21.4. Note

21.4.1. Soluzioni particolari

21.4.1.1. Moti liberi

21.4.1.1.1. Vibrazione di una corda con estremi vincolati

\[\begin{split} \begin{cases} m \ddot{u} - \sigma_0 u'' = 0 \quad x \in [0,L] \\ u(0,t) = 0 \\ u(L,t) = 0 \\ \end{cases} \end{split}\]

La velocità di propagazione delle perturbazioni è \(c = \sqrt{\frac{\sigma_0}{m}}\).

Onde \(\ \) stazionarie - modi propri di vibrare

Si applica il metodo di separazione delle variabili \(u(x,t) = f(x) g(t)\),

\[m f \ddot{g} - \sigma_0 f'' g = 0 \ ,\]

\[\frac{m}{\sigma_0}\frac{\ddot{g}}{g} = \frac{f''}{f} = C\]

e scegliendo solo i valori di \(c\) che forniscono soluzioni non triviali compatibili con i vincoli, \(C = - k^2\). L’equazione per la parte spaziale della soluzione diventa quindi

\[f''(x) + k^2 f(x) = 0 \ .\]

La soluzione generale di questa equazione è

\[f(x) = A \cos (kx) + B \sin (kx) \ ,\]

e l’imposizione delle condizioni al contorno consentono di trovare i valori ammissibili di \(A\), \(B\) e una condizione su \(k\),

\[\begin{split}\begin{cases} 0 = f(0) = A \\ 0 = f(L) = k B \sin (kL) \\ \end{cases}\end{split}\]

e quindi per avere soluzioni non banali, deve essere soddisfatta la condizione

\[\sin(kL) = 0 \ .\]

I valori della costante \(k\) ammissibili per ottenere soluzioni non banali sono quindi

\[k_n = n \frac{\pi}{L} \ , \qquad n \in \mathbb{N} \ .\]

Quindi esiste una forma spaziale \(f_n(x) = A_n \sin \left( k_n x \right)\) per ogni valore di \(n \in \mathbb{N}\). Ad ogni forma \(f_n(x)\) è associata una parte temporale \(g_n(t)\),

\[g_n(t) = a_n \cos\left( \omega_n t \right) + b_n \sin\left( \omega_n t \right) \ ,\]

con \(\omega_n = c \, k_n\).

La forma generale della soluzione del problema può quindi essere scritta come combinazione di onde stazionarie,

\[u(x,t) = \sum_{n} \left[ \alpha_n \cos\left( \omega_n t \right) + \beta_n \sin\left(\omega_n t\right) \right] \sin\left( k_n x \right) \ .\]

con \(k_n = n\frac{\pi}{L}\) e \(\omega_n = c k_n = n c \frac{\pi}{L}\).

I coefficienti \(\alpha_n\), \(\beta_n\) vengono calcolati applicando le condizioni iniziali del problema

\[\begin{split}\begin{aligned} u_0(x) = u(x,0) & = \sum_{n} \alpha_n \sin\left( k_n x \right) \\ v_0(x) = \dot{u}(x,0) & = \sum_{n} \omega_n \beta_n \sin\left( k_n x \right) \\ \end{aligned}\end{split}\]

e quindi risultano essere i coefficienti delle serie di Fourier della posizione e della velocità iniziale. Nel caso di configurazione iniziale in quiete, \(\dot{u}(x,0) = 0\), i coefficienti \(\beta_n\) sono nulli, \(\beta_n = 0\).

Onde \(\ \) viaggianti

Si usano le proprietà delle funzoni trigonometriche,

\[\begin{split}\begin{aligned} \cos(\alpha \mp \beta) & = \cos \alpha \cos \beta \pm \sin \alpha \sin \beta \\ \sin(\alpha \mp \beta) & = \sin \alpha \cos \beta \mp \cos \alpha \sin \beta \\ \end{aligned}\end{split}\]

e

\[\begin{split}\begin{aligned} \cos \alpha \sin \beta & = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta) \right) \\ \sin \alpha \sin \beta & = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta) \right) \\ \end{aligned}\end{split}\]

La soluzione dell’equazione può quindi essere riscritta come

\[\begin{split}\begin{aligned} u(x,t) & = \sum_n \left[\frac{\alpha_n}{2}\left( \sin(\omega_n t + k_n x) - \sin(\omega_n t - k_n x) \right) \right. + \\ & \qquad + \left.\frac{\beta_n }{2}\left( \cos(\omega_n t - k_n x) - \cos(\omega_n t + k_n x) \right) \right] = \\ & = \sum_n \left[\frac{\alpha_n}{2}\left( \sin(k_n (c t + x)) - \sin(k_n(c t - x)) \right) \right. + \\ & \qquad + \left.\frac{\beta_n }{2}\left( \cos(k_n (c t - x)) - \cos(k_n(c t + x)) \right) \right] \ . \end{aligned}\end{split}\]

