13.3. Curve nello spazio#
Dato un sistema di coordinate \((q^1, q^2, q^3)\) curva \(\gamma\) nello spazio può essere descritta in forma parametrica, fornendo l’espressione delle coordinate in funzione di un parametro \(\lambda\),
\[q^k(\lambda) \ .\]
Usando le coordinate cartesiane, i punti della curva sono identificati dalla famiglia di vettori euclidei
\[\gamma: \ \vec{r}(\lambda) = x(\lambda) \hat{x} + y(\lambda) \hat{y} + z(\lambda) \hat{z} \ ,\]
al variare del parametro \(\lambda\).
Una curva può essere anche definita in forma implicita o esplicita, con un sistema di due equazioni che hanno come incognite le tre coordinate,
\[\begin{split}
\begin{cases} F(q^1, q^2, q^3) = 0 \\ G(q^1, q^2, q^3) = 0 \end{cases} \qquad, \qquad
\begin{cases} q^1 = f^1(q_3) \\ q^2 = f^2(q^3) \end{cases}
\end{split}\]