25.8. Problemi

25.8.1. Calcolo integrali indefiniti

Exercise 25.1

Si chiede di calcolare i seguenti integrali indefiniti

\[\begin{split}\begin{aligned} & \mathbf{0.} \, \int x^2 e^x \, dx & \text{R: } \\ & \mathbf{1.} \, \int x^3 e^{x^3} \, dx & \text{R: } \\ & \mathbf{2.} \, \int x \ln x \, dx & \text{R: } \\ & \mathbf{3.} \, \int x \cos x \, dx & \text{R: } \\ & \mathbf{4.} \, \int x^3 \cos 2x \, dx & \text{R: } \\ & \mathbf{5.} \, \int x^2 \ln x \, dx & \text{R: } \\ & \mathbf{6.} \, \int x^2 \sin x \, dx & \text{R: } \\ & \mathbf{7.} \, \int x \text{atan} x \, dx & \text{R: } \\ & \mathbf{8.} \, \int \frac{\ln x}{x^2} \, dx & \text{R: } \\ & \mathbf{9.} \, \int \sin 3x \, dx & \text{R: } \\ \end{aligned}\end{split}\]

\[\begin{split}\begin{aligned} & \mathbf{10.} \, \int \sin 3x \sin 2x \, dx & \text{R: } \\ & \mathbf{11.} \, \int \cos x \sin 2x \, dx & \text{R: } \\ & \mathbf{12.} \, \int \sqrt{1 - \sin x} \, dx & \text{R: } \\ & \mathbf{13.} \, \int \sqrt{x^2 + 1} \, dx & \text{R: } \\ & \mathbf{14.} \, \int \sqrt{x^2 - 3} \, dx & \text{R: } \\ & \mathbf{15.} \, \int \frac{1}{x^2 \sqrt{9+x^2}} \, dx & \text{R: } \\ & \mathbf{16.} \, \int \frac{1}{x^2 \sqrt{9-x^2}} \, dx & \text{R: } \\ & \mathbf{17.} \, \int \frac{x}{\sqrt{x^2-4}} \, dx & \text{R: } \\ & \mathbf{18.} \, \int \frac{1}{\sqrt{1 - \cos 2 x}} \, dx & \text{R: } \\ & \mathbf{19.} \, \int \sqrt{4 - 9 x^2} \, dx & \text{R: } \\ \end{aligned}\end{split}\]

\[\begin{split}\begin{aligned} & \mathbf{21.} \, \int \frac{\cos^2 x}{\sin^3 x} \, dx & \text{R: } \\ & \mathbf{22.} \, \int \frac{1}{(4+x^2)^3} \, dx & \text{R: } \\ & \mathbf{23.} \, \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 2x + 3}} \, dx & \text{R: } \\ & \mathbf{24.} \, \int \, e^x \, \sin x \, dx && \text{R: } \frac{1}{2} e^{x} \left( \sin x - \cos x \right) + C \\ & \mathbf{25.} \, \int \, e^x \, \cos x \, dx && \text{R: } \frac{1}{2} e^{x} \left( \sin x + \cos x \right) + C \\ \end{aligned}\end{split}\]

Soluzione

24. Usando il metodo di integrazione per parti

\[\begin{split}\begin{aligned} \int \, e^x \, \sin x \, dx & = e^x \sin x - \int \, e^x \cos x \, dx = \\ & = e^x \sin x - \left( e^x \cos x + \int \, e^x \sin x \, dx \right) = \\ \end{aligned}\end{split}\]

Riconoscendo che l’integrale desiderato compare da entrambe le parti dell’uguale, si può «portarne» uno dall’altra parte e scrivere

\[\int \, e^x \, \sin \, dx = \frac{1}{2} e^{x} \left( \sin x - \cos x \right) + C \ .\]

25. Usando il metodo di integrazione per parti

\[\begin{split}\begin{aligned} \int \, e^x \, \cos x \, dx & = e^x \cos x + \int \, e^x \sin x \, dx = \\ & = e^x \cos x + \left( e^x \sin x - \int \, e^x \cos x \, dx \right) = \\ \end{aligned}\end{split}\]

Riconoscendo che l’integrale desiderato compare da entrambe le parti dell’uguale, si può «portarne» uno dall’altra parte e scrivere

\[\int \, e^x \, \sin \, dx = \frac{1}{2} e^{x} \left( \sin x - \cos x \right) + C \ .\]

25.8.2. Integrali definiti

Exercise 25.2

Risolvere i seguenti integrali. Nell’esercizio Exercise 25.3 vengono riportati altri esercizi, nei quali si sottolinea l’importanza di prestare attenzione a quello che si fa, prima di farlo: inanzitutto controllare se la funzione è definita sull’intervallo; poi controllare se si possono rimuovere i valori assoluti, se si riconosce il segno dell’integrando nel dominio o in parte di esso.

