Insiemi numerici

Contenuti

1.5. Insiemi numerici#

Partendo dai numeri naturali, si introducono gli insiemi numerici interi e razionali come chiusura dei numeri naturali rispetto alle operazioni inverse di addizione e moltiplicazione. L’insieme dei numeri reali costituisce un insieme continuo che «chiude i buchi» ancora presenti nell’insieme dei numeri razionali. Infine si introduce la necessità dei numeri complessi come chiusura algebrica dei numeri reali… todo controllare definizione di chiusura, che non ha questo significato

1.5.1. Numeri naturali $\mathbb{N}$#

L’insieme dei numeri naturali,

\[\mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, 3, \dots \} \ ,\]

contiene i numeri che intuitivamente vengono usati per contare (o ordinare), risultato del processo di astrazione che associa a un gruppo di oggetti la sua quantità. Dal punto di vista storico, il processo di astrazione che ha condotto al concetto di unità - il numero $1$ - e i suoi multipli - i numeri naturali maggiori di $1$ - viene fatto risalire all’epoca presitorica, ed esistono diversi reperti storici che testimoniano il loro uso in Mesopotamia e in Egitto nel III millennio a.C. L’introduzione del numero $0$ avviene inizialmente nelle civiltà mediterranee come segnaposto, e successivamente in India tra il VI se il VII secolo d.C. come numero nel sistema decimale posizionale formulato in India e diffusosi tra le popolazioni persiane e arabe, prima di arrivare in Europa.

Sull’insieme dei numeri naturali si possono definire alcune operazioni chiuse[^closed-operation] sull’insieme dei numeri naturali:

addizione, $+$
moltiplicazione, $\times$ o $\cdot$

che hanno le seguenti proprietà:

commutatività

\[\begin{split}\begin{aligned} a + b & = b + a \\ a \times b & = b \times a \\ \end{aligned}\end{split}\]
associatività

\[\begin{split}\begin{aligned} (a + b) + c & = a + (b+c) \\ (a \times b) \times c & = a \times ( b \times c ) \\ \end{aligned}\end{split}\]

e quindi si può evitare l’uso di parentesi inutili nella somma o nella moltiplicazione di tre numeri $a+b+c+$ o $a \times b \times c$
esistenza dell’elemento identità, il numero $0$ per l’addizione, il numero $1$ per la moltiplicazione

\[\begin{split}\begin{aligned} a + 0 & = a \\ a \times 1 & = a \\ \end{aligned}\end{split}\]
distribuitività della moltiplicazione sull’addizione
fattorizzazione dello zero: se $a \times b = 0$ allora almeno uno dei due fattori è uguale a zero

Mentre le operazioni di addizione e moltiplicazione sono chiuse, le operazioni di sottrazione e divisione non sono chiuse sui numeri naturali. In generale, la sottrazione di due numeri naturali, $a, b \in \mathbb{N}$ è un numero intero, $a - b \in \mathbb{Z}$; la divisione tra due numeri naturali $a, b \in \mathbb{N}$ è un numero razionale $\frac{a}{b} \in \mathbb{Q}$ positivo.

1.5.1.1. Altre operazioni#

1.5.1.1.1. Sottrazione#

1.5.1.1.2. Divisione#

1.5.1.1.3. Potenza#

La potenza $n$-esima, $n \in \mathbb{N}^+$ è definita come

\[a^n = \underbrace{a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ volte}} \ .\]

Prodotto delle potenze, $a^n \, a^m = a^{m+n}$.

\[a^n \, a^m = \underbrace{a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ volte}} \underbrace{a \cdot \dots \cdot a}_{m \text{ volte}} = \underbrace{a \cdot \dots \cdot a}_{m+n \text{ volte}} = a^{m+n} \ .\]

Potenza $a^0$. La potenza $a^0$ viene definita osservando che $\frac{a^n}{a} = a^{n-1}$,

\[\begin{split}\begin{aligned} & \dots \\ a^3 & = a \cdot a \cdot a \\ a^2 & = a \cdot a \\ a^1 & = a \\ a^0 & = 1 \\ \end{aligned}\end{split}\]

1.5.2. Numeri interi $\mathbb{Z}$#

L’insieme dei numeri interi,

\[\mathbb{Z} = \{ \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots \} \,\]

…todo Sull’insieme dei numeri interi si possono definire alcune operazioni chiuse:

addizione,
sottrazione,
prodotto,

1.5.2.1. Altre operazioni#

1.5.2.1.1. Divisione#

1.5.2.1.2. Potenza#

Regola dei segni - I - moltiplicazione.

\[\begin{split}\begin{aligned} & \dots \\ 2 \cdot a & = a + a \\ 1 \cdot a & = a \\ 0 \cdot a & = 0 \\ (-1)\cdot a & = -a \\ (-2)\cdot a & = -a-a \\ & \dots \\ \end{aligned}\end{split}\]

