18.3. Solidi elastici

18.3.1. Solido elastico lineare 1-dimensionale

Legge costitutiva lineare con espansione termica. Sia data la legge costitutiva elastica che esprime la lunghezza della trave \(L\) in funzione dell’azione assiale \(f\) e della differenza di temperatura \(T-T_0\) rispetto alla temperatura di riferimento \(T_0\),

\[L(f,T) - L_0 = \frac{1}{K} f + \alpha L_0 (T-T_0) \ ,\]

assumendo che la costante elastica isoterma \(K\), e il coefficiente di dilatazione termica a carico costante \(\alpha\) siano costanti, parametri caratteristici del materiale e della configurazione di riferimento. Sotto queste ipotesi, è possibile invertire la relazione per scrivere l’azione assiale in funzione dell’allungamento e della temperatura,

\[f(\Delta L, \, \Delta T) = K \Delta L - \alpha \, L_0 \, K \, \Delta T \ .\]

Potenziali termodinamici.

\[dE = T dS + f dL \qquad , \qquad \text{energia interna} \]

\[dH = T dS - L df \qquad , \qquad \text{entalpia, $H = E - f \, L$} \]

\[dF =-S dT + f dL \qquad , \qquad \text{Helmholtz, $F = E + T \, S$} \]

\[dG =-S dT - L df \qquad , \qquad \text{Gibbs, $G = H + T \, S$} \]

Energia libera di Helmholtz.

\[d E = \delta Q^{ext} - \delta L^{int} = T \, dS + f \, dL\]

La variazione dell’energia libera di Helmholtz, \(F := E - TS\),

\[dF = d E - T \, dS - S \, dT = f \, dL - S \, dT \ ,\]

permette di riconoscere l’azione assiale e l’entropia come le derivate parziali di \(F\),

\[ f = \left(\frac{\partial F}{\partial L} \right)_T \qquad , \qquad S = - \left(\frac{\partial F}{\partial T} \right)_L \]

Integrando la relazione dell’azione assiale, si ottiene

\[F(\Delta L, \Delta T) = \dfrac{1}{2} \, K \, \Delta L^2 - \alpha \, L_0 \, K \, \Delta T \, \Delta L + F_0(T) \ ,\]

avendo introdotto la funzione \(F_0(T)\), dipendente al massimo dalla temperatura \(T\), come risultato dell’integrazione in \(L\). Dall’espressione dell’energia libera di Helmholtz si può poi ricavare l’espressione dell’entropia

\[ S(\Delta L, \Delta T) = - \left(\frac{\partial F}{\partial T} \right)_L = \alpha \, L_0 \, K \, \Delta L - F_0'(T) \ . \]

Calori specifici. Il calore specifico a lunghezza costante viene calcolato direttamente usando l’espressione dell’entropia,

\[C_L = T \left(\frac{\partial S}{\partial T} \right)_L = - T \, F_0''(T) \ .\]

Assumendo che il calore specifico \(C_L\) sia costante, l’integrazione ci fornisce un’espressione della funzione \(F_0'(T)\),

\[F_0'(T) - F_0'(T_0) = - C_L \ln \left( \dfrac{T}{T_0} \right) \ ,\]

che consente di esprimere l’entropia in fuznione del calore specifico,

\[S(\Delta L, \, \Delta T) = \alpha \, L_0 \, K \, \Delta L + C_L \ln \left( 1 + \dfrac {\Delta T}{T_0} \right) + S_0\]

Usando la legge costitutiva per esprimere l’allungamento in funzione dell’azione assiale e dell’incremento di temperatura,

\[S(f, \, \Delta T) = \alpha \, L_0 \, K \, \left( \dfrac{1}{K} \, f + \alpha \, L_0 \, \Delta T \right) + C_L \ln \left( 1 + \dfrac {\Delta T}{T_0} \right) + S_0 \ ,\]