Obiettivi. Metodi di integrazione: sostituzione, integrazione per parti,…; manipolazione dell’integranda: usando le proprietà delle funzioni trignonometriche o iperboliche, frazione come somma di frazioni con denominatore di ordine 1, 2, completamento quadrato,…; proprietà dll’integrale: additività sui domini di integrazione,…

Suggerimenti

• L’operatore \(\lfloor x \rfloor\) rappresenta la parte intera di \(x\); l’operatore \(\{ x \} := x - \lfloor x \rfloor\) ne re rappresenta la farte frazionaria; ad esempio: \(\lfloor 3.2 \rfloor = 3\), \(\{ 3.2 \} = 0.2\). Si consiglia di sfruttare la proprietà di additività sui domini di integrazione per gli integrali in cui compaiono questi operatori.

• Per il calcolo dell’integrale 13. è necessario utilizzare il valore dell”integrale \(\int_{x=-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}\).

\[\begin{split}\begin{aligned} & \mathbf{1.} \, \int_{x=0}^{+\infty} \, x^7 e^{-x^2} \, dx && \text{R: } 3 \\ & \mathbf{2.} \, \int_{x=0}^{\pi} \, \sin^5 x \, dx && \text{R: } \frac{16}{15} \\ & \mathbf{3.} \, \int_{x=0}^{1} \, \left( \sin (\ln x) + \cos(\ln x) \right) \, dx && \text{R: } 0 \\ & \mathbf{4.} \, \int_{x=-1}^{1} \, \frac{\cos x}{\text{atan} x} \, dx && \text{R: } 0 \\ & \mathbf{5.} \, \int_{x=\pi/2}^{\pi} \, \sqrt{1 + \cos x} \, dx && \text{R: } \\ & \mathbf{6.} \, \int_{x=-\infty}^{0} \, e^{-\sqrt[6]{-x}} \, dx && \text{R: } \\ & \mathbf{7.} \, \int_{x=1}^{+\infty} \, \frac{1}{2025^{\lfloor x \rfloor}} \, dx && \text{R: } \\ & \mathbf{8.} \, \int_{x=4}^{5} \, \frac{2x+1}{(x-1)(x-2)(x-3)} \, dx && \text{R: } \\ & \mathbf{9.} \, \int_{x=0}^{1} \, x \, e^{x^2 + e^{x^2}} \, dx && \text{R: } \\ & \mathbf{10.}\, \int_{x=0}^{3/2} \, \lfloor x + \lfloor 2x \rfloor \rfloor \, dx && \text{R: } \\ & \mathbf{11.}\, \int_{x=2024}^{2025} \, \ln \{ x \} \, dx && \text{R: } \\ & \mathbf{12.}\, \int_{x=98}^{99} x^{-\frac{2}{\ln x}} \, dx && \text{R: } \\ & \mathbf{13.}\, \int_{x=-\infty}^{+\infty} e^{-x^2 + 3x} \, dx && \text{R: } \\ \end{aligned}\end{split}\]

Soluzione

1. L’integrale viene risolto con l’applicazione ripetuta del metodo di integrazione per parti (integrando ripetutamente l’esponenziale \(f(u) = e^{-u})\) che ha primitiva \(F(u) = -e^{-u}\) e derivando la potenza \(u^n\)) e con la sostituzione \(x^2 = u\), che comporta \(2 x dx = du\),

\[\begin{split}\begin{aligned} \int_{x=0}^{+\infty} \, x^7 e^{-x^2} \, dx & = \int_{x=0}^{+\infty} x^6 \, e^{-x^2} \, x \, dx = \\ & = \frac{1}{2} \int_{u=0}^{+\infty} u^3 \, e^{-u} \, du = && \quad \text{IxP} \\ & = \frac{1}{2} \left[ \underbrace{\left. - u^3 e^{-u} \right|_{u=0}^{+\infty}}_{=0} + \int_{u=0}^{+\infty} 3u^2 e^{-u} \right] = && \quad \text{IxP} \\ & = \frac{3}{2} \left[ \underbrace{\left. - u^2 e^{-u} \right|_{u=0}^{+\infty}}_{=0} + \int_{u=0}^{+\infty} 2u e^{-u} \right] = && \quad \text{IxP} \\ & = 3 \left[ \underbrace{\left. - u e^{-u} \right|_{u=0}^{+\infty}}_{=0} + \int_{u=0}^{+\infty} e^{-u} \right] = && \\ & = - \left.3 e^{-u}\right|_{u=0}^{+\infty} = 3 \\ \end{aligned}\end{split}\]

avendo usato il risultato Example 24.1 \(\lim_{u \rightarrow + \infty} u^n e^{-u} = 0\) per ogni \(n\).

