15. Funzioni reali a variabile reale, \(f: D \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)#

Le funzioni reali a variabile reale saranno oggetto di studio dettagliato del calcolo infinitesimale. Qui si specializza la definizione di funzione per funzioni \(f: D \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) reali a variabile reale, cioè con dominio \(D \subseteq \mathbb{R}\) sottoinsieme dei numeri reali, e immagine \(f(D) \subseteq \mathbb{R}\) sottoinsieme dei numeri reali.

Definition 15.1 (Funzione a valore reale di variabile reale)

Una funzione a valore reale di una variabile reale è una funzione \(f: D \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) è una funzione che ha come dominio un sottoinsieme \(D\) dei numeri reali e codominio \(\mathbb{R}\), cioè una relazione che associa a ogni elemento \(x \in D\) uno e un solo elemento

\[y = f(x) \in \mathbb{R} \ .\]

E” comune chiamare \(x\) argomento della funzione, o variabile indipendente, e \(y\) valore della funzione o variabile dipendente, poiché il suo valore dipende dal valore della funzione con argomento \(y\).

15.1. Grafico di una funzione#

A una funzione \(y = f(x)\) può essere associata una rappresentazione grafica, interpretando le variabili \(x\), \(y\) come coordinate che descrivono il piano. La rappresentazione comune le interpreta come coordinate cartesiane. Una funzione impone una relazione tra le due coordinate e in generale può essere rappresentato come una curva nel piano.

Ricordando che una funzione associa a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio, il grafico di una funzione non può interesecare una retta parallela all’asse \(y\) in due punti, cioè non possono esistere due valori \(y_1\), \(y_2\) della funzione per lo stesso valore della variabile indipendente \(x\).

todo esempi

15.2. Classificazione di funzioni#

Appoggiandoci alla rappresentazione grafica (todo), vengono definite alcune caratteristiche che può avere una funzione. Una funzione \(f: A \in \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) è definita e ha valori su insiemi ordinabili, cioè sui quali si possono stabilire delle relazioni di ordine tra gli elementi, ad esempio tramite le relazioni \(<\), \(>\), \(\le\), \(ge\). Grazie a questa caratteristica, si possono definire funzioni crescenti/decrescenti, monotone, limitate/illimitate; poiché dominio e codominio sono insiemi numerici, allora si possono definire funzioni pari/dispari e periodiche. Infine si discutono le definizioni di funzione reali a valori reali suriettiva, iniettiva e biunivoca, definizioni già introdotte per funzioni tra insiemi qualsiasi.

  • Crescente, decrescente. Una funzione è:

    • crescente se \(f(x_2) > f(x_1)\) per \(x_2 > x_1\)

    • decrescente se \(f(x_2) < f(x_1)\) per \(x_2 > x_1\)

  • Monotona. Una funzione è monotona crescente/decrescente nell’intervallo \(I\), se è crescente/decrescente per ogni coppia \(x_1\), \(x_2 \in I\)

  • Limitata, illimitata Una funzione è:

    • limitata superiormente se \(\exists M\) t.c. \(f(x) \le M \, \ \forall x \in A\)

    • limitata inferiormente se \(\exists M\) t.c. \(f(x) \ge M \, \ \forall x \in A\)

    • illimitata altrimenti

  • Pari, dispari Una funzione è definita

    • pari se \(f(x) = f(-x) \ \forall x \in A\), e il suo grafico in un piano \(x\)-\(y\) è simmetrico rispetto all’asse \(y\)

    • dispari se \(f(x) =-f(-x) \ \forall x \in A\), e il suo grafico in un piano \(x\)-\(y\) è simmetrico rispetto all’origine

  • Periodica. Una funzione è definita periodica di periodo \(T\) se \(f(x) = f(x+T), \ \forall x \in A\).

  • Suriettiva, iniettiva, biunivoca. Una funzione è:

    • suriettiva todo

    • iniettiva todo

    • biunivoca todo

15.3. Funzioni composte#

…todo discutere dominio,…

\[f \circ g (x) := f\left( g( x ) \right) \ .\]

…

Notazione

La composizione di una funzione con se stessa \(n\) volte può essere indicata come

\[\underbrace{f \circ f \circ \dots \circ f}_{n \text{ volte}} (x) = f^n (x) \ .\]

15.4. Funzioni invertibili e inverse#

Una funzione \(f: X \rightarrow Y\) è invertibile se esiste una funzione \(g: Y \rightarrow X\) tale che

\[\begin{split}\begin{aligned} g\left( f(x) \right) & = x , \ \forall x \in X \\ f\left( g(y) \right) & = y , \ \forall y \in Y \\ \end{aligned}\end{split}\]

  • Una funzione biunivoca è invertibile

  • Una funzione monotona è biunivoca

  • Una funzione monotona è invertibile (Va” che sillogismo!)

##à Grafico della funzione inversa

15.5. Problemi#

todo