24.11. Note e dimostrazioni

24.11.1. Definizione

24.11.2. Regole di derivazione

Linearità

La derivata in \(x\) della funzione \(a f(x) + b g(x)\) viene calcolata con la definizione di limite di rapporto incrementale, a \(x\) costante per \(h \rightarrow 0\)

\[\begin{split}\begin{aligned} \left( a f(x) + b g(x) \right)' & = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{( a f(x+h) + b g(x+h) ) - ( a f(x) + b g(x) ) }{h} = \\ & = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{a ( f(x+h) + f(x) ) + b ( g(x+h) - b g(x) )}{h} = \\ & = a \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) + f(x)}{h} + b \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ g(x+h) - b g(x) }{h} = \\ & = a f'(x) + b g'(x) \ . \end{aligned}\end{split}\]

Prodotto

La derivata in \(x\) della funzione \(f(x) g(x)\) viene calcolata con la definizione di limite di rapporto incrementale, a \(x\) costante per \(h \rightarrow 0\)

\[\begin{split}\begin{aligned} \left( f(x) g(x) \right)' & = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) g(x+h) - f(x) g(x)}{h} = \\ & = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) g(x+h) - f(x)g(x+h) + f(x)g(x+h) - f(x) g(x)}{h} = \\ & = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) g(x+h) - f(x)g(x+h)}{h} + \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x)g(x+h) - f(x) g(x)}{h} = \\ & = \lim_{h \rightarrow 0} \underbrace{\frac{f(x+h) - f(x)}{h}}_{\rightarrow f'(x)} \underbrace{g(x+h)}_{\rightarrow g(x)} + f(x) \underbrace{\lim_{h\rightarrow 0} \frac{g(x+h) - g(x)}{h}}_{\rightarrow g'(x)} = \\ & = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) \ . \end{aligned}\end{split}\]

Quoziente

La derivata in \(x\) della funzione \(\frac{f(x)}{g(x)}\) viene calcolata con la definizione di limite di rapporto incrementale, a \(x\) costante per \(h \rightarrow 0\)

\[\begin{split}\begin{aligned} \left( \frac{f(x)}{ g(x)} \right)' & = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \frac{f(x+h)}{g(x+h)} - \frac{f(x)}{g(x)}}{h} = \\ & = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{f(x+h) g(x) - f(x) g(x+h)}{g(x) g(x+h)}}{h} = \\ & = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) g(x) - f(x) g(x) + f(x) g(x) - f(x) g(x+h)}{h g(x) g(x+h)} = \\ & = \dots \\ & = \frac{f'(x) g(x) - f(x) g'(x)}{g^2(x)} \ . \end{aligned}\end{split}\]

Funzione composta

La derivata in \(x\) della funzione \(f(g(x))\) viene calcolata con la definizione di limite di rapporto incrementale, a \(x\) costante per \(h \rightarrow 0\)

\[\begin{split}\begin{aligned} \left( f(g(x)) \right)' & = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f(g(x+h)) - f(g(x)) }{h} = \\ & = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f(g(x+h)) - f(g(x)) }{h} \frac{g(x+h) - g(x)}{g(x+h)-g(x)} = \\ & = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f(g(x+h)) - f(g(x)) }{g(x+h) - g(x)} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} = \\ & = \dots = \\ & = f'\left( g(x) \right) g'(x) \ . \end{aligned}\end{split}\]

• todo discutere la validità dell’operazione di moltiplicare per \(\frac{g(x+h) - g(x)}{g(x+h) - g(x)}\)

• todo \(g(x+h) - g(x)) \rightarrow 0\) per \(h \rightarrow 0\) poiché \(g(x)\) è continua se derivabile

Derivata della funzione inversa

Si usa la regola (24.8) di derivazione della funzione composta applicata alla relazione

\[x = f^{-1} \left( f(x) \right)\]

che caratterizza la funzione inversa \(f^{-1}\). Derivando entrambi i termini della relazione rispetto alla variabile indipendente \(x\) si ottiene

\[1 = \dfrac{d f^{-1}}{d y}\bigg|_{y = f(x)} \, \dfrac{d f(x)}{d x} \ ,\]

dalla quale segue immediatamente la regola di derivazione della funzione inversa

\[ \dfrac{d f^{-1}}{d y}\bigg|_{y = f(x)} = \dfrac{1}{ \dfrac{d y}{d x}\bigg|_{x}} \ .\]

