27.3. Integrali su domini multi-dimensionali

27.3.1. Definizioni

La definizione di somma di Riemann e di integrale di Riemann per funzioni di più variabili è una estensione naturale della definizione per funzioni di una variabile.

Definition 27.5 (Somma di Riemann)

Data una funzione continua e limitata \(f: \Omega \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) e \(\{ \Omega_k \}\) una partizione del dominio \(\Omega\), una somma di Riemann viene definita come

\[\sigma = \sum_{k} f(\mathbf{x}_k) \mu(\Omega_k) \ ,\]

essendo \(\mathbf{x}_k \in \Omega_k\) e \(\mu(\cdot)\) una misura dei sottoinsiemi di \(\mathbb{R}^n\).

Definition 27.6 (Integrale di Riemann)

Sia \(\Delta \Omega := \max_k \mu(\Omega_k)\), l’integrale definito di Riemann è definito come il limite per \(\Delta \Omega \rightarrow 0\) della somma di Riemann \(\sigma\),

\[\int_{\mathbf{x} \in \Omega} f(\mathbf{x}) d \mathbf{x} := \lim_{\Delta \Omega \rightarrow 0} \sigma \ .\]

todo Tipi di integrale: a seconda del dominio e della funzione integranda. Qui o nel calcolo vettoriale? Integrali: linea, lavoro; superficie, flusso; volume

27.3.1.1. Interpretazione geometrica

todo …volume, massa, totale carica… corrisponenti rispettivamente a funzioni di densità \(1\), densità di massa, densità di carica

27.3.1.2. Proprietà dell’integrale definito

todo additività sui domini di integrazione, linearità sulla funzione integranda; ricordarsi che è una somma; fare riferimento alle proprietà dell’integrale di funzioni a una variabile

27.3.2. Regole di integrazione

Il calcolo di un integrale di una funzione di più variabili su un dominio \(m\)-dimensionale può essere svolto con il calcolo di \(m\) integrali di funzioni di una variabile.

todo …

Il valore di un integrale su un dominio multi-dimensionale è indipendente dal metodo/ordine di integrazione.

Osservazione. Il metodo/ordine di integrazione può quindi essere scelto volta per volta in base a criteri di convenienza, con l’obiettivo di fare il numero minore di calcoli, i calcoli più semplici possibile. Anche qualora non si facesse la scelta «migliore», l’indipendenza del valore dal metodo di integrazione ci assicura di ottenere il risultato desiderato, al netto di errori, al costo/punizione di fare qualche calcolo in più o più complicato.

esempio nel caso di due variabili, con partizione dell’insieme in elementi \(\Delta x_i \Delta y_j\) con dominio semplice todo def di dominio semplice

\[\begin{split}\begin{aligned} \sigma & = \sum_k f(\mathbf{x}_k) \Delta x_k \Delta y_k = \\ & = \sum_i \sum_j f(x_i, y_j) \Delta y_j \Delta x_i \ \rightarrow \ \sum_i \int_{y=Y_1(x)}^{Y_2(x)} f(x_i, y) dy \, \Delta x_i \ \rightarrow \ \int_{x=x_1}^{x_2} \int_{y=Y_1(x)}^{Y_2(x)} f(x, y) dy \, dx \\ & = \sum_j \sum_i f(x_i, y_j) \Delta x_i \Delta y_j \ \rightarrow \ \sum_j \int_{x=X_1(y)}^{X_2(y)} f(x, y_j) dx \, \Delta y_j \ \rightarrow \ \int_{y=y_1}^{y_2} \int_{x=X_1(y)}^{X_2(y)} f(x, y) dx \, dy \\ \end{aligned}\end{split}\]

Example 27.3 (Indipendenza dell’integrale multiplo dal metodo di integrazione)

Calcolare la massa della superficie delimitata dall’asse \(x\) e dalla parabola con equazione \(y = 1 - x^2\), e densità \(\rho(x,y) = 1 + y\). Dopo aver verificato che il dominio di integrazione è semplice in entrambe le direzioni, come esercizio si chiede di svolgere il calcolo due volte: 1. una volta integrando prima in \(y\) e poi in \(x\), 2. una volta integrando prima in \(x\) e poi in \(y\).

