 1905. URL: http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/einstein-papers/1905_17_891-921.pdf.

2(1,2)

A. Einstein. Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig? Annalen der Physik, 323(13):639–641, 1905. URL: http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/einstein-papers/1905_18_639-641.pdf, doi:https://doi.org/10.1002/andp.19053231314.

1

A dispetto del nome della teoria, «relatività», e delle vaccate che si sentono «tutto è relativo, come diceva Einstein», la teoria della relatività è un trionfo, il trionfo definitivo, dell’assolutismo: i fenomeni fisici sono indipendenti da chi li osserva, in matematichese sono indipendenti dal sistema di coordinate usato per descrivere il fenomeno; le equazioni della fisica devono quindi essere scritte con oggetti matematici che rispecchiano questa invarianza, i tensori. Le equazioni che governano la natura sono invarianti alla scelta del sistema di riferimento usato per descriverle o, detto altrimenti, un fenomeno fisico non dipende da chi lo osserva (almeno se questa osservazione non interagisce con il fenomeno stesso, come succede in meccanica quantistica, vedi QM:Misura, QM:Indeterminazione di Heisenberg).

2

Il paradosso dei gemelli non è strettamente un paradosso, è solo una manifestazione dei meccanismi del mondo che sono inaspettati rispetto alla nostra percezione, forgiata sull’esperienza della vita quotidiana. E” solo un esempio in cui i nostri sensi ci ingannano. Secondo la Treccani, comunque, il termine «paradosso» può essere applicato nell’accezione ampia a questo genere di situazioni, o affermazioni che contrastano con un’opinione comune o un risultato ritenuto ovvio. Il termine preferibile per un paradosso logico della forma «A e non A» è «antinomia». Esempi di antinomia sono: «questa frase è falsa»; il paradosso del barbiere: un barbiere deve radere tutti e solo le persone che non si radono da sole. Ma chi rade il barbiere? Non può farsi radere da altre persone; se non si rade da solo, infrange la regola perché sta radendo una persona che si rade da sola; se non si rade, allora non sta radendo una persona che non si rade da sola.

3

P.Dirac non sarebbe fiero di noi! P.Dirac userà questa relazione per costruire una teoria quantistica relativistica, usando la relazione (31.2) e considerando tutti i valori possibili di energia, sia quelli positivi sia quelli negativi. Questa scelta portò Dirac alla previsione di valori di energia negativi, e all’esistenza dell”antimateria.