12.8. Gravitazione

Newton formula anche la prima teoria della gravitazione, riconoscendola come causa unica del moto dei corpi celesti e della caduta dei corpi nei pressi della superficie terrestre.

12.8.1. Legge di gravitazione universale

La legge di gravitazione universale formulata da Newton prevede che un corpo di massa \(m_1\) che si trova nel punto \(P_1\) è soggetto alla forza di attrazione

\[\vec{F}_{10} = G \, m_0 \, m_1 \frac{P_0 - P_1}{\ \left| P_0 - P_1 \right|^3} \ ,\]

verso un corpo di massa \(m_0\) che si trova nel punto \(P_0\). La direzione della forza è lungo la congiungente dei due punti. L’intensità della forza è proporzionale alle due masse, e all’inverso del quadrato della loro distanza, con la costante di proporzionalità

\[G = 6.67 \cdot 10^{-11} \dfrac{N \, m^2}{kg^2} \ ,\]

che prende il nome di costante di gravitazione universale.

12.8.2. Leggi di Keplero

Le equazioni della dinamica e la legge di gravitazione universale da lui formulate, permise a Newton di dimostrare le tre leggi di Keplero che descrivono il moto limitato (todo trovare sinonimo) di due corpi celesti, come ad esempio il moto di un pianeta rispetto al Sole, o il moto di un satellite rispetto al pianeta di riferimento.

Definition 12.2 (Prima legge di Keplero)

Il moto di un pianeta rispetto al Sole descrive una traiettoria ellittica, e il Sole si trova in uno dei suoi fuochi.

Definition 12.3 (Seconda legge di Keplero)

Il moto di un pianeta rispetto al Sole ha una velocità areolare costante.

Definition 12.4 (Terza legge di Keplero)

Il periodo \(T\) dell’orbita è in relazione al semiasse maggiore \(a\)

\[T = \pi \dfrac{a^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{GM}} \ \quad , \quad T^2 \sim a^3\]

-->

12.8.3. Problema dei due corpi

In meccanica classica, il problema dei due corpi si riferisce alla dinamica di un sistema formato da due corpi puntiformi soggetti unicamente alla mutua interazione gravitazionale, descritta dalla legge di gravitazione universale di Newton.

Il sistema formato dai due punti è un sistema chiuso e isolato, sul quale non agiscono azioni esterne. La quantità di moto rispetto a un sistema di riferimento inerziale rimane quindi costante. Rimane quindi costante la velocità del centro di massa \(G\),

\[G = \frac{m_0 \, P_0 + m_1 \, P_1}{m_0 + m_1} \ ,\]

ed è possibile definire un sistema di riferimento inerziale con origine nel centro di massa del sistema. Il raggio vettore tra i due corpi può quindi essere riscritto,

\[P_1 - G = P_1 - \frac{m_0 \, P_0 + m_1 \, P_1}{m_0 + m_1} = \frac{ - m_0 \, P_0 + m_0 \, P_1}{m_0 + m_1} = \frac{m_0}{m_0 + m_1}(P_1 - P_0) \ .\]

L’equazione del moto per il corpo \(1\) nel sistema di riferimento inerziale con origine in \(G\) segue il secondo principio della dinamica. L’equazione del moto può essere scritto in termini del raggio vettore tra corpo \(1\) e centro di massa,

\[\begin{split}\begin{aligned} m_1 \dfrac{d^2}{dt^2}(P_1-G) & = - G m_0 m_1 \frac{P_1 - P_0}{|P_1 - P_0|^3} = \\ & = - G \dfrac{m_0^2}{(m_0 + m_1)^2} m_0 m_1 \frac{P_1 - G}{|P_1 - G|^3} \end{aligned}\end{split}\]

o in termini del raggio vettore tra i due corpi \(P_1 - P_0\)

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{m_0 m_1}{m_0 + m_1} \dfrac{d^2}{dt^2}(P_1-P_0) & = - G m_0 m_1 \frac{P_1 - P_0}{|P_1 - P_0|^3} \\ m_1 \dfrac{d^2}{dt^2}(P_1-P_0) & = - G ( m_0 + m_1 ) m_1 \frac{P_1 - P_0}{|P_1 - P_0|^3} \\ \end{aligned}\end{split}\]

Le equazioni del moto in questi due sistemi di riferimento possono essere scritte nella forma

\[m_1 \, \ddot{\vec{r}} = - G M m_1 \frac{\vec{r}}{r^3} \ .\]

12.8.3.1. Traiettorie, coniche, ed energia

E” possibile dimostrare che il moto di ognuno dei due corpi è un moto piano, e che la traiettoria avviene descrive una conica.

