12.8. Gravitazione

Newton formula anche la prima teoria della gravitazione, riconoscendola come causa unica del moto dei corpi celesti e della caduta dei corpi nei pressi della superficie terrestre.

12.8.1. Legge di gravitazione universale

La legge di gravitazione universale formulata da Newton prevede che un corpo di massa \(m_1\) che si trova nel punto \(P_1\) è soggetto alla forza di attrazione

\[\vec{F}_{10} = G \, m_0 \, m_1 \frac{P_0 - P_1}{\ \left| P_0 - P_1 \right|^3} \ ,\]

verso un corpo di massa \(m_0\) che si trova nel punto \(P_0\). La direzione della forza è lungo la congiungente dei due punti. L’intensità della forza è proporzionale alle due masse, e all’inverso del quadrato della loro distanza, con la costante di proporzionalità

\[G = 6.67 \cdot 10^{-11} \dfrac{N \, m^2}{kg^2} \ ,\]

che prende il nome di costante di gravitazione universale.

12.8.2. Leggi di Keplero

Le leggi di Keplero descrivono il moto dei pianeti attorno al Sole, e vennero formulate da J.Keplero all’inizio del XVII secolo usando le osservazioni astronomiche di T.Brahe. Stabiliscono che 1) i pianeti percorrono orbite ellittiche attorno al Sole, che si trova in un fuoco, 2) la velocità areolare di un pianeta è costante lungo la sua traiettoria, 3) il quadrato del semiasse maggiore delle traiettorie ellittiche è proporzionale al cubo del periodo di rivoluzione.

Un dettaglio sul procedimento che permise a Keplero di determinare la forma delle orbite a partire dagli angoli misurati con le osservazioni astronomiche è disponibile nella sezione di astronomia, nell’articolo sulla scala delle distanze cosmiche, al paragrafo Orbite dei pianeti.

Attraverso le leggi della dinamica e la gravitazione universale, Newton riuscì a dimostrare le leggi di Keplero. Quindi:

• le leggi di Keplero possono essere considerate come una verifica sperimentale della teoria della meccanica di Newton basata sui 3 principi e sviluppata con gli strumenti del calcolo infinitesimale, e della legge di gravitazione universale

• la meccanica di Newton diede fondamento teorico alle leggi di Keplero.

Definition 12.2 (Prima legge di Keplero)

Il moto di un pianeta rispetto al Sole descrive una traiettoria ellittica, e il Sole si trova in uno dei suoi fuochi.

Definition 12.3 (Seconda legge di Keplero)

Il moto di un pianeta rispetto al Sole ha una velocità areolare costante.

Definition 12.4 (Terza legge di Keplero)

Il quadrato del periodo di rivoluzione dei pianeti è proporzionale al cubo dei semiassi maggiori delle loro traiettorie,

\[T = \dfrac{2 \pi}{\sqrt{GM}} a^{\frac{3}{2}} \ \quad , \quad T^2 \propto a^3\]

12.8.3. Problema dei due corpi

In meccanica classica, il problema dei due corpi si riferisce alla dinamica di un sistema formato da due corpi puntiformi soggetti unicamente alla mutua interazione gravitazionale, descritta dalla legge di gravitazione universale di Newton.

Centro di massa e massa ridotta

Il sistema formato dai due punti è un sistema chiuso e isolato, sul quale non agiscono azioni esterne. La quantità di moto rispetto a un sistema di riferimento inerziale rimane quindi costante. Rimane quindi costante la velocità del centro di massa \(G\),

\[G = \frac{m_0 \, P_0 + m_1 \, P_1}{m_0 + m_1} \ ,\]

ed è possibile definire un sistema di riferimento inerziale con origine nel centro di massa del sistema. Il raggio vettore tra i due corpi può quindi essere riscritto,

\[P_1 - G = P_1 - \frac{m_0 \, P_0 + m_1 \, P_1}{m_0 + m_1} = \frac{ - m_0 \, P_0 + m_0 \, P_1}{m_0 + m_1} = \frac{m_0}{m_0 + m_1}(P_1 - P_0) \ .\]

L’equazione del moto per il corpo \(1\) nel sistema di riferimento inerziale con origine in \(G\) segue il secondo principio della dinamica. L’equazione del moto può essere scritto in termini del raggio vettore tra corpo \(1\) e centro di massa,

\[\begin{split}\begin{aligned} m_1 \dfrac{d^2}{dt^2}(P_1-G) & = - G m_0 m_1 \frac{P_1 - P_0}{|P_1 - P_0|^3} = \\ & = - G \dfrac{m_0^2}{(m_0 + m_1)^2} m_0 m_1 \frac{P_1 - G}{|P_1 - G|^3} \end{aligned}\end{split}\]

o in termini del raggio vettore tra i due corpi \(P_1 - P_0\)

