13.2. Piani nello spazio#

Per Euclide, il concetto di piano è un ente geometrico fondamentale della geometria. In geometria analitica, per trovare l’equazione di un piano si possono usare diverse definizioni equivalenti.

13.2.1. Definizioni ed equazione#

Definizione 1 - Passaggio per un punto e direzione normale. Un piano \(\pi\) può essere definito come il luogo dei punti \(P\) dello spazio che formano un vettore \((P-Q)\) con un punto dato \(Q\) ortogonali a un vettore \(\overrightarrow{n}\) che indica la direzione normale al piano \(\pi\). Usando le proprietà del prodotto scalare,

\[(P-Q) \cdot \overrightarrow{n} = 0 \ .\]

Usando un sistema di coordinate cartesiane, si può trovare l’equazione implicita del piano \(\pi\),

(13.1)#\[\pi: \ (x - x_Q) n_x + (y - y_Q) n_y + (z - z_Q) n_z = 0 \ .\]

Osservazione. L’equazione implicita del piano è independente dal modulo del vettore \(\vec{n}\), poiché rappresenterebbe un ininfluente fattore moltiplicativo (diverso da zero) nel termine di sinistra quando uguagliato a zero.

Definizione 2. - Passaggio per un punto e direzioni tangenti. Partendo dalla prima definizione, si possono ricavare le equazioni parametriche del piano. Dato il vettore \(\vec{n}\), si possono trovare due vettori \(\vec{t}_1\), \(\vec{t}_2\) a esso ortogonali,

\[\vec{t}_1 \cdot \vec{n} = \vec{t}_2 \cdot \vec{n} = 0 \ .\]

Se i due vettori non sono tra di loro allineati, o meglio proporzionali, è possibile descrivere tutti i punti del piano come una loro combinazione lineare

\[\pi: \ P = Q + \lambda_1 \vec{t}_1 + \lambda_2 \vec{t}_2 \ .\]

Definizione 3. - Luogo dei punti equidistante da due punti distinti dati. Il luogo dei punti P dello spazio equidistanti da due punti \(P_1\), \(P_2\) dati è il piano identificato dalla condizione

\[|P - P_1| = | P - P_2 | \ .\]

Usando un sistema di coordinate cartesiane per identificare i due punti \(P_1 \equiv (x_1,y_1,z_1)\), \(P_2 \equiv (x_2,y_2,z_2)\), per calcolare (il quadrato del)le distanze,

\[\begin{split}\begin{aligned} (x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 + (z - z_1)^2 &= (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 + (z - z_2)^2 \\ x^2 - 2 x x_1 + x_1^2 + y^2 - 2 y y_1 + y_1^2 + z^2 - 2 z z_1 + z_1^2 &= x^2 - 2 x x_2 + x_2^2 + y^2 - 2 y y_2 + y_2^2 + z^2 - 2 z z_2 + z_2^2 \\ \end{aligned}\end{split}\]

semplificando i termini \(x^2\), \(y^2\), \(z^2\) e raccogliendo mettendo in evidenza le coordinate \(x\), \(y\), \(z\), si ottiene una rappresentazione implicita della retta,

(13.2)#\[ 2 ( x_2 - x_1 ) x + 2 ( y_2 - y_1 ) y + 2 ( z_2 - z_1 ) z - x_1^2 - y_1^2 - z_1^2 - x_2^2 - y_2^2 - z_2^2 = 0 \ ,\]

che può essere riscritta in generale nella forma esplicita,

(13.3)#\[a \, x + b \, y + c \, z + d = 0 \ ,\]

con ovvio significato dei coefficienti \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), e \(a\), \(b\), \(c\) non contemporanemante nulli (altrimenti rimarrebbe l’identità \(0 = 0\), corrispondente alla condizione \(a = x_2 - x_1 = 0\), \(b = y_2 - y_1 = 0\), \(c = z_2 - z_1 = 0\) corrispondente ai due punti \(P_1 \equiv P_2\) coinvidenti).

Osservazione. Confrontando le espressioni (13.2), (13.3) con l’espressione (13.1) della prima definizione, si può riconoscere che il vettore che congiunge i due punti \(P_2 - P_1 = (x_2 - x_1) \hat{x} + (y_2 - y_1) \hat{y} + (z_2 - z_1)\) \hat{z} è allineato al vettore \(\vec{n}\) e ortogonale al piano \(\pi\), e al vettore \(a \hat{x} + b \hat{y} + c \hat{z}\).

13.2.2. Posizioni reciproche#

13.2.2.1. Posizione reciproca di punto e piano#

Un punto \(P\) o appartiene o non appartiene a un piano \(\pi: \ \hat{n} \cdot (P - Q) = 0\). Se appartiene al piano, la distanza tra punto e retta è nulla; se non appartiene al piano, la distanza tra punto e piano può essere calcolata usando le proprietà del prodotto interno in spazi euclidei,

\[\text{dist}(A,\pi) = \left| \hat{n} \cdot (A-Q) \right| = |A-Q| \cos \theta \ .\]

todo figura

13.2.2.2. Posizione reciproca di piani#

Due piani nello spazio euclideo tridimensionale possono essere:

  • coincidenti: hanno tutti i punti in comune

  • paralleli: non hanno nessun punto in comune

  • incidenti: si intersecano e la loro intersezione definisce una retta