28.4. Teorema di Stokes

28.4.1. Teorema del gradiente

Theorem 28.1 (Teorema del gradiente)

Per campi scalari \(f(\vec{r})\) sufficientemente regolari nel dominio \(V \subseteq E^d\), \(d=2:3\), vale

(28.4)\[\int_{V} \nabla f = \oint_{\partial V} f \hat{n} \ .\]

Example 28.20 (Teorema del gradiente)

Dato il dominio quadrato descritto dai valori delle coordinate cartesiane dei punti \(\vec{r} = x \hat{x} + y \hat{y} \in E^2\), \((x, y) \in [-1, 1] \times [-1,1]\), e il campo scalare

\[f(\vec{r}) = 4 x + 3 x y\]

viene chiesto di determinare se la funzione \(f(\vec{r})\) è regolare nel dominio, di calcolare i due integrali coinvolti nel teorema del gradiente (28.4) e verificare se il teorema del gradiente è soddisfatto.

La funzione \(f(\vec{r})\) è continua…Il gradiente di \(f(\vec{r})\) può essere espresso usando le coordinate cartesiane come

\[\nabla f = \hat{x} \partial_x f + \hat{y} \partial_y f = (4 + 3 y) \hat{x} + 3 x \hat{y} \ ,\]

dove i versori \(\hat{x}\) e \(\hat{y}\) sono uniformi nello spazio, e quindi indipendenti dalle coordinate.

Gli integrali valgono

\[\begin{split}\begin{aligned} \int_V \nabla f & = \int_{x=-1}^{1} \int_{y=-1}^{1} \left[ (4 + 3 y) \hat{x} + 3 x \hat{y} \right] \, dx \, dy = \\ & = \hat{x} \int_{x=-1}^{1} \int_{y=-1}^{1} (4 + 3 y) \, dx \, dy + \int_{x=-1}^{1} \int_{y=-1}^{1} 3 x \, dx \, dy = \\ & = \hat{x} \int_{x=-1}^{1} \left.\left[ 4 \, y + \frac{3}{2} \, y^2 \right]\right|_{y=-1}^{1} \, dx + \hat{y} \int_{y=-1}^{1} \left.\left[ \frac{3}{2} \, x^2 \right]\right|_{y=-1}^{1} \, dy = \\ & = 16 \hat{x} + 0 \hat{y} \ . \end{aligned}\end{split}\]

e

\[\begin{split}\begin{aligned} \oint_{\partial V} f \hat{n} & = \int_{y = -1}^{ 1} f(x= 1, y ) \hat{x} \, dy + \int_{x = 1}^{-1} f(x , y= 1) \hat{y} \, dx + \\ & + \int_{y = 1}^{-1} f(x=-1, y ) (- \hat{x} ) \, dy + \int_{x = -1}^{ 1} f(x , y=-1) (- \hat{y} ) \, dx = \\ & = \int_{y = -1}^{ 1} ( 4 + 3 y ) \hat{x} \, dy + \int_{x = 1}^{-1} ( 4 x + 3 x ) \hat{y} \, dx + \\ & + \int_{y = 1}^{-1} (-4 - 3 y ) (- \hat{x} ) \, dy + \int_{x = -1}^{ 1} ( 4 x - 3 x )) (- \hat{y} ) \, dx = \\ & = 8 \hat{x} + 0 \hat{y} + 8 \hat{x} + 0 \hat{y} = 16 \hat{x} \ . \end{aligned}\end{split}\]

Example 28.21 (Teorema del gradiente)

28.4.2. Teorema della divergenza

Theorem 28.2 (Teorema della divergenza)

Per campi vettoriali \(\vec{f}(\vec{r})\) sufficientemente regolari nel dominio \(V \subseteq E^d\), \(d=2:3\), vale

(28.5)\[\int_{V} \nabla \cdot \vec{f} = \oint_{\partial V} \vec{f} \cdot \hat{n} \ .\]

Example 28.22 (Teorema della divergenza)

Example 28.23 (Teorema della divergenza)

28.4.3. Teorema del rotore

Theorem 28.3 (Teorema del rotore)

Per campi vettoriali \(\vec{f}(\vec{r})\) sufficientemente regolari sulla superficie \(S \subseteq E^3\), vale

(28.6)\[\int_{S} \nabla \times \vec{f} \cdot \hat{n} = \oint_{\partial S} \vec{f} \cdot \hat{t} \ .\]

Example 28.24 (Teorema del rotore)

Example 28.25 (Teorema della rotore)