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{m_0 m_1}{m_0 + m_1} \dfrac{d^2}{dt^2}(P_1-P_0) & = - G m_0 m_1 \frac{P_1 - P_0}{|P_1 - P_0|^3} \\ m_1 \dfrac{d^2}{dt^2}(P_1-P_0) & = - G ( m_0 + m_1 ) m_1 \frac{P_1 - P_0}{|P_1 - P_0|^3} \\ \end{aligned}\end{split}\]

Le equazioni del moto in questi due sistemi di riferimento possono essere scritte nella forma

(12.3)\[m_1 \, \ddot{\vec{r}} = - G M m_1 \frac{\vec{r}}{r^3} \ ,\]

con \(M\) una massa equivalente del sistema a seconda della scelta di \(\vec{r}\) nella dscrizione: se \(\vec{r} = P_1 - G\), allora \(M = m_0 \frac{1}{\left(1+ \frac{m_1}{m_0}\right)^2}\); se \(\vec{r} = P_1 - P_0\), allora \(M = m_0 + m_1\).

Dimostrazione delle leggi di Keplero

Le leggi di Keplero vengono qui dimostrate usando i risultati del capitolo sui moti centrali.

L’equazione (12.9) rappresenta l’equazione di una conica. Per quanto detto alla fine del paragrafo sul centro di massa del sistema, se si sceglie il Sole \(P_0\) come origine del sistema di riferimento, la massa equivalente vale \(M = m_0 + m_1\), mentre la costante \(c = - G M m\).

Prima legge di Keplero. La seconda legge di Keplero è dimostrata nel capitolo sui moti centrali con forza inversamente proporzionale alla distanza, nella sezione Traiettorie e coniche. In quella sezione viene dimostrato che le traiettorie possibili sono le sezioni coniche. Le uniche orbite chiuse possibili sono ellissi, con il caso particolare di ellisse di eccentricità nulla, cioè la circonferenza. Come descritto nella sezione Equazione della traiettoria in funzioen dell’energia e del momento angolare, queste due grandezze fisiche determinano l’orbita.

Seconda legge di Keplero. La seconda legge di Keplero è dimostrata nel capitolo sui moti centrali con forza inversamente proporzionale alla distanza, nella sezione Costanza del momento angolare e della velocità areolare.

Terza legge di Keplero. Poiché la velocità aerolare \(\Omega\) è costante, il periodo di rivoluzione di un pianeta può essere calcolato come rapporto tra l’area interna alla sua orbita e la sua velocità areolare,

\[T = \frac{\pi a b}{\Omega} = \frac{\pi a^2 \sqrt{1-e^2}}{\Omega} \ ,\]

avendo indicato con \(a\), \(b\) i semiassi maggiore e minore dell’orbita rispettivamente, e avendo usato la relazione tra i semiassi e l’eccentricità \(e\) di un’ellisse, \(b = a \sqrt{1-e^2}\).

Dalle equazioni (12.8), (12.9) della traiettoria ellittica segue l’espressione dell’asse maggiore

\[2 a = \frac{l^2}{m|c|} \left( \frac{1}{1 + e} + \frac{1}{1-e} \right) = \frac{l^2}{m|c|} \frac{2}{1-e^2} \ .\]

dalla quale si può ricavare, usando la relazione tra momento angolare e velocità areolare \(l = 2 m \Omega\),

\[\frac{\sqrt{1-e^2}}{\Omega} = \frac{l}{\Omega} \sqrt{\frac{1}{m |c| a}} = 2 m \sqrt{\frac{1}{m |c| a}} = 2 m \sqrt{\frac{1}{GM m^2 a}} = 2 \sqrt{\frac{1}{GM a}} \ .\]

Sostituendo questa espressione nella formula del periodo \(T\), si ottiene la dimostrazione della terza legge di Keplero,

\[T = \frac{2\pi}{\sqrt{GM}} a^{3/2} \ .\]

Old

Traiettorie, coniche, ed energia

E” possibile dimostrare che il moto di ognuno dei due corpi è un moto piano, e che la traiettoria avviene descrive una conica.