• todo Dimostrare che il moto è piano

• todo Dimostrare che la traiettoria è una conica

Il tipo di curva conica dipende da una grandezza scalare che può essere ricondotta a un’energia. Il prodotto scalare della velocità \(\dot{\vec{r}}\) con l’equazione del moto, permette di ricavare un principio di conservazione dell’energia,

\[\begin{split}\begin{aligned} 0 & = \dot{\vec{r}} \cdot \left( m \ddot{\vec{r}} + G M m \frac{\vec{r}}{r^3} \right) = \\ & = \dfrac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} m \left|\dot{\vec{r}}\right|^2 - G M m \frac{1}{r}\right) = \dfrac{d E^{mec}}{dt} \end{aligned}\end{split}\]

Usando il sistema di coordinate polari, e la costanza della velocità angolare \(\Omega = \frac{1}{2}{r^2}{\dot{\theta}}\), si può scrivere

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{E^{mec}}{m} & = \frac{1}{2} \dot{r}^2 + \frac{1}{2} r^2 \dot{\theta}^2 - \frac{G M}{r} = \\ & = \frac{1}{2} \dot{r}^2 + 2 \frac{\Omega^2}{r^2} - \frac{G M}{r} = \\ & = \frac{1}{2} \dot{r}^2 + v_r(r) \ . \end{aligned}\end{split}\]

Poiché \(\frac{1}{2}\dot{r}^2 \ge 0\), il moto è possibile per tutti i valori di \(r\) tali che \(\frac{E}{m} \ge v_r(r)\). Il valore di \(E\) identifica le traiettorie. todo aggiungere grafici

• esiste un valore minimo di \(E\): questo valore è associato a un’orbita circolare

• per \(E_{min} \le E \le 0\) esistono due soluzioni dell’equazione \(\frac{E}{m} - v_r(r) = 0\): orbite chiuse, ellittiche o circolari (per \(E = E_{min}\))

• \(E = 0\) è un caso limite che separa le orbite chiuse e le orbite aperte: a \(E = 0\) è associata un’orbita parabolica

• per \(E > 0\) le orbite aperte sono iperboliche

12.8.3.2. Traiettorie chiuse e leggi di Keplero

Prima legge. Un pianeta descrive un’orbita ellittica attorno al Sole, che si trova in uno dei due fuochi.

Seconda legge legge. Considerando l’area descritta dal moto del pianeta attorno al Sole, la velocità angolare è costante lungo la traiettoria.

Terza legge. In un sistema di pianeti, il quadrato del periodo delle orbite descritte dai pianeti è proporzionale al cubo del semiasse maggiore della traiettoria, \(T^2 \propto a^3\).

todo rispetto a quale sistema di riferimento? Serve l’approssimazione che la massa del Sole sia \(>>\) delle masse dei pianeti, se si considera inerziale un sistema di coordinate con origine nel Sole? O bisogna/si può usare un sistema inerziale con origine nel centro di massa del sistema (considerato isolato)

Moto piano. Siano \(\vec{r}\), \(\vec{v}\) la posizione e la velocità del pianeta rispetto al Sole. La forza di gravità agente sul pianeta è

\[\vec{F} = - G M m \frac{\vec{r}}{r^3} \ .\]

E” facile dimostrare che il moto è piano, cioè che la posizione e la velocità del pianeta sono sempre ortogonali a una direzione costante.

\[\frac{d}{dt} \left( \vec{r} \times \vec{v} \right) = \underbrace{\vec{v} \times \vec{v}}_{=\vec{0}} + \vec{r} \times \vec{a} = - G M m \underbrace{\vec{r} \times \frac{\vec{r}}{r^3}}_{=\vec{0}} = \vec{0} \ .\]

Poiché il vettore \(\vec{r} \times \vec{v} =: \frac{L}{m} \hat{k}\) è costante, è costante sia il suo valore assoluto sia la sua direzione: affinché \(\vec{r} \times \vec{v}\) sia allineato con \(\hat{k}\), i vettori \(\vec{r}\), \(\vec{v}\) devono essere ortogonali a \(\hat{k}\).

Coordinate polari. Per descrivere il moto piano di un punto, si può usare un sistema di coordinate 2-dimensionale. Si sceglie un sistema di coordinate polari con origine coincidente con il Sole. La posizione del pianeta è identificata dal raggio vettore

\[\vec{r} = r \, \hat{r} \ ,\]

e la derivate dei versori radiale e azimuthale valgono

\[\begin{split}\begin{aligned} \dot{\hat{r}} & = \dot{\theta} \hat{\theta} \\ \dot{\hat{\theta}} & = - \dot{\theta} \hat{r} \\ \end{aligned}\end{split}\]

La posizione, la velocità e l’accelerazione del pianeta possono essere scritte come

\[\begin{split}\begin{aligned} \vec{r} & = r \, \hat{r} \\ \vec{v} & = \dot{r} \, \hat{r} + r \dot{\theta} \, \hat{\theta} \\ \vec{a} & = \left[ \ddot{r} - r \dot{\theta}^2 \right] \, \hat{r} + \left[ 2 \dot{r} \dot{\theta} + r \ddot{\theta} \right] \, \hat{\theta} \\ \end{aligned}\end{split}\]

