25.2. Circuiti magnetici#

25.2.1. Approssimazione circuitale#

Le leggi di Gauss per il campo magnetico e la legge di Ampére-Maxwell nel regime di bassa frequenza (25.1), nel quale il termine \(\dot{\Phi}_S(\vec{d})\) è trascurabile,

(25.4)#\[\begin{split}\begin{cases} \Phi_{\partial V}(\vec{b}) = 0 \\ \Gamma_{\partial S}(\vec{h}) = \Phi_S(\vec{j}_f) \ , \end{cases}\end{split}\]

permettono di ricavare un’approssimazione circuitale dei sistemi elettromagnetici, che possono essere rappresentati tramite circuiti magnetici come prima approssimazione ingegneristica, soprattutto in presenza di componenti ferromagnetici che funzionino da «conduttore di campo magnetico», in analogia ai cavi elettrici in materiale conduttore che funzionano da conduttori di corrente nei circuiti elettrici: così come il moto delle cariche in un circuito elettrico non sfuggono dal cavo elettrico - nei regimi di funzionamento «normali» nei circuiti -, allo stesso modo il campo magnetico è in gran parte confinato al traferro1.

25.2.2. Leggi di Kirchhoff per i circuiti magnetici#

Le leggi di Kirchhoff per i circuiti magnetici si ricavano struttando l’analogia tra il sistema (25.4) e il sistema formato dalla conservazione della carica e della legge di Faraday in una regione di spazio in cui il campo elettrico è conservativo,

\[\begin{split} \begin{cases} \Phi_{\partial V}(\vec{j}) = 0 \\ \Gamma_{\partial S}(\vec{e}) = 0 \\ \end{cases} \qquad , \qquad \begin{cases} \Phi_{\partial V}(\vec{b}) = 0 \\ \Gamma_{\partial S}(\vec{h}) = \Phi_S(\vec{j}_f) \ , \end{cases} \end{split}\]

riconoscendo l’analogia formale tra:

  • tra la densità di corrente elettrica \(\vec{j}\) e il campo magnetico \(\vec{b}\),

  • e quindi tra la corrente elettrica \(i = \int_S \hat{n} \cdot \vec{j} \sim j A\) e il flusso di campo magnetico \(\phi = \int_{S} \hat{n} \cdot \vec{b} \sim b A\)

  • tra il campo elettrico \(\vec{e}\) e il campo di magnetizzazione \(\vec{h}\)

La differenza maggiore è la presenza del termine \(\Phi_S(\vec{j}_f)\) che opera da generatore di campo di magnetizzazione, come si potrebbe riconoscere nella legge di Ampére-Maxwell isolando i generatori di tensione, o come avviene in circuiti elettro(magneto)meccanici in cui in alcune zone del dominio la derivata nel tempo del flusso del campo magnetico non è nulla, come discusso in seguito.

I «generatori di flusso magnetico» si trovano in corrispondenza di induttori. Assumendo un flusso perfettamente concatenato a un induttore con \(N\) avvolgimenti, l’intensità del generatore di flusso magnetico è

\[m := \Phi_{S_{ind}}(\vec{j}_f) = N i \ .\]

Utilizzando l’equazione di Faraday si ottiene la relazione tra la differenza di tensione ai capi dell’induttore e il flusso del campo magnetico concatenato (\(N\) volte) alla superficie che ha come contorno il conduttore del solenoide, si ottiene la relazion

(25.5)#\[v := \Gamma_{\partial S}(\vec{e}) = \dot{\Phi}_{S}(\vec{b}) = \dfrac{d \psi}{dt} = \dfrac{d}{dt} \left( N \phi \right) = N \dot{\phi} \]

25.2.3. Trasformatore#

I trasformatori sono sistemi che operano in corrente alternata per poter sfruttare il fenomeno di induzione magnetica per connettere due circuiti, il circuito primario (alimentato esternamente) e il circuito secondario (collegato al carico, all’utilizzatore), modificando il valore della tensione e della corrente del circuito secondario rispetto al primario.

25.2.3.1. Trasformatore ideale#

Un trasformatore ideale non ha flussi dispersi. Il flusso \(\phi\) è perfettamente confinato nel traferro ed è concatentao ai due induttori del trasformatore,

\[\phi_1 = \phi_2 \ .\]

Usando la relazione (25.5) tra tensione ai capi degli induttori e la derivata dei flussi concatenati si ricava la relazione tra il numero di avvolgimenti e le differenze di tensione ai capi degli induttori

(25.6)#\[\begin{split}\begin{cases} v_1 = N_1 \dot{\phi}_1 \\ v_2 = N_2 \dot{\phi}_2 \\ \end{cases} \qquad \rightarrow \qquad \dfrac{v_2}{v_1} = \dfrac{N_2}{N_1} \ . \end{split}\]

La relazione tra le correnti agli avvolgimenti è (todo Quale equazione utilizzare per ricavare il rapporto dell’intensità di corrente?)

(25.7)#\[\dfrac{i_2}{i_1} = \dfrac{N_1}{N_2}\]

Usando le due relazioni tra le tensioni e le correnti alle due porte elettriche, è facile osservare che il modello di trasformatore ideale non dissipa potenza, essendo la potenza uscente dall’avvolgimento secondario uguale alla potenza entrante nel sistema tramite l’avvolgimento primario,

\[P_2 = i_2 v_2 = i_1 \dfrac{N_1}{N_2} v_1 \dfrac{N_2}{N_1} = i_1 v_1 = P_1 \ .\]
1

Modelli un po” più di dettaglio che sfruttano comunque l’approccio circuitale considerano il flusso disperso, cioè il campo megnetico non confinato nel traferro, ma è non nullo anche nello spazio attorno ad esso.