24.11.3. Teoremi

Dimostrazione del teorema di Fermat

Sia \(x_0\) un punto di minimo locale della funzione \(f(x)\) derivabile in \(x_0\). La definizione di minimo locale permette di scrivere

\[\exists \delta > 0: \ x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \cap (a,b) \quad \rightarrow \quad f(x_0) \le f(x) \ .\]

Quindi si possono scrivere le seguenti relazioni

\[\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \ge 0 \qquad \forall h \in (0, \delta)\]

\[\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \le 0 \qquad \forall h \in (-\delta,0)\]

Il limite per \(h \rightarrow 0\) di queste due relazioni esiste ed è \(f'(x_0)\) in entrambi i casi, essendo la derivata il limite del rapporto incrementale. Le due espressioni a sinistra dei segni di disuguaglianza possono essere considerate funzioni continue della variabile \(h\), il cui limite esiste per \(h \rightarrow 0\). Usando il teorema della permanenza del segno, si può concludere che

\[\begin{split}\begin{cases} f'(x_0) \ge 0 \\ f'(x_0) \le 0 \\ \end{cases}\end{split}\]

e da queste la dimostrazione della tesi del problema, \(f'(x_0)\).

Dimostrazione del teorema di Rolle

Per il teorema di Weierstrass, la funzione \(f\) ha un massimo \(M\) e un minimo \(m\) assoluti nell’intervallo \([a,b]\). Si distinguono due casi:

• massimo e minimo sono nei punti estremi dell’intervallo. Allora la funzione è costante, e la derivata è nulla in ogni punto \(c \in (a,b)\)

• i punti di massimo e di minimo sono interni all’intervallo. In questo caso, per il teorema di Fermat i punti \(c\) di minimo o massimo verificano la condizione \(f'(c) = 0\).

Dimostrazione del teorema di Cauchy

Si applica il teorema di Rolle alla funzione

\[h(x) = \left[ g(b) - g(a) \right] \, f(x) - \left[ f(b) - f(a) \right] \, g(x)\]

continua in \([a,b]\), derivabile in \((a,b)\) e con \(h(a) = g(b) \, f(a) - f(b) \, g(a) = h(b)\).

Dimostrazione del teorema di de l’Hopital

Forma indeterminata \(\frac{0}{0}\). Usando il teorema di Cauchy e il teorema di Rolle todo

Forma indeterminata \(\frac{\infty}{\infty}\). Usando il teorema di Cauchy e il teorema di Lagrange todo

24.11.4. Derivate fondamentali

Dimostrazione di \(\ (x^n)'\)

Usando la formula binomiale \((x + \varepsilon)^n = x^n + n x^{n-1} \varepsilon + f(\varepsilon^2, \varepsilon^3, \dots)\),

\[\begin{split}\begin{aligned} \dfrac{d}{dx} x^n & = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \dfrac{(x+\varepsilon)^{n} - x^n}{\varepsilon} = \\ & = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \dfrac{x^n + n x^{n-1} \varepsilon + o(\varepsilon) - x^n}{\varepsilon} = \\ & = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \left( n x^{n-1} + O(\varepsilon) \right) = \\ & = n x^{n-1} \ . \end{aligned}\end{split}\]

Dimostrazione di \(\ (e^x)'\)

Usando le proprietà della funzione esponenziale e il limite \(e^{\varepsilon} - 1 \sim \varepsilon\) per \(\varepsilon \rightarrow 0\)

\[\begin{split}\begin{aligned} \dfrac{d}{dx} e^x & = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \dfrac{e^{x+\varepsilon} - e^x}{\varepsilon} = \\ & = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \dfrac{e^x \left( e^{\varepsilon} - 1 \right)}{\varepsilon} = \\ & = e^x \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \dfrac{\varepsilon + o(\varepsilon)}{\varepsilon} = \\ & = e^x \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \left( 1 + O(\varepsilon) \right) = \\ & = e^x \ . \end{aligned}\end{split}\]

Dimostrazione di \(\ (\ln x)'\)

Usando le proprietà della funzione logaritmo naturale e il limite \(\ln(1 + \varepsilon) \sim \varepsilon\) per \(\varepsilon \rightarrow 0\), per \(x > 0\)

\[\begin{split}\begin{aligned} \dfrac{d}{dx} \ln x & = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \dfrac{\ln(x+\varepsilon) - \ln x}{\varepsilon} = \\ & = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \dfrac{\ln \left(1 + \frac{\varepsilon}{x} \right)}{\varepsilon} = \\ & = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \dfrac{\frac{\varepsilon}{x} + o(\varepsilon)}{\varepsilon} = \\ & = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \left( \frac{1}{x} + O(\varepsilon) \right) = \\ & = \frac{1}{x} \ . \end{aligned}\end{split}\]