• todo Dimostrare che il moto è piano

• todo Dimostrare che la traiettoria è una conica

Il tipo di curva conica dipende da una grandezza scalare che può essere ricondotta a un’energia. Il prodotto scalare della velocità \(\dot{\vec{r}}\) con l’equazione del moto, permette di ricavare un principio di conservazione dell’energia,

\[\begin{split}\begin{aligned} 0 & = \dot{\vec{r}} \cdot \left( m \ddot{\vec{r}} + G M m \frac{\vec{r}}{r^3} \right) = \\ & = \dfrac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} m \left|\dot{\vec{r}}\right|^2 - G M m \frac{1}{r}\right) = \dfrac{d E^{mec}}{dt} \end{aligned}\end{split}\]

Usando il sistema di coordinate polari, e la costanza della velocità angolare \(\Omega = \frac{1}{2}{r^2}{\dot{\theta}}\), si può scrivere

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{E^{mec}}{m} & = \frac{1}{2} \dot{r}^2 + \frac{1}{2} r^2 \dot{\theta}^2 - \frac{G M}{r} = \\ & = \frac{1}{2} \dot{r}^2 + 2 \frac{\Omega^2}{r^2} - \frac{G M}{r} = \\ & = \frac{1}{2} \dot{r}^2 + v_r(r) \ . \end{aligned}\end{split}\]

Poiché \(\frac{1}{2}\dot{r}^2 \ge 0\), il moto è possibile per tutti i valori di \(r\) tali che \(\frac{E}{m} \ge v_r(r)\). Il valore di \(E\) identifica le traiettorie. todo aggiungere grafici

• esiste un valore minimo di \(E\): questo valore è associato a un’orbita circolare

• per \(E_{min} \le E \le 0\) esistono due soluzioni dell’equazione \(\frac{E}{m} - v_r(r) = 0\): orbite chiuse, ellittiche o circolari (per \(E = E_{min}\))

• \(E = 0\) è un caso limite che separa le orbite chiuse e le orbite aperte: a \(E = 0\) è associata un’orbita parabolica

• per \(E > 0\) le orbite aperte sono iperboliche

Traiettorie chiuse e leggi di Keplero

Prima legge. Un pianeta descrive un’orbita ellittica attorno al Sole, che si trova in uno dei due fuochi.

Seconda legge legge. Considerando l’area descritta dal moto del pianeta attorno al Sole, la velocità angolare è costante lungo la traiettoria.

Terza legge. In un sistema di pianeti, il quadrato del periodo delle orbite descritte dai pianeti è proporzionale al cubo del semiasse maggiore della traiettoria, \(T^2 \propto a^3\).

todo rispetto a quale sistema di riferimento? Serve l’approssimazione che la massa del Sole sia \(>>\) delle masse dei pianeti, se si considera inerziale un sistema di coordinate con origine nel Sole? O bisogna/si può usare un sistema inerziale con origine nel centro di massa del sistema (considerato isolato)

Moto piano. Siano \(\vec{r}\), \(\vec{v}\) la posizione e la velocità del pianeta rispetto al Sole. La forza di gravità agente sul pianeta è

\[\vec{F} = - G M m \frac{\vec{r}}{r^3} \ .\]

E” facile dimostrare che il moto è piano, cioè che la posizione e la velocità del pianeta sono sempre ortogonali a una direzione costante.

\[\frac{d}{dt} \left( \vec{r} \times \vec{v} \right) = \underbrace{\vec{v} \times \vec{v}}_{=\vec{0}} + \vec{r} \times \vec{a} = - G M m \underbrace{\vec{r} \times \frac{\vec{r}}{r^3}}_{=\vec{0}} = \vec{0} \ .\]

Poiché il vettore \(\vec{r} \times \vec{v} =: \frac{L}{m} \hat{k}\) è costante, è costante sia il suo valore assoluto sia la sua direzione: affinché \(\vec{r} \times \vec{v}\) sia allineato con \(\hat{k}\), i vettori \(\vec{r}\), \(\vec{v}\) devono essere ortogonali a \(\hat{k}\).

Coordinate polari. Per descrivere il moto piano di un punto, si può usare un sistema di coordinate 2-dimensionale. Si sceglie un sistema di coordinate polari con origine coincidente con il Sole. La posizione del pianeta è identificata dal raggio vettore

\[\vec{r} = r \, \hat{r} \ ,\]

e la derivate dei versori radiale e azimuthale valgono

\[\begin{split}\begin{aligned} \dot{\hat{r}} & = \dot{\theta} \hat{\theta} \\ \dot{\hat{\theta}} & = - \dot{\theta} \hat{r} \\ \end{aligned}\end{split}\]

La posizione, la velocità e l’accelerazione del pianeta possono essere scritte come

\[\begin{split}\begin{aligned} \vec{r} & = r \, \hat{r} \\ \vec{v} & = \dot{r} \, \hat{r} + r \dot{\theta} \, \hat{\theta} \\ \vec{a} & = \left[ \ddot{r} - r \dot{\theta}^2 \right] \, \hat{r} + \left[ 2 \dot{r} \dot{\theta} + r \ddot{\theta} \right] \, \hat{\theta} \\ \end{aligned}\end{split}\]

La velocità areolare, \(\vec{\Omega} = \frac{1}{2} \vec{r} \times \vec{v} \) è costante e uguale a

\[\vec{\Omega} = \frac{1}{2} \frac{L}{m} \hat{k} = \frac{1}{2} r^2 \dot{\theta} \, \hat{k} \ .\]

