27.1. Limite di una funzione di più variabili

In analogia con la definizione di limite per le funzioni di una variabile, il limite \(\ell\) finito al finito \(\mathbf{x}_0 \in D\) di una funzione di più variabili \(f(\mathbf{x})\),

\[\ell = \lim_{\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{x}_0} f(x,y)\]

viene definito come quel valore \(\ell\) che soddisfa la seguente condizione

\[\text{per } \forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta_{\varepsilon} \quad \text{t.c.} \quad |f(x,y) - \ell| < \varepsilon \quad \text{per } \forall (x,y) \quad 0 < || \mathbf{x} - \mathbf{x}_0|| < \delta_\varepsilon \ ,\]

avendo usato una norma per le \(n\)-uple di numeri reali appartenenti a \(\mathbb{R}^n\), per definire un’intorno di \(\mathbb{x}_0\).

La definizione può essere descritta qualitativamente: il limite \(\ell\) della funzione per \(\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{x}_0\) è il valore al quale tende il valore \(f(\mathbf{x})\) all’avvicinarsi di \(\mathbf{x}\) al punto \(\mathbf{x}_0\), in maniera indipendente dalla direzione di avvicinamento.

Data la definzione di limite, se il limite esiste esso è unico. Alcuni casi in cui i limite non esiste vengono discussi nella sezione sulle discontinuità.

27.1.1. Funzioni continue

27.1.1.1. Definizione

Definition 27.1 (Funzione continua)

In analogia con la definizione di funzione di una variabile continua, una funzione di più variabili \(f: D \in \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) è continua in un punto \(\mathbf{x}_0 \in D\) se esiste il limite della funzione e coincide con il valore della funzione nel punto,

\[\lim_{\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{x}_0} f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}_0) \ .\]

27.1.1.2. Discontinuità

Esistono casi in cui:

• avvicinandosi al punto \(\mathbf{x}_0\) lungo direzioni differeti, si ottengono diversi valori; fare esempio

• …

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