Dimostrazione di \(\ (\sin x)'\)

Usando le formule di somma delle funzioni armoniche, todo ref, e gli infinitesimi delle funzioni \(\sin \varepsilon \sim \varepsilon\), \(\cos \varepsilon \sim 1 - \frac{\varepsilon^2}{2}\) per \(\varepsilon \rightarrow 0\),

\[\begin{split}\begin{aligned} \dfrac{d}{dx} \sin(x) & = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \dfrac{\sin(x+\varepsilon) - \sin x}{\varepsilon} = \\ & = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \dfrac{\sin x \cos \varepsilon + \cos x \sin \varepsilon - \sin x}{\varepsilon} = \\ & = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \dfrac{\sin x \left( 1 - \frac{\varepsilon^2}{2} \right) + \varepsilon \, \cos x - \sin x}{\varepsilon} = \\ & = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \left( \cos x + O(\varepsilon) \right) = \\ & = \cos x \ . \end{aligned}\end{split}\]

Dimostrazione di \(\ (\cos x)'\)

Usando le formule di somma delle funzioni armoniche, todo ref, e gli infinitesimi delle funzioni \(\sin \varepsilon \sim \varepsilon\), \(\cos \varepsilon \sim 1 - \frac{\varepsilon^2}{2}\) per \(\varepsilon \rightarrow 0\),

\[\begin{split}\begin{aligned} \dfrac{d}{dx} \cos(x) & = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \dfrac{\cos(x+\varepsilon) - \cos x}{\varepsilon} = \\ & = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \dfrac{\cos x \cos \varepsilon - \sin x \sin \varepsilon - \sin x}{\varepsilon} = \\ & = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \dfrac{\cos x \left( 1 - \frac{\varepsilon^2}{2} \right) - \varepsilon \, \sin x - \cos x}{\varepsilon} = \\ & = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \left( - \sin x + O(\varepsilon) \right) = \\ & = - \sin x \ . \end{aligned}\end{split}\]

24.11.5. Derivate di ordine superiore

24.11.6. Serie di Taylor e MacLaurin

Dimostrazione delle proprietà di approssimazione locale della serie di Taylor

Usando il teorema di de l’Hopital, fino a quando il rapporto non è una forma indeterminata

\[\begin{split}\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x) - T_N[f(x); x_0]}{(x-x_0)^N} & = \lim_{x \rightarrow x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!} (x-x_0)^2 + \dots \frac{f^{(N)}(x_0)}{N!}(x-x_0)^N}{(x-x_0)^N} = \text{(H)} = \\ & = \lim_{x \rightarrow x_0} \dfrac{f'(x) - f'(x_0) + \frac{f''(x_0)}{1!} (x-x_0) + \dots \frac{f^{(N)}(x_0)}{(N-1)!}(x-x_0)^{N-1}}{N \, (x-x_0)^{N-1}} = \text{(H)} = \\ & = \lim_{x \rightarrow x_0} \dfrac{f''(x) - f''(x_0) + \dots \frac{f^{(N)}(x_0)}{(N-2)!}(x-x_0)^{N-2}}{N \, (N-1) \, (x-x_0)^{n-1}} = \text{(H)} =\\ & = \dots \\ & = \lim_{x \rightarrow x_0} \dfrac{f^{(N)}(x) - f^{(N)}(x_0)}{N!} = 0 \ , \end{aligned}\end{split}\]

si dimostra che il numeratore è un infinitesimo dello stesso ordine del denominatore. Usando la notazione dell”»o piccolo» per gli infinitesimi si può quindi scrivere l’approssimazione locale come:

\[f(x) - T_N[f(x), x_0] = o\left((x-x_0)^N\right) \ ,\]

o in maniera equivalente

\[f(x) = T_N[f(x), x_0] + o\left((x-x_0)^N\right) \ .\]

Ripetendo lo stesso procedimento, confrontando la differenza \(f(x) - T_N[f(x);x_0]\) con il termine \((x-x_0)^{N+1}\) si ottiene

\[ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x) - T_N[f(x); x_0]}{(x-x_0)^N} = \dots = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f^{(N+1)}(x)}{(N+1)!} = \frac{f^{(N+1)}(x_0)}{(N+1)!} \ . \]