14. Solidi

In questa sezione viene inizialmente introdotto il comportamento di un solido, caratterizzato con una prova mono-assiale a trazione; successivamente viene presentato il modello più semplice di solido deformabile, la trave elastica: per questi elementi strutturali, vengono analizzate le azioni interne e le condizioni di equilibrio, prima di fornire alcuni esempi.

Piccoli spostamenti e piccole vibrazioni: regime in cui si studia la statica delle strutture la dinamica di spostamenti di ampiezza limitata rispetto a una condizione di riferimento - tipicamente vibrazioni o oscillazioni. todo collegamento a onde?

I solidi elastici - ma cosa sono i solidi elastici? - possono essere modellati come sistemi di molle e masse. todo aggiungere collegamento

14.1. Prova mono-assiale

14.2. Elementi allungati - le travi

14.2.1. Approccio agli spostamenti

Nel caso di travi allungate è possibile riportare gli spostamenti di tutti i punti di una sezione della trave agli spostamenti di un suo punto e alla rotazione della sezione.

14.2.2. Sforzi

14.2.3. Azioni interne

La distribuzione di sforzi agenti su ogni sezione interna di una trave in generale ha come risultante una forza e un momento, rispetto a un punto. Tra le componenti della forza si possono riconoscere:

• l’azione assiale, definita come la componente della risultante degli sforzi interni lungo l’asse della trave

• le due componenti del taglio, definite come le componenti della risultante degli sforzi interni perpendicolari all’asse della trave

Tra le componentni del momento, si possono riconsocere:

• il momento torcente, definito come la componente del momento lungo l’asse della trave

• le due componenti del momento flettente

14.2.4. Legge costitutiva - per le travi

Nel caso particolare di travi a sezione costante simmetrica, è possibile definire una legge costitutiva tra le azioni interne e i gradi di libertà della trave particolarmente semplice, in cui le azioni interne e i gradi di libertà risultano disaccoppiati, se il punto di riferimento è il centro (di simmetria geometrica e di proprietà fisiche) della sezione

\[\begin{split}\begin{aligned} N (z) & = EA u'_z(z) && \quad M_z = GJ_t \theta'_z(z) \\ T_x(z) & = GA_x \left( u'_x(z) - \theta_y(z) \right) && \quad M_x = EJ_x \theta'_x(z) \\ T_y(z) & = GA_y \left( u'_y(z) + \theta_x(z) \right) && \quad M_y = EJ_y \theta'_y(z) \\ \end{aligned}\end{split}\]

14.2.5. Statica

14.2.5.1. Equazioni indefinite di equilibrio

\[\begin{split}\begin{aligned} N' (z) & = f_z(z) && \quad M'_z(z) = m_z(z) \\ T'_x(z) & = f_x(z) && \quad M'_x(z) = m_x(z) + T_y(z) \\ T'_y(z) & = f_y(z) && \quad M'_y(z) = m_y(z) - T_x(z) \\ \end{aligned}\end{split}\]

Travi snelle. Per travi snelle, si può dimostrare che il contributo del taglio risulta trascurabile rispetto alle altre azioni. Questa condizione ha una conseguenza anche sulla cinematica dei punti della trave,

\[\begin{split}\begin{aligned} T_x = 0 \quad & \rightarrow \quad u'_x(z) = \theta_y(z) \\ T_y = 0 \quad & \rightarrow \quad u'_y(z) =-\theta_x(z) \\ \end{aligned}\end{split}\]

e sulle equazioni di equilibrio del corpo che, in assenza di momenti flettenti distribuiti, \(m_x(z) = m_y(z) = 0\), diventano

\[\begin{split}\begin{aligned} N' & = f_z \qquad && \qquad \ \quad EA u''_z = f_z \\ M'_z & = m_z \qquad && \qquad \ \quad GJ_t \theta''_z = m_z \\ M''_x & = f_x \qquad && \qquad -EJ_x u''''_x = f_x \\ M''_y & =-f_y \qquad && \qquad -EJ_y u''''_y = f_y \\ \end{aligned}\end{split}\]

14.2.5.2. Condizioni al contorno

…condizioni essenziali (sugli spostamenti, dai vincoli) e naturali (dai carichi)…

14.2.6. Modelli discreti(zzati)

…

Example 14.1 (Distribuzione di sforzi assiali, o come rompere una matita/un righello)

Trave con carico assiale agli estremi. Dalle condizioni di equilibrio, l’azione interna è costante lungo tutta la trave,

\[N(z) = N \ ,\]

e lo sforzo uniforme sulla sezione è

\[\sigma(z) = \frac{N(z)}{A}\]

Con una trave rettangolare di base \(a\) e altezza \(b\), \(\sigma = \frac{N}{a b}\)

Trave con momento flettente agli estremi.

\[M(z) = M \ ,\]

e la distribuzione lineare «a farfalla» degli sforzi assiali sulla sezione è

\[\sigma(z,x) = \frac{M_y(z)}{J_y} x \]

\[\sigma_{max}(z,x) = \frac{M}{ \frac{1}{12} a^3 b } \frac{a}{2}\]

---

\[M_y = \int_A \sigma(x) x \, dA = \int_A c x^2 \ dA = c J_y\]

\[c = \frac{M_y}{J_y} \ ,\]

\[\sigma(z,x) = \frac{M_y(z)}{J_y} \, x \ .\]

Per una sezione rettangolare di base \(a\) e di altezza \(b\),

\[J_y = \int_A x^2 \, dA = \int_{x=-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \int_{y=-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} x^2 \, dx \, dy = \frac{1}{12} a^3 b \]

Trave appoggiata agli estremi e caricata in centro.

Example 14.2 (Strutture reticolari)

14.3. Meccanismi non elastici

14.3.1. Snervamento e rottura

14.3.2. Instabilità

• Esempi di instabilità di punta (esempio di instabilità parametrica): spaghetto, trave, pannelli in aeronautica (ma specializzazione dei componenti strutturali, niente paura!)

• Modello strutturale discreto

14.3.3. Fatica nei solidi

14.3.4. Creep - scorrimento viscoso

14.3.5. todo

• Cenni di propagazione perturbazioni come onde, es:

  • fluidi:

    • pressione e acustica, piccole perturbazioni e urti

    • onde con superficie libera (mare, rubinetto,…)

  • perturbazioni nei solidi:

    • corda di una chitarra; altri esempi con elementi 1d

    • esempi con membrane (es, nostro orecchio)

    • esempi di propagazione in mezzi (più o meno) continui

    • onde sismiche

14.4. Esercizi

• strutture isostatiche:

  • aggiungere una definizione di strutture isostatiche

  • reazioni vincolari e azioni interne con condizioni di equilibrio