5. Algebra su \(\mathbb{R}^n\)#
L’algebra in \( \mathbb{R}^n \) si occupa delle \(n\)-uple \(\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n\) di \(n\) numeri reali e dei problemi che hanno più di un’incongita, come i sistemi di equazioni e di disequazioni. Alle operazioni sui numeri reali che possono essere compiute sulle singole componenti delle \(n\)-uple, si aggiungono le operazioni di:
Addizione di \(n\)-uple che produce una \(n\)-upla le cui componenti sono le somme delle componenti,
\[\mathbf{a} + \mathbf{b} = (a_1,\dots,a_n) + (b_1,\dots,b_n) = (a_1+b_1,\dots,a_n+b_n) \ ,\]Moltiplicazione di una \(n\)-upla per uno scalare che produce una \(n\)-upla le cui componenti sono il prodotto delle componenti per lo scalare
\[c \, \mathbf{a} = c \, (a_1,\dots,a_n) = (c \, a_1, \dots, c \, a_n) \ .\]
5.1. Problemi#
5.1.1. Forma generale#
Sistemi di equazioni. Un sistema di \(m\) equazioni in \(n\) incognite è un insieme di \(m\) equazioni che devono essere soddisfatte simultaneamente,
Le \(n\)-uple che soddisfano simultaneamente le \(m\) condizioni sono le soluzioni del problema. In generale, non si può dire nulla sull’esistenza e l’eventuale unicità delle soluzioni del problema. Risultati di esistenza e unicità esistono per i problemi lineari, come descritto nella sezione sull”algebra lineare todo collegamento. Serve un capitolo sull’algebra lineare? Rinominare quello sull’algebra matriciale in algebra lineare?.
Sistemi di disequazioni. Un sistema di \(m\) disequazioni in \(n\) incognite è un insieme di \(m\) disequazioni che devono essere soddisfatte simultaneamente,
Le \(n\)-uple che soddisfano simultaneamente le \(m\) condizioni sono le soluzioni del problema. In generale, non si può dire nulla sull’esistenza e l’eventuale unicità delle soluzioni del problema.
Sistemi di equazioni e disequazioni. Un sistema di \(m_1\) equazioni e \(m_2\) disequazioni in \(n\) incognite è un insieme di \(m_1\) equazioni e \(m_2\) disequazioni che devono essere soddisfatte simultaneamente,
Le \(n\)-uple che soddisfano simultaneamente le \(m\) condizioni sono le soluzioni del problema. In generale, non si può dire nulla sull’esistenza e l’eventuale unicità delle soluzioni del problema.
5.2. Problemi#
5.2.1. Sistemi lineari di equazioni#
Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} x + y = 7 \\ 2x - y = 4 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} 3x + 4y = 12 \\ x - 2y = -1 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} 5x - y = 10 \\ 2x + 3y = 14 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 4 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x - y = 9 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} x - y = 1 \\ 2x + y = 8 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 5 \\ x - y - z = -2 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} x + y + z = 5 \\ 2x + 2y + 2z = 10 \\ x - y + z = 1 \end{cases} \end{split}\]Verifica che il sistema non abbia soluzioni:
\[\begin{split} \begin{cases} x + y + z = 4 \\ x - y + z = 6 \\ 2x + 2y + 2z = 5 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} 2x + y + z = 7 \\ x - y + 2z = 3 \\ x + 2y - z = 4 \end{cases} \end{split}\]
5.2.2. Sistemi lineari di disequazioni#
Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} x + y \leq 4 \\ 2x - y > 3 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} x - 2y \geq 1 \\ 3x + y < 7 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} x + y \geq 0 \\ x - y \leq 3 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} 2x - y < 5 \\ x + 3y \geq -4 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} x - y \leq 2 \\ x + y > 6 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} 4x + y \geq 8 \\ x - y \leq 1 \end{cases} \end{split}\]
5.2.3. Sistemi di equazioni e disequazioni#
Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - y \geq 1 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} x - y > 0 \\ x + y = 5 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} 2x + y \leq 6 \\ x - y = 2 \end{cases} \end{split}\]
5.2.4. Equazioni Quadratiche#
Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} x^2 + y = 4 \\ x + y = 3 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} y = x^2 + 2x \\ y = -x + 3 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x + y = 7 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} x^2 - 4y = 3 \\ 2x + y = 5 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} y = x^2 - 3x + 2 \\ y = 2x - 1 \end{cases} \end{split}\]
5.2.5. Disequazioni Quadratiche#
Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} x^2 + y > 4 \\ x + y \leq 3 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} y > x^2 + 2x \\ y \leq -x + 3 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} x^2 + y^2 \leq 25 \\ x + y > 7 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} x^2 - 4y > 3 \\ 2x + y \leq 5 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} y \leq x^2 - 3x + 2 \\ y \geq 2x - 1 \end{cases} \end{split}\]
5.2.6. Problemi vari#
Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} \frac{x}{y} + 2 = 3 \\ x - \sqrt{y} = 2 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} \log(x) + y = 2 \\ x^y = 4 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} x^3 + y^2 = 10 \\ x - y = 2 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} x^2 + y^3 = 9 \\ x + \sqrt{y} = 3 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} \frac{x}{y} = 2 \\ x^2 - y^2 = 16 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 \\ x - y = 2 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} e^x + y = 5 \\ x + \ln(y) = 2 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} x^3 - y = 8 \\ y + \sqrt{x} = 10 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} \log(x) + y^2 = 4 \\ x + y = 3 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} x^2 - y = 3 \\ \frac{x + y}{x - y} = 2 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} 2^x + y = 10 \\ x + \log_2(y) = 3 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x^3 - y = 15 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} x + \frac{1}{y} = 4 \\ \frac{x}{y} + 2 = 5 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} x^4 - y^2 = 16 \\ x + y = 6 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} \sqrt{x} + y^3 = 10 \\ x + \frac{1}{y} = 4 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} e^x - y = 2 \\ x + \ln(y) = 1 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} \frac{1}{x} + y^2 = 5 \\ x^2 + y = 6 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} x^2 + y^3 = 12 \\ \ln(x) + y = 2 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} x + y = 7 \\ x^2 + y^2 = 49 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} x - \sqrt{y} = 3 \\ x^2 + y = 18 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} 3^x + y = 10 \\ x + \log_3(y) = 2 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} x^3 + y^2 = 20 \\ x + y = 6 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} \frac{x}{y} = 3 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases} \end{split}\]Risolvi il sistema:
\[\begin{split} \begin{cases} x^2 - y = 4 \\ x + y^2 = 10 \end{cases} \end{split}\]