2. L’integrale viene calcolato usando le proprietà dellle funzioni trigonometriche…

\[\begin{split}\begin{aligned} I = \int_{x=0}^{\pi} \, \sin^5 x \, dx & = \int_{x=0}^{\pi} \sin^2 x \, \underbrace{\sin^2 x}_{1-\cos^2 x} \, \underbrace{\sin x \, dx}_{- d \cos x} = \\ & = - \int_{x=0}^{\pi} \left( 1-\cos^2 x \right)^2 \, d \cos x = \\ & = - \int_{x=0}^{\pi} \left( 1- 2\cos^2 x + \cos^4 x \right) \, d \cos x = \\ & = - \left.\left( \cos x - \frac{2}{3}\cos^3 x + \frac{1}{5}\cos^5 x \right) \right|_{x=0}^{\pi} = \\ & = 2 \left( 1-\frac{2}{3}+\frac{1}{5} \right) = \frac{16}{15} \ . \end{aligned}\end{split}\]

3. Utilizzando la sostituzione \(u = \ln x\), e quindi \(x = e^{u}\), \(du = \frac{1}{|x|} \, dx\), \(dx = |x| \, du = e^{u} \, dx\) (si osservi che il modulo assoluto è ininfluente in questo esercizio, poiché il dominio di integrazione di \(x\) è \([0,1]\), e quindi \(|x| = x\) per ogni \(x \in [0,1]\)), si può riscrivere l’integrale come

\[ \int_{x=0}^{1} \, \left( \sin (\ln x) + \cos(\ln x) \right) \, dx = \int_{u = -\infty}^{0} \left( \sin u + \cos u \right) \, e^{u} \, du\]

avendo cambiato gli estremi di integrazione in maniera coerente con il cambio di variabili, \(x \rightarrow 0\): \(u \rightarrow -\infty\), \(x = 1\): \(u = 0\). Questo integrale può essere calcolato come fatto nell’esercizio Exercise 25.1 24., 25.

\[\begin{split}\begin{aligned} I & = \left.\left[ \frac{1}{2} e^{u} ( \sin u - \cos u ) + \frac{1}{2} e^{u} (\sin u + \cos u) \right]\right|_{u=-\infty}^{0} = \\ & = \left.\left[ e^{u} \sin u \right]\right|_{u=-\infty}^{0} = \\ & = 0 - \lim_{u \rightarrow -\infty} e^{u} \sin u = 0 \ , \end{aligned}\end{split}\]

poiché la funzione \(\sin u\) è limitata, mentre \(\lim_{u\rightarrow -\infty} e^{u} = 0\).

4. !!! Questo integrale è un integrale improprio, poiché l’integranda non è definita nel punto \(x=0\) e tende a \(-\infty\) per \(x \rightarrow 0^-\) e \(+\infty\) per \(x \rightarrow 0^+\) , come facilmente verificabile, e come già calcolato nell’esercizio Exercise 23.3 11. Se si intende questo integrale come valore principlae di Cauchy, si può sfruttare le proprietà di simmetria della funzione senza indagare se l’integrale non sia la somma di due integrali divergenti.

Osservando che l’integranda è una funzione dispari (poiché prodotto della funzione pari \(\cos x\) e funzione dispari \(\text{atan}(x)\)) e il dominio di integrazione è simmetrico, si può concludere immediatamente che il valore dell’integrale è \(0\).

5. Osservando l’argomento della radice, è lecito che venga il sospetto che sia utile usare qualche proprietà delle funzioni trigonometriche. In particolare, grazie alla relazione (17.4), si può scrivere per il generico angolo \(1 + \cos (2a) = 2 \cos^2 a\). Questa relazione viene utilizzata per l’angolo \(\frac{x}{2}\) per poter scrivere l’integranda come

\[\sqrt{1 + \cos x} = \sqrt{2 \cos^2 \left( \frac{x}{2} \right) } = \sqrt{2} \left|\cos \frac{x}{2} \right| \ ,\]

e potendo rimuovere il valore assoluto (necessario per la definizione di radice quadrata sui numeri reali!!! Bene ricordarlo, ogni tanto) poiché \(\cos \frac{x}{2} \ge 0\) per tutti i valori di \(x\) appartenenti al dominio \(x \in \left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]\). Per integrali di questa funzione su altri domini nei quali occorre prestare attenzione al segno dell’integranda, si rimanda all’esercizio Exercise 25.3 1., 2..

