13.4. Rette nello spazio#

13.4.1. Definizione ed equazione#

Definizione 1 - Passaggio per un punto e direzione tangente. I punti \(P\) della retta \(r\) passante per il punto \(P_0\) e con direzione \(\vec{v}\) possono essere rappresentati dall”equazione parametrica,

(13.4)#\[r: P(\lambda) = P_0 + \lambda \, \vec{v} \ .\]

Questa relazione può essere scritta usando un sistema di coordidnate carteisane, con base \(\{ \hat{x}, \hat{y}, \hat{z} \}\),

\[\begin{split}\begin{cases} x_P(\lambda) = x_{P_0} + \lambda \, v_x \\ y_P(\lambda) = y_{P_0} + \lambda \, v_y \\ z_P(\lambda) = z_{P_0} + \lambda \, v_z \\ \end{cases}\end{split}\]

Definizione 2 - Interesezione di due piani incidenti. todo

13.4.2. Posizioni reciproche#

13.4.2.1. Posizione reciproca di punto e retta#

Un punto \(P\) o appartiene o non appartiene a una retta \(r\).

13.4.2.1.1. Distanza punto-retta#

Dato un punto \(A\) e una retta \(r\), di cui sono noti un punto \(Q\) e il vettore \(\vec{v}\), la distanza di \(A\) da \(r\) può essere calcolata come il valore assoluto della proiezione del vettore \(A-Q\) in direzione ortogonale alla direzione della retta, individuata da \(\vec{v}\),

\[\begin{split}\begin{aligned} \text{dist}(A,r) & = \left| (A-Q) - \hat{v} \ \hat{v} \cdot (A-Q) \right| = \\ & = \left| \hat{v} \times (A-Q) \right| \end{aligned}\end{split}\]

avendo usato il vettore unitario \(\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\) per la proiezione.

13.4.2.2. Posizione reciproca retta e piano#

Una retta \(r\) può essere:

  • contenuta in un piano \(\pi\): ha tutti i punti appartenenti al piano

  • parallela a un piano \(\pi\): non ha nessun punto appartenente al piano

  • incidente a un piano \(\pi\): interseca il piano in un solo punto

13.4.2.3. Posizione reciproca tra rette#

Due rette possono essere:

  • coincidenti: hanno tutti i punti in comune

  • incidenti: si intersecano in un solo punto

  • parallele: non hanno nessun punto in comune e hanno la stessa direzione; esiste un piano che contiene entrambe le rette

  • sghembe: non hanno nessun punto in comune e hanno direzioni diverse; non esiste nessun piano che contiene entrambe le rette

todo verificare queste condizioni