è possibile calcolare il calore specifico a carico costante,

\[\begin{split}\begin{aligned} C_f & = T \left(\frac{\partial S}{\partial T} \right)_f = \\ & = T \, \left[ K \, ( \alpha \, L_0 )^2 + \frac{C_L}{T}\right] \\ & = T K \, ( \alpha \, L_0 )^2 + C_L \ . \end{aligned}\end{split}\]

Coefficienti termodinamici: costanti elastiche, coefficiente di dilatazione. Dall’espressione della legge costitutiva, si definiscono la costante elastica isoterma

\[\frac{1}{K} := \left(\frac{\partial L}{\partial f}\right)_T \ ,\]

e il coefficiente di dilatazione termica a carico costante

\[\alpha_f := \frac{1}{L_0} \left(\frac{\partial L}{\partial T}\right)_f \ .\]

La costante elastica adiabatica,

\[\frac{1}{K_{ad}} := \left(\frac{\partial L}{\partial f}\right)_S \ ,\]

può essere calcolata derivando la funzione che esprime la lunghezza \(L\) in funzione delle variabili indipendente \(f\), \(S\) che si può ricavare sostituendo il legame \(\Delta T(\Delta L, \, F)\) della relazione costitutiva nell’espressione dell’entropia, per ottenere

\[S = \alpha \, L_0 \, K \, \Delta L + C_L \ln \left( 1 + \frac{1}{T_0} \frac{1}{\alpha \, L_0 \, K} \left( K \, \Delta L - f \right) \right) + S_0\]

la cui derivata \(\frac{\partial}{\partial f}\big|_S\) vale

\[0 = \alpha \, L_0 \, K \left(\frac{\partial L}{\partial f}\right)_S + C_L \dfrac{1}{1 + \frac{K \, \Delta L - f}{\alpha \, T_0 \, L_0 \, K}}\frac{1}{\alpha \, L_0 \, K \, T_0} \left( K \left(\frac{\partial L}{\partial f}\right)_S - 1\right) \ .\]

Introducendo la definizione della costante elastica in condizioni adiabatiche, \(K_{ad}(T; K, \alpha)\),

\[\dfrac{K}{K_{ad}} \left[ \frac{(\alpha \, L_0)^2 \, T \, K }{C_L} + 1 \right] = 1\]

si trova la relazione tra le costanti elastiche isoterma e adiabatica,

\[\begin{aligned} K_{ad} & = K \left( 1 + \frac{(\alpha \, L_0)^2 \, T \, K }{C_L} \right) = K \frac{1}{1 - \dfrac{(\alpha \, L_0)^2 \, K \, T }{C_f}} \ . \end{aligned}\]

Energia interna. L’energia interna del sistema può essere ricavata da \(E = F + T \, S\),

\[\begin{split}\begin{aligned} E & = \dfrac{1}{2} \, K \, \Delta L^2 - \alpha \, L_0 \, K \, \Delta T \, \Delta L + F_0(T) + T \left( \alpha \, L_0 \, K \, \Delta L + C_L \ln \left( 1 + \dfrac{\Delta T}{T_0} \right) + S_0 \right) = \\ & = \frac{1}{2} \, K \, \Delta L^2 + F_0(T) + T \, C_L \, \ln \left( 1 + \dfrac{\Delta T}{T_0} \right) + T \, S_0 \ . \end{aligned}\end{split}\]

E” quindi possibile riconoscere \(E_0 := E(\Delta L = 0, \Delta T = 0) = F_0(T_0) + T_0 \, S_0\). La variazione di quest’ultima relazione nei confronti delle variabili \(\Delta L\), \(\Delta T\),

\[\begin{split}\begin{aligned} d E & = K \Delta L \, d L + \underbrace{F_0'(T)}_{- C_L \ln \left(\frac{T}{T_0}\right) - S_0} dT + C_L \, d T \left[ \ln \left(\frac{T}{T_0}\right) + 1 \right] + S_0 \, d T = \\ & = K \Delta L \, d L + C_L \, d T \end{aligned}\end{split}\]

può essere espressa in funzione degli incrementi \(d L\), \(d S\), grazie all’incremento della relazione che lega le tre variabili \(S, L, T\),