La velocità areolare, \(\vec{\Omega} = \frac{1}{2} \vec{r} \times \vec{v} \) è costante e uguale a

\[\vec{\Omega} = \frac{1}{2} \frac{L}{m} \hat{k} = \frac{1}{2} r^2 \dot{\theta} \, \hat{k} \ .\]

Dall’espressione della velocità angolare costante, si può ricavare il legame tra \(\dot{\theta}\) ed \(r\),

\[\dot{\theta} = \frac{\Omega}{r^2} \ .\]

Usando le coordinate polari, l’equazione del moto \(m \ddot{\vec{r}} = -G M m \frac{\vec{r}}{r^3}\) viene scritta in componenti,

\[\begin{split}\begin{aligned} r & : \ m (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2) = - G M m \frac{1}{r^2} \\ \theta & : \ m ( 2 \dot{r} \dot{\theta} + r \ddot{\theta}^2 ) = 0 \end{aligned}\end{split}\]

Traiettoria, \(r(\theta)\). Inserendo l’espressione \(\dot{\theta} = \frac{\Omega}{r^2}\) nella componente radiale, e definendo la funzione \(z = \frac{1}{r}\), le derivate nel tempo della coordinata radiale possono essere riscritte come

\[\dot{r} = -\frac{1}{z^2}\frac{d z}{d \theta} \dot{\theta} = -\Omega \frac{dz}{d\theta} \]

\[\ddot{r} = \dot{\theta} \frac{d}{d \theta} \left( - \Omega \frac{dz}{d \theta} \right) = - z^2 \Omega^2 z''(\theta)\]

e la componente radiale dell’equazione di moto,

\[-z^2 \Omega^2 z'' - z^3 \Omega^2 = - G M z^2\]

\[ z'' + z = \frac{G M}{\Omega^2}\]

\[z(\theta) = \frac{G M}{\Omega^2} + A \cos(\theta) + B \sin(\theta) \ .\]

e quindi

\[r(\theta) = \frac{\Omega^2}{G M}\frac{1}{1 + A \dfrac{\, \Omega^2}{GM} \cos \theta + B \dfrac{\, \Omega^2}{GM} \sin \theta}\]

Scelta della direzione di riferimento: direzione del perielio: \(r(\theta=0) = \min r\), \(B = 0\),

Scelte diverse si ottengono da una trasformazione di coordinate con una rotazione dell’asse di riferimento: \(\theta_1 = \theta - \theta_0\), e quindi

\[r(\theta) = \frac{\Omega^2}{GM}\frac{1}{1 + \frac{A\Omega^2}{GM} \cos \theta} = \frac{\Omega^2}{GM}\frac{1}{1 + \frac{A\Omega^2}{GM} \cos (\theta_1 + \theta_0 )} = \frac{\Omega^2}{GM}\frac{1}{1 + \underbrace{\frac{A\Omega^2}{GM} \cos \theta_0}_{= A_1} \cos \theta_1 \underbrace{- \frac{A \Omega^2}{GM} \sin \theta_0}_{= B_1} \sin \theta_1 }\]

Il confronto con l’equazione delle coniche in coordinate polari, permette di riconoscere l’eccentricità, \(e\) e il prodotto \(e \, D\) dell’eccentricità per la distanza \(D\) tra fuoco e direttrice,

\[e = \frac{A \Omega^2}{GM} \qquad , \qquad e \, D = \frac{\Omega^2}{GM}\]

\[r(\theta) = \frac{\Omega^2}{GM}\frac{1}{1 + \frac{A\Omega^2}{GM} \cos \theta}\]

\[r(\theta) = \frac{e \, D}{1 + e \, \cos \theta}\]

Poiché la velocità areolare è costante, il periodo dell’orbita è uguale al raggporto tra l’area dell’ellisse e la velocità areaolare,

\[T = \frac{\pi a b}{\Omega} = \pi \frac{a^2 \sqrt{1-e^2}}{\Omega} = \]

\[1-e^2 = 1 - \left(\frac{A \Omega^2}{GM} \right)^2 = \frac{\Omega^2}{GM \, a} \]

\[\rightarrow \qquad \frac{\sqrt{1-e^2}}{\Omega} = \frac{1}{\sqrt{GM} \sqrt{a}}\]

\[\rightarrow \qquad T = \pi \frac{a^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{GM}}\]

\[ 2a = \frac{\Omega^2}{GM+A \Omega^2} + \frac{\Omega^2}{GM-A \Omega^2} = \Omega^2 \frac{2 GM }{(GM)^2 - A^2 \Omega^4} \]

\[A^2 \Omega^4 = (GM)^2 - \frac{GM \, \Omega^2}{a}\]

\[\frac{\Omega^2}{GM}\frac{1}{a} = 1 - \left(\frac{A \Omega^2}{GM}\right)^2\]

\[\frac{1}{a} = \left( 1 - \left(\frac{A \Omega^2}{GM}\right)^2 \right) \frac{GM}{\Omega^2}\]