todo dominio…

1. Si valuta l’integrale integrando prima sulla variabile \(y\) e poi sulla variabile \(x\)

\[\begin{split}\begin{aligned} I_1 & = \int_{x=-1}^{1} \int_{y=0}^{1-x^2} \left( 1 + y \right) dy \, dx = \int_{x=-1}^{1} \left( 1-x^2 + \frac{1}{2} (1-x^2)^2 \right) \, dx = \\ & = \int_{x=-1}^{1} \left( \frac{3}{2} - 2 x^2 + \frac{1}{2} x^4 \right) \, dx = 3 - \frac{4}{3} + \frac{1}{5} = \frac{28}{15} \ . \end{aligned}\end{split}\]

2. Si valuta l’integrale integrando prima sulla variabile \(x\) e poi sulla variabile \(y\)

\[\begin{aligned} I_2 & = \int_{y=0}^{1} \int_{x=-\sqrt{1-y}}^{\sqrt{1-y}} \left( 1 + y \right) dx \, dy = \int_{y=0}^{1} 2 ( 1 + y )\sqrt{1-y} \, dy \end{aligned}\]

e introducendo il cambio di variabile \(y = \sin^2 \theta\), con differenziale \(dy = 2 \sin \theta \, \cos \theta \, d \theta\), \(x=0 \rightarrow \theta = 0\), \(x = 1 \rightarrow \theta = \frac{\pi}{2}\),

\[\begin{split}\begin{aligned} I_2 & = 2 \int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \sin^2 \theta) \, \cos \theta \, ( 2 \sin \theta \, \cos \theta ) \, d \theta = 4 \int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} (2 - \cos^2 \theta) \, \cos \theta \, \sin \theta \, \cos \theta ) d \theta = \\ & = 8 \int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \, \sin \theta \, d \theta - 4 \int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 \theta \, \sin \theta \, d \theta =- 8 \int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} d \frac{\cos^3 \theta}{3} + 4 \int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} d \frac{\cos^5 \theta}{5} = \frac{8}{3} - \frac{4}{5} = \frac{28}{15} \ . \end{aligned}\end{split}\]

Si osservi come il risultato dell’integrale è indipendente dall’ordine di integrazione.

27.3.3. Teoremi

Theorem 27.1 (Lemma di Green)

27.3.4. Esempi

27.3.4.1. Integrale \(\ \int_{x = \infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}\)

L’integrale \(\int_{x} \, e^{-x^2} \, dx\) è un integrale frequente in alcuni ambiti delle scienze. Ad esempio, compare in statistica di frequente quando è conivolta una distribuzione di probabilità normale, con densità di probabilità \(f(x;\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\), che a sua volta è una delle distribuzioni di probabilità più frequenti.

Pur non esistendo una forma analitica semplice di questo integrale, il valore dell’integrale definito può essere calcolato usando gli integrali multidimensionali e un opportuno cambio di coordinate tra coordinate cartesiane e polari. Si calcola il valore del quadrato dell’integrale desiderato,

\[\begin{split}\begin{aligned} I^2 & = \left( \int_{x = \infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx \right) \, \left( \int_{y = \infty}^{+\infty} e^{-y^2} \, dy \right) = \\ & = \int_{x = \infty}^{+\infty} \int_{y = \infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)} \, dx \, dy = \\ & = \int_{\theta = 0}^{2\pi} \int_{r = 0}^{+\infty} e^{-r^2} \, r \, dr \, d \theta = \\ & = 2 \pi \, \frac{1}{2} \, \int_{\theta = 0}^{2\pi} \int_{r = 0}^{+\infty} e^{-r^2} d r^2 = \\ & = \pi \, \left. \left( - e^{-r^2} \right)\right|_{r=0}^{+\infty} = \pi \ . \end{aligned}\end{split}\]