12.1. Sistemi di coordinate#

12.1.1. Esempi#

Sistema di coordinate cartesiane ortonormale. \((x, y)\)

Sistema di coordinate polari. \((r, \theta)\). La legge di trasformazione delle coordinate tra un sistema di coordinate cartesiane ortonormale e un sistema di coordinate polari, con la stessa origine e l’asse \(x\) come direzione di riferimento per la misura dell’angolo \(\theta\) è

\[\begin{split}\begin{cases} x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \ . \end{cases}\end{split}\]

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12.1.2. Trasformazione di coordinate#

Vengono discusse alcune leggi di trasformazione tra le coordinate di diversi sistemi di coordinate.

Traslazione dell’origine di due sistemi cartesiani con assi allineati.

\[\begin{split}\begin{cases} x' = x - x_{O'} \\ y' = x - y_{O'} \end{cases}\end{split}\]
\[\underline{x}' = \underline{x} - \underline{x}_{O'}\]

Rotazione degli assi di due sistemi cartesiani con stessa origine.

\[\begin{split}\begin{cases} x' = x \cos \theta + y \sin \theta \\ y' =-x \sin \theta + y \cos \theta \end{cases}\end{split}\]
\[\underline{x}' = R \underline{x}\]

Traslazione dell’origine e rotazione degli assi di due sistemi di coordinate cartesiane.

\[ x \rightarrow T \rightarrow x' \rightarrow R \rightarrow x''\]
\[\begin{split}\begin{aligned} \underline{x}' & = \underline{x} - \underline{x}_{O'} \\ \underline{x}'' & = R \underline{x}' = R \, (\underline{x} - \underline{x}_{O'}) \\ \end{aligned}\end{split}\]
\[ x \rightarrow R \rightarrow x' \rightarrow T \rightarrow x''\]
\[\begin{split}\begin{aligned} \underline{x}' & = R \, \underline{x} \\ \underline{x}'' & = \underline{x}' - \underline{x}'_{O''} = R \, \underline{x} - \underline{x}'_{O''} \\ \end{aligned}\end{split}\]

todo. Descrivere immagine Altri esempi di coordinate e trasformazioni di coordinate. todo. come esercizio?