Nel caso di condizione iniziale in quiete, tutti i coefficieti \(\beta_n\) sono nulli. La soluzione è uguale a due contributi uguali - e uguali a metà della condizione iniziale - che si muovono in direzione opposta a velocità \(\mp c\),

\[\begin{split}\begin{aligned} u(x,t) & = \sum_n \frac{\alpha_n}{2} \sin(k_n(x+ct)) + \sum_n \frac{\alpha_n}{2} \sin(k_n(x-ct)) = \\ & = \frac{1}{2} u_0(x+ct) + \frac{1}{2} u_0(x-ct) \ , \end{aligned}\end{split}\]

avendo riconosciuto il contributo delle due onde viaggianti

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{1}{2} u_0(x+ct) & = \sum_n \frac{\alpha_n}{2} \sin(k_n(x+ct)) && \text{(onda viaggiante verso sinistra)} \\ \frac{1}{2} u_0(x-ct) & = \sum_n \frac{\alpha_n}{2} \sin(k_n(x-ct)) && \text{(onda viaggiante verso destra)} \end{aligned}\end{split}\]

21.4.1.1.2. Torsione di una trave con un estremo vincolato e un estremo libero

\[\begin{split}\begin{aligned} && I \ddot{u} - GJ u'' = 0 && x \in [0,L] \\ && u(0,t) = 0 \\ && GJu'(L,t) = 0 \\ \end{aligned}\end{split}\]

La velocità di propagazione delle perturbazioni è \(c = \sqrt{\frac{GJ}{I}}\).

Onde \(\ \) stazionarie - modi propri di vibrare

Si applica il metodo di separazione delle variabili \(u(x,t) = f(x) g(t)\),

\[m f \ddot{g} - \sigma_0 f'' g = 0 \ ,\]

\[\frac{m}{\sigma_0}\frac{\ddot{g}}{g} = \frac{f''}{f} = C\]

e scegliendo solo i valori di \(c\) che forniscono soluzioni non triviali compatibili con i vincoli, \(C = - k^2\). L’equazione per la parte spaziale della soluzione diventa quindi

\[f''(x) + k^2 f(x) = 0 \ .\]

La soluzione generale di questa equazione è

\[f(x) = A \cos (kx) + B \sin (kx) \ ,\]

e l’imposizione delle condizioni al contorno consentono di trovare i valori ammissibili di \(A\), \(B\) e una condizione su \(k\),

\[\begin{split}\begin{cases} 0 = f(0) = A \\ 0 = GJf'(L) = GJ k B \cos (kL) \\ \end{cases}\end{split}\]

e quindi per avere soluzioni non banali, deve essere soddisfatta la condizione

\[\cos(kL) = 0 \ .\]

I valori della costante \(k\) ammissibili per ottenere soluzioni non banali sono quindi

\[k_n = \frac{\pi}{2L} + n \frac{\pi}{L} = \left(\frac{1}{2} + n\right) \frac{\pi}{L} \ , \qquad n \in \mathbb{N} \ .\]

Quindi esiste una forma spaziale \(f_n(x) = A_n \sin \left( k_n x \right)\) per ogni valore di \(n \in \mathbb{N}\). Ad ogni forma \(f_n(x)\) è associata una parte temporale \(g_n(t)\),

\[g_n(t) = a_n \cos\left( \omega_n t \right) + b_n \sin\left( \omega_n t \right) \ ,\]

con \(\omega_n = c \, k_n\).

La forma generale della soluzione del problema può quindi essere scritta come combinazione di onde stazionarie,

\[u(x,t) = \sum_{n} \left[ \alpha_n \cos\left( \omega_n t \right) + \beta_n \sin\left(\omega_n t\right) \right] \sin\left( k_n x \right) \ .\]

con \(k_n = \left(\frac{1}{2}+n\right)\frac{\pi}{L}\) e \(\omega_n = c k_n = \left( \frac{1}{2} + n \right) c \frac{\pi}{L}\).

I coefficienti \(\alpha_n\), \(\beta_n\) vengono calcolati applicando le condizioni iniziali del problema

\[\begin{split}\begin{aligned} u_0(x) = u(x,0) & = \sum_{n} \alpha_n \sin\left( k_n x \right) \\ v_0(x) = \dot{u}(x,0) & = \sum_{n} \omega_n \beta_n \sin\left( k_n x \right) \\ \end{aligned}\end{split}\]

e quindi risultano essere i coefficienti delle serie di Fourier della posizione e della velocità iniziale. Nel caso di configurazione iniziale in quiete, \(\dot{u}(x,0) = 0\), i coefficienti \(\beta_n\) sono nulli, \(\beta_n = 0\).

21.4.2.