8.2. Cinematica di un corpo rigido#

La cinematica di corpo rigido è definita dalla posizione di un suo punto materiale e dalla propria orientazione in funzione del tempo. In generale, per definire la posizione di corpo rigido nello spazio 3-dimensionale servono 6 parametri: 3 coordinate per definire la posizione di un punto materiale \(Q\) e 3 parametri per definire l’orientazione del corpo nello spazio. Per definire la posizione di un corpo rigido che compie un moto piano servono 3 parametri: 2 coordinate per definire la posizione di un punto e 1 parametro per definirne l’orientazione.

todo definizione di moto piano

Nota

Questo materiale è rivolto a studenti delle scuole superiori, e si limita a discutere il moto 2-dimensionale di corpi rigidi. Una discussione del moto 3-dimensionale di corpi rigidi richiede l’uso e la dimestichezza con oggetti matematici che non sono introdotti nei primi anni delle scuole superiori - e purtroppo troppo spesso nemmeno nei corsi universitari dei primi anni -, i tensori.

Al prezzo di non poter trattare i problemi meccanici più generali, questa scelta evita di richiedere la conoscenza dell’algebra tensoriale o di introdurre formule in forma quantomeno discutibile. Per una discussione completa del problema, si rimanda al materiale pensato per studenti più maturi: todo

  • algebra vettoriale e tensoriale todo

  • meccanica classica todo

8.2.1. Posizione dei punti di un corpo rigido#

  • Posizione del un punto materiale di riferimento, \(Q\).

\[Q - O = \vec{r}_Q\]

  • Posizione di tutti i punti materiali \(P\) del corpo rigido, e orientazione del corpo. Nell’ipotesi di moto 2-dimensionale, il vettore tra due punti materiali \(\vec{r}_{QP} = P-Q\) può essere scritto in funzione del vettore \(\vec{r}_{QP}^0\) nella configurazione di riferimento del corpo e della rotazione di un angolo \(\theta\) attorno a un asse di direzione \(\hat{n}\) costante e perpendicolare al piano del moto,

\[P - Q = \vec{r}_{QP} = \cos \theta \, \vec{r}_{QP}^0 + \sin \theta \, \hat{n} \times \vec{r}_{QP}^0\]

La posizione di un punto materiale \(P\) di un corpo rigido rispetto al sistema di riferimento scelto, può essere quindi scritta come

\[\begin{split}\begin{aligned} P - O & = Q - O + P - Q = \\ & = \vec{r}_{OQ} + \cos \theta \, \vec{r}_{QP}^0 + \sin \theta \, \hat{n} \times \vec{r}_{QP}^0 \ . \end{aligned}\end{split}\]

8.2.2. Velocità dei punti di un corpo rigido#

  • Velocità del punto materiale di riferimento, \(Q\)

\[\vec{v}_Q = \dfrac{d \vec{r}_Q}{dt}\]

  • Velocità di tutti i punti materiali \(P\) del corpo rigido, e velocità angolare del corpo, \(\vec{\omega} = \dot{\theta} \hat{n}\). La velocità relativa di un punto \(P\) rispetto al punto di riferimento \(Q\) viene calcolata con la derivata del vettore \(\vec{r}_{QP}\) rispetto al tempo, ricordando che \(\hat{n}\) è costante e quindi \(\frac{d}{dt} \hat{n} = \vec{0}\),

    \[\begin{split}\begin{aligned} \dfrac{d \vec{r}_{QP}}{dt} & = \dfrac{d}{dt} \left( \cos \theta \, \vec{r}_{QP}^0 + \sin \theta \, \hat{n} \times \vec{r}_{QP}^0 \right) = \\ & = \dot{\theta} \left( -\sin \theta \, \vec{r}_{QP}^0 + \cos \theta \, \hat{n} \times \vec{r}_{QP}^0 \right) = \\ & = \dot{\theta} \hat{n} \times \left( \sin \theta \, \hat{n} \times \vec{r}_{QP}^0 + \cos \theta \, \vec{r}_{QP}^0 \right) = \\ & = \dot{\theta} \hat{n} \times \vec{r}_{QP} = \\ & = \vec{\omega} \times \vec{r}_{QP} \ , \end{aligned}\end{split}\]

    avendo definito la velocità angolare, \(\vec{\omega} = \dot{\theta} \hat{k}\) per un moto 2-dimensionale, e usato l’identità vettoriale

    \[\vec{n} \times (\vec{n} \times \vec{w}) = \hat{n} \underbrace{(\hat{n} \cdot \vec{w})}_{=0} - \vec{w} \underbrace{(\hat{n} \cdot \hat{n})}_{=1} = - \vec{w} \ .\]

Nota

La velocità angolare \(\vec{\omega}\) di un sistema rigido è una quantità fisica associata all’intero sistema e non dipende dal punto materiale \(Q\) usato come riferimento per descrivere il moto del sistema.

Nota

La formula

\[\vec{v}_P - \vec{v}_Q = \vec{\omega} \times (P - Q)\]

vale anche per moti 3-dimensionali. In questo caso però non è possibile scrivere \(\vec{\omega} = \dot{\theta} \hat{n}\).

La velocità di un punto materiale \(P\) di un corpo rigido rispetto al sistema di riferimento scelto, può essere quindi scritta come

\[\begin{split}\begin{aligned} \vec{v}_P & = \vec{v}_{Q/O} + \vec{v}_{P/Q} = \\ & = \vec{v}_{Q/O} + \vec{\omega} \times (P - Q) \ . \end{aligned}\end{split}\]

8.2.3. Accelerazione dei punti di un corpo rigido#

  • Accelerazione del punto materiale di riferimento, \(Q\)

\[\vec{a}_P = \dfrac{d \vec{v}_P}{dt} = \dfrac{d^2 \vec{r}_P}{d t^2}\]

  • Accelerazione di tutti i punti materiali \(P\) del corpo rigido, e accelerazione angolare del corpo, \(\vec{\alpha} = \dot{\vec{\omega}} = \ddot{\theta} \hat{n}\). L’accelerazione relativa di un punto \(P\) rispetto al punto di riferimento \(Q\) viene calcolata con la derivata seconda del vettore \(\vec{r}_{QP}\) rispetto al tempo, ricordando che \(\hat{n}\) è costante e quindi \(\frac{d}{dt} \hat{n} = \vec{0}\),

    \[\begin{split}\begin{aligned} \dfrac{d^2 \vec{r}_{QP}}{dt^2} & = \dfrac{d}{dt} \left( \vec{\omega} \times \vec{r}_{QP} \right) = \\ & = \dfrac{d \vec{\omega}}{dt} \times \vec{r}_{QP} + \vec{\omega} \times \dfrac{d \vec{r}_{QP}}{dt}= \\ & = \alpha \times \vec{r}_{QP} + \vec{\omega} \times \left( \vec{\omega} \times \vec{r}_{QP} \right) \ . \end{aligned}\end{split}\]

L’accelerazione di un punto materiale \(P\) di un corpo rigido rispetto al sistema di riferimento scelto, può essere quindi scritta come

\[\begin{split}\begin{aligned} \vec{a}_P & = \vec{a}_{Q/O} + \vec{a}_{P/Q} = \\ & = \vec{a}_{Q/O} + \alpha \times \vec{r}_{QP} + \vec{\omega} \times \left( \vec{\omega} \times \vec{r}_{QP} \right) \ . \end{aligned}\end{split}\]