Dall’espressione della velocità angolare costante, si può ricavare il legame tra \(\dot{\theta}\) ed \(r\),

\[\dot{\theta} = \frac{\Omega}{r^2} \ .\]

Usando le coordinate polari, l’equazione del moto \(m \ddot{\vec{r}} = -G M m \frac{\vec{r}}{r^3}\) viene scritta in componenti,

\[\begin{split}\begin{aligned} r & : \ m (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2) = - G M m \frac{1}{r^2} \\ \theta & : \ m ( 2 \dot{r} \dot{\theta} + r \ddot{\theta}^2 ) = 0 \end{aligned}\end{split}\]

Traiettoria, \(r(\theta)\). Inserendo l’espressione \(\dot{\theta} = \frac{\Omega}{r^2}\) nella componente radiale, e definendo la funzione \(z = \frac{1}{r}\), le derivate nel tempo della coordinata radiale possono essere riscritte come

\[\dot{r} = -\frac{1}{z^2}\frac{d z}{d \theta} \dot{\theta} = -\Omega \frac{dz}{d\theta} \]

\[\ddot{r} = \dot{\theta} \frac{d}{d \theta} \left( - \Omega \frac{dz}{d \theta} \right) = - z^2 \Omega^2 z''(\theta)\]

e la componente radiale dell’equazione di moto,

\[-z^2 \Omega^2 z'' - z^3 \Omega^2 = - G M z^2\]

\[ z'' + z = \frac{G M}{\Omega^2}\]

\[z(\theta) = \frac{G M}{\Omega^2} + A \cos(\theta) + B \sin(\theta) \ .\]

e quindi

\[r(\theta) = \frac{\Omega^2}{G M}\frac{1}{1 + A \dfrac{\, \Omega^2}{GM} \cos \theta + B \dfrac{\, \Omega^2}{GM} \sin \theta}\]

Scelta della direzione di riferimento: direzione del perielio: \(r(\theta=0) = \min r\), \(B = 0\),

Scelte diverse si ottengono da una trasformazione di coordinate con una rotazione dell’asse di riferimento: \(\theta_1 = \theta - \theta_0\), e quindi

\[r(\theta) = \frac{\Omega^2}{GM}\frac{1}{1 + \frac{A\Omega^2}{GM} \cos \theta} = \frac{\Omega^2}{GM}\frac{1}{1 + \frac{A\Omega^2}{GM} \cos (\theta_1 + \theta_0 )} = \frac{\Omega^2}{GM}\frac{1}{1 + \underbrace{\frac{A\Omega^2}{GM} \cos \theta_0}_{= A_1} \cos \theta_1 \underbrace{- \frac{A \Omega^2}{GM} \sin \theta_0}_{= B_1} \sin \theta_1 }\]

Il confronto con l’equazione delle coniche in coordinate polari, permette di riconoscere l’eccentricità, \(e\) e il prodotto \(e \, D\) dell’eccentricità per la distanza \(D\) tra fuoco e direttrice,

\[e = \frac{A \Omega^2}{GM} \qquad , \qquad e \, D = \frac{\Omega^2}{GM}\]

\[r(\theta) = \frac{\Omega^2}{GM}\frac{1}{1 + \frac{A\Omega^2}{GM} \cos \theta}\]

\[r(\theta) = \frac{e \, D}{1 + e \, \cos \theta}\]

Poiché la velocità areolare è costante, il periodo dell’orbita è uguale al raggporto tra l’area dell’ellisse e la velocità areolare,

\[T = \frac{\pi a b}{\Omega} = \pi \frac{a^2 \sqrt{1-e^2}}{\Omega} = \]

\[1-e^2 = 1 - \left(\frac{A \Omega^2}{GM} \right)^2 = \frac{\Omega^2}{GM \, a} \]

\[\rightarrow \qquad \frac{\sqrt{1-e^2}}{\Omega} = \frac{1}{\sqrt{GM} \sqrt{a}}\]

\[\rightarrow \qquad T = \pi \frac{a^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{GM}}\]

\[ 2a = \frac{\Omega^2}{GM+A \Omega^2} + \frac{\Omega^2}{GM-A \Omega^2} = \Omega^2 \frac{2 GM }{(GM)^2 - A^2 \Omega^4} \]

\[A^2 \Omega^4 = (GM)^2 - \frac{GM \, \Omega^2}{a}\]

\[\frac{\Omega^2}{GM}\frac{1}{a} = 1 - \left(\frac{A \Omega^2}{GM}\right)^2\]

\[\frac{1}{a} = \left( 1 - \left(\frac{A \Omega^2}{GM}\right)^2 \right) \frac{GM}{\Omega^2}\]