\[d S = \alpha \, L_0 \, K \, d L + \frac{C_L}{T} \, dT \ ,\]

in

\[\begin{split}\begin{aligned} d E & = K \Delta L \, d L + C_L \, dT = \\ & = K \Delta L \, d L + \, T \, ( dS - \alpha \, L_0 \, K \, dL ) = \\ & = ( K \Delta L - K \, \alpha \, L_0 \, T ) \, d L + \, T \, dS \ . \end{aligned}\end{split}\]

todo Controllare! Non torna l’espressione della forza: c’è solo la temperatura, ma ci dovrebbe essere la differenza di temperatura rispetto a quella di riferimento?

18.3.2. Coefficienti di dilatazione

Seguendo il metodo di misura della dilatazione utilizzando provini 1-dimensionali todo controllare, aggiungere riferimenti, la dilatazione termica nei solidi viene di solito definita utilizzando un coefficiente di dilatazione lineare,

\[\alpha = \dfrac{1}{L_0}\left( \dfrac{\partial L}{\partial T} \right)_x \ ,\]

qui misurato mantenendo la quantità fisica \(x\) costante. In un intervallo di valori in cui il coefficiente di dilatazione può essere considerato costante o in cui i termini di secondo ordine in un’espansione in serie sono trascurabili, vale

\[L(T,x) = L(T_0,x) + (T-T_0) \left(\dfrac{\partial L}{\partial T}\right)_{x} = L(T_0,x) + L(T_0, x) \alpha \Delta T = L_0 \left( 1 + \alpha \Delta T \right)\]

18.3.2.1. Coefficiente di dilatazione di superficie

Per un solido isotropo si può definire il coefficiente di dilatazione di superficie, utilizzando il coefficiente di dilatazione lineare per rappresentare la dilatazione dei lati di un elemento quadrato,

\[\begin{split}\begin{aligned} S(T) & = a(T) \, b(T) = \\ & = a_0 (1 + \alpha \Delta T) \, b_0 (1 + \alpha \Delta T) = \\ & = a_0 \, b_0 (1 + 2 \alpha \Delta T + \alpha^2 \Delta T^2) \sim \\ & = S_0 ( 1 + 2 \alpha \Delta T ) \ , \end{aligned}\end{split}\]

si ricava nell’approssimazione lineare il coefficiente di dilatazione di superficie,

\[\dfrac{1}{S_0}\left(\dfrac{\partial S}{\partial T}\right)_x = \alpha_s \sim 2 \alpha \ .\]

18.3.2.2. Coefficiente di dilatazione di volume

Per un solido isotropo si può definire il coefficiente di dilatazione di volume, utilizzando il coefficiente di dilatazione lineare per rappresentare la dilatazione dei lati di un elemento cubico,

\[\begin{split}\begin{aligned} V(T) & = a(T) \, b(T) \, c(T) = \\ & = a_0 (1 + \alpha \Delta T) \, b_0 (1 + \alpha \Delta T) \, c_0 (1+\alpha \Delta T) = \\ & = a_0 \, b_0 \, c_0 (1 + 3 \alpha \Delta T + 3 \alpha^2 \Delta T^2 + \alpha^3 \Delta T^3) \sim \\ & = V_0 ( 1 + 3 \alpha \Delta T ) \ , \end{aligned}\end{split}\]

si ricava nell’approssimazione lineare il coefficiente di dilatazione di superficie,

\[ \dfrac{1}{V_0}\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_x = \alpha_v \sim 3 \alpha \ .\]

Example 18.1 (Anello di Gravesande)

Example 16.1

Example 18.2 (Pendolo)

Example 18.3 (Calettamento)

Il calettamento a caldo o a freddo è un’operazione di unione di due componenti con una connessione a incastro, che sfrutta la dilatazione termica dei materiali. todo esempi

\[L_1(T) = L_{1,0} (1 + \alpha_1 (T-T_0))\]

\[F = k \Delta x\]

\[\Delta L = \alpha_1 L_{1,0} ( T - T_0 )\]