8. Cinematica#

La cinematica si occupa della descrizione del moto dei sistemi, senza indagarne le cause. La cinematica si occupa della descrizione dello stato di un sistema, e della sua variazione, nello spazio in funzione del tempo.

Cosa si intende per spazio e per tempo in meccanica classica? Il modello di spazio che aveva in mente Newton - e che può essere ritenuto un ottimo modello di spazio in molte circostanze anche oggi - è lo spazio Euclideo, nel quale non ci sono direzioni o posizioni «speciali» (isotropo e uniforme), e nel quale valgono i postulati e i risultati della geometria euclidea. Questo modello di spazio 3-dimensionale può essere descrito dalle coordinate cartesiane, e la distanza tra due punti può essere calcolata con il teorema di Pitagora applicato alle differenze di coordinate. Dal punto di vista operativo, lo spazio è quell’entità fisica nella quale si possono misurare distanze e angoli con righello e gonomiometro (o altri strumenti meno rudimentali). Una volta scelto un punto dello spazio come origine, i punti dello spazio possono essere rappresentati come vettori di uno spazio euclideo. Il tempo invece può essere definito come la grandezza fisica associabile al susseguirsi degli eventi e che può essere misurata con un orologio.

In meccanica classica, spazio e tempo sono considerati indipendentemente entità assolute1, cioè indipendenti dall’osservatore: due osservatori diversi dotati di strumenti per la misura di distanze, angoli e tempo (accurati e tarati), concordano sulla misura della distanza tra qualsiasi coppia di punti dello spazio, dell’angolo tra qualsiasi coppia di direzioni e di qualsiasi intervallo di tempo. Come discusso nell’esempio Example 8.1, due osservatori che usano sistemi di coordinate diversi possono non concordare sulle coordinate dei punti ma concordano sulle distanze e sugli angoli.

La posizione di un punto nello spazio euclideo è rappresentabile con un vettore (una volta scelto un punto come origine nello spazio); un istante di tempo è rappresentabile con un numero scalare. La descrizione generale di una rotazione nello spazio 3-dimensionale richiede strumenti al di fuori dello scopo di questo materiale, i tensori; limitandoci qui al moto piano di sistemi estesi, la rotazione in un moto piano può essere rappresentata con l’angolo di rotazione rispetto a una direzione di riferimento (e quindi una quantità scalare) o con un vettore ortogonale al piano del moto di valore modulo uguale all’angolo di rotazione. La discussione generale della cinematica dei corpi rigidi nello spazio 3-dimensionale viene affrontata nel materiale di meccanica per gli studenti universitari.

Definition 8.1 (Configurazione di un sistema)

La configurazione di un sistema viene definita da un insieme minimo (non ridondante) di variabili indipendenti, o coordinate, dette gradi di libertà. Il numero di gradi di libertà di un sistema dipende dalla dimensione dello spazio nel quale avviene il moto, dal numero e dal tipo degli elementi che lo compongono e dai vincoli che connettono gli elementi del sistema tra di loro o con l’ambiente esterno.

La scelta dell’insieme dei gradi di libertà usati per descrivere la configurazione di un sistema non è univoca, e di solito viene guidata da un criterio di «comodità» e di «semplicità» del problema da risolvere. La scelta dei gradi di libertà non influenza la configurazione del sistema, che è quindi invariante alla scelta dei gradi di libertà.

Definition 8.2 (Stato di un sistema)

In generale, in meccanica classica lo stato di un sistema è definito dalla sua configurazione e dalla derivata prima nel tempo delle variabili che definiscono i gradi di libertà: questo è sensato per sistemi meccanici la cui dinamica è governata da equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine.

La configurazione di un punto libero nello spazio euclideo \(E^n\) (\(n=2\) piano, \(n=3\) spazio) è definita dalla sua posizione nello spazio, tramite un insieme di \(n\) coordinate:

  • un punto libero nel piano ha 2 gradi di libertà (traslazione);

  • un punto libero nello spazio ha 3 gradi di libertà (traslazione).

La configurazione di un corpo rigido libero è definita dalla posizione di un suo punto nello spazio e dalla sua orientazione:

  • un corpo rigido nel piano ha 3 gradi di libertà, 2 per definire la posizione di un suo punto nello spazio (traslazione) e 1 per definire la sua orientazione (rotazione) rispetto a un asse ortogonale al piano;

  • un corpo rigido nello spazio ha 6 gradi di libertà, 3 per definire la posizione di un suo punto nello spazio (traslazione) e 3 per definire la sua orientazione (rotazione)

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Questo non è più vero nella meccanica di Einstein, teoria compatibile con i fenomeni elettromagnetici e l’evidenza sperimentale che la velocità della luce è finita. Nell’ambito della teoria della relatività di Einstein, spazio e tempo non sono più due entità assolute: due osservatori in moto relativo non concordano sulle misure di lunghezze, di angoli e di intervalli di tempo. Spazio e tempo sono due componenti di un’entità assoluta 4-dimensionale, lo spazio-tempo. Potrà sembrare strano, ma così è: è sempre bene ricordarsi che la nostra esperienza quotidiana è abbastanza limitata e di come i nostri sensi possono ingannarci.