12.3. Leggi di conservazione#

Partendo dalle equazioni di bilancio,

\[\begin{split}\begin{aligned} \dot{\vec{Q}} & = \vec{R}^{ext} & \text{(bilancio quantità di moto)} \\ \dot{\vec{L}}_H + \dot{\vec{x}}_H \times \vec{Q} & = \vec{M}_H^{ext} & \text{(bilancio momento della quantità di moto)} \\ \dot{K} & = P^{tot} & \text{(bilancio energia cinetica)} \end{aligned}\end{split}\]

sotto opportune ipotesi, si ottengono alcune leggi di conservazione di quantità meccaniche.

12.3.1. Conservazione della quantità di moto#

L’equazione di bilancio della quantità di moto di un sistema chiuso garantisce che la quantità di moto di un sistema chiuso è costante se la risultante delle forze esterne sul sistema è nulla,

\[ \vec{R}^{ext} = \vec{0} \qquad \rightarrow \qquad \ \ \vec{Q} = \text{const.} \]

12.3.2. Conservazione del momento della quantità di moto#

L’equazione di bilancio del momento della quantità di moto di un sistema chiuso garantisce che il momento della quantità di moto di un sistema chiuso è costante se la risultante dei momenti esterni sul sistema è nulla, ed è nullo il termine di trasporto,

\[ \vec{M}_H^{ext} = \vec{0} \ , \quad \dot{\vec{x}}_H \times \vec{Q} = \vec{0} \qquad \rightarrow \qquad \vec{L}_H = \text{const.} \]

12.3.3. Conservazione del momento dell’energia cinetica#

L’equazione di bilancio dell’energia cinetica di un sistema chiuso garantisce che il momento della quantità di moto di un sistema chiuso è costante se la risultante della potenza di tutte le azioni agenti sul sistema è nulla,

\[ P^{tot} = \vec{0} \qquad \rightarrow \qquad \ \ K = \text{const.} \]

12.3.4. Conservazione dell’energia meccanica#

Se in un sistema agiscono solo azioni conservative - sia azioni interne sia azioni esterne -, è valida la conservazione dell’energia meccanica. La potenza delle azioni conservative può essere scritta come derivata nel tempo di una funzione energia potenziale, \(P^{tot} = - \dot{V}\). Definendo l”energia meccanica come la somma dell’energia cinetica del sistema e dell’energia potenziale,

\[E^{mec} := K + V \ ,\]

segue immediatamente che, in assenza di azioni non-conservative l’energia meccanica di un sistema è costante,

\[\dot{K} = P^{tot} = - \dot{V} \quad \rightarrow \quad \dfrac{d}{dt} \left( K + V \right) = 0 \quad \rightarrow \quad E^{mec} = \text{const.}\]

Example 12.2 (Rotazione di una ballerina)