Se $a > 0$ è positivo, il suo prodotto per un numero positivo $b > 0$ è un numero positivo, $a \cdot b > 0$; il suo prodotto per un numero negativo $b < 0 $, $b = -1 \cdot |b|$ è il numero negativo $a \cdot b = - 1 \cdot a \cdot |b|$. Se $a < 0$ è un numero negativo, vale il viceversa. La regola può essere riassunta scrivendo i due numeri

\[a = \text{sign}(a) \cdot |a| \qquad , \qquad b = \text{sign}(b) \cdot |b|\]

interpretando $\text{sign}(a) = -1$ se $a < 0$ e $\text{sign}(a) = 1$ se $a > 0$, come

\[a \cdot b = \text{sign}(a) \cdot \text{sign}(b) \cdot |a| \, |b| \ .\]

Regola dei segni - II - potenze naturali. Scrivendo il numero $a$ come prodotto del suo segno e del suo valore assoluto, $a = \text{sign}(a) |a|$, la sua potenza $p$-esima, con $p \in \mathbb{N}$ è il numero

\[a^p = (\text{sign}(a))^p \, |a|^p \ ,\]

positivo se $a$ è positivo per qualsiasi esponente naturale $p$, o se $a$ è negativo per esponenti $p$ pari, negativo solo se $a$ negativo e $p$ dispari.

Potenze con esponenti negativi, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ La potenza di un numero reale con esponente negativo è un numero razionale,

\[a^0 = a^{n-n} = a^{n} \, a^{-n} \qquad \rightarrow \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}\]

1.5.3. Numeri razionali $\mathbb{Q}$#

I numeri razionali sono i numeri che possono essere scritti come frazione (divisione) di due numeri interi,

\[\mathbb{Q} = \left\{ q \ \bigg| \ q = \frac{m}{n}, \ m, n \in \mathbb{Z}, n \ne 0 \right\} \ ,\]

1.5.3.1. Rappresentazione decimale#

I numeri razionali sono i numeri e solo quelli che hanno una rappresentazione decimale con una parte decimale finita o periodica.

todo vedi il pdf open_school_book

1.5.3.2. Operazioni#

1.5.3.2.1. Potenza#

Potenza con base razionale ed esponente intero.

Potenza con esponente razionale. Una potenza $a^{\frac{p}{q}}$ con esponente razionale non intero, $p, q \in \mathbb{Z}$, $\frac{p}{q} \notin \mathbb{Z}$, è ben definita solo se la base è non-negativa.

In questo caso, per $a > 0$, le seguenti interpretazioni sono equivalenti

\[a^{\frac{p}{q}} = {\sqrt[q]{a}}^p = \sqrt[q]{a^p} \ .\]

In caso $a < 0$, l’operazione non è ben definita nell’ambito dei numeri razionali e nemmeno nell’ambito dei numeri reali,

\[\begin{split}a^{\frac{p}{q}} = ? = \begin{cases} {\sqrt[q]{a}}^p & \text{radice non definita se $a<0$ e $q$ pari} \\ \sqrt[q]{a^p} & \text{radice non definita se $a<0$, $p$ dispari e $q$ pari} \\ a^{\frac{2p}{2q}} = \sqrt[2q]{{a}^{2p}} ={\sqrt[2q]{a}^{2p}} & \text{operazione definita, ma è lecita?} \\ \dots \end{cases}\end{split}\]

L’operazione risulta ben definita nell’ambito dei numeri complessi, todo link

1.5.4. Numeri reali $\mathbb{R}$#

In maniera non formale, e per quello che ci serve basta e avanza, l’insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$ è l’insieme dei numeri che possono essere scritti nel sistema decimale posizionale - quello che usiamo correntemente oggi - come numeri con una parte decimale finita o infinita.

I numeri reali possono essere banalmente definiti come unione dei numeri razionali e irrazionali: i numeri razionali possono essere definiti come i numeri che hanno una rappresentazione decimale con parte decimale finita o periodica; i numeri irrazionali possono quindi essere definiti come i numeri che non hanno una tale definizione. Date le definizioni mutuamente esclusive, i due insiemi hanno intersezione nulla e la loro unione è l’insieme di tutti i numeri che possono avere rappresentazione decimale, cioè i numeri reali.

1.5.4.1. Operazioni#

Le operazioni per i numeri reali sono già state definite per quanto riguarda i numeri reali razionali; queste operazioni possono essere estese ai numeri reali irrazionali considerando un loro limite razionale, cioè applicandole a numeri razionali che approssimano (con accuratezza qualsiasi) i numeri irrazionali.

todo esempi

1.5.5. Numeri complessi $\mathbb{C}$#

Per la discussione dei numeri complessi si rimanda al capitolo di algebra sui numeri complessi nella parte di precalcolo.