\[\begin{split}\begin{aligned} \int_{x=\pi/2}^{\pi} \, \sqrt{1 + \cos x} \, dx & = \int_{x=\pi/2}^{\pi} \sqrt{2} \cos \frac{x}{2} \, dx = \\ & = 2 \sqrt{2} \int_{x=\pi/2}^{\pi} \cos \frac{x}{2} \, d \frac{x}{2} = \\ & = 2 \sqrt{2} \left. \, \sin \frac{x}{2} \right|_{x={\pi/2}}^{\pi} = \\ & = 2 \sqrt{2} \left[ 0 - (-1) \right] = 2 \sqrt{2} \ , \end{aligned}\end{split}\]

avendo fatto un fatto un cambio di variabili - senza introdurre un nuovo simbolo, come può essere conveniente per sintesi in questi casi semplici - da \(x\) a \(\frac{x}{2}\), solo riconoscendo che \(dx = 2 d \frac{x}{2}\), per avere il differenziabile della stessa variabile che compare ad argomento della funzione coseno.

6. Prima di procedere a occhi chiusi nel calcolo dell’integrale, osserviamo che la funzione è ben definita, al contrario di quello che avviene nell’esercizio Exercise 25.3 3.. Con il cambio di variabili \(u = (-x)^{\frac{1}{6}}\), e quindi \(du = - \frac{1}{6}(-x)^{-\frac{5}{6}} \, dx\), \(dx = - (-x)^{\frac{5}{6}} \, du = 6 \, u^5 \, du\), \(x \rightarrow -\infty:\) \(u \rightarrow +\infty\), \(x = 0:\) \(u = 0\), ci si può ricondurre a un integrale simile a all’integrale 1. di questo stesso esercizio,

\[\int_{x=-\infty}^{0} \, e^{-\sqrt[6]{-x}} \, dx = - 6 \int_{u=\infty}^{0} e^{-u} \, u^5 \, du = 6 \int_{u=0}^{\infty} e^{-u} \, u^5 \, du = 6 \cdot 5! \left. \left[ - e^{-u} \right]\right|_{u=0}^{+\infty} = 6 \cdot 5! = 6!\]

7.

8. L’integranda può essere scritta come somma di frazioni parziali nella forma

\[\frac{2x+1}{(x-1)(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x-3} \ ,\]

con \(A = \frac{3}{2}\), \(B = -5\), \(C = \frac{7}{2}\)

\[\begin{split}\begin{aligned} \int_{x=4}^{5} \frac{2x+1}{(x-1)(x-2)(x-3)} \, dx & = \int_{x=4}^{5} \left( \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x-3} \right) \, dx = \\ & = \left( A \,\ln(x-1) + B \, \ln(x-2) + C \, \ln(x-3) \right)|_{x=4}^{5} = \\ & = \frac{3}{2} \ln 4 + \left( - \frac{3}{2} - 5 \right) \ln 3 + \left( 5 + \frac{7}{2} \right) \ln 2 - \frac{7}{2} \underbrace{\ln 1}_{=0} = \\ & = - \frac{13}{2} \, \ln 3 + \frac{23}{2} \, \ln 2 \ . \end{aligned}\end{split}\]

Calcolo dei coefficienti \(A\), \(B\), \(C\) todo spostare in altro capitolo, usarlo come esercizio e fare riferimento

\[\begin{split}\begin{aligned} 1 & : \ 1 = 6A + 3B+ 2C \\ x & : \ 2 = -5A - 4B - 3C \\ x^2 & : \ 0 = A + B + C \\ \end{aligned}\end{split}\]

9.

10.

11.

12.

13.

Exercise 25.3 (Esempi di integrali in cui bisogna prestare particolare attenzione)

I seguenti integrali necessitano un po” di attenzione prima di partire a testa bassa nel calcolo.

\[\begin{split}\begin{aligned} & \mathbf{1.} \, \int_{x=0}^{\pi/2} \, \sqrt{1 + \cos x} \, dx && \text{R: } \\ & \mathbf{2.} \, \int_{x=0}^{\frac{3}{2}\pi} \, \sqrt{1 + \cos x} \, dx && \text{R: } \\ & \mathbf{3.} \, \int_{x=0}^{+\infty} \, e^{-\sqrt[6]{-x}} \, dx && \text{R: } \\ \end{aligned}\end{split}\]

1.

2.

3. L’integranda non è definita nel dominio di integrazione (ad eccezione del punto \(x=0\)) poiché \(\sqrt{-x}\) non lo è: \(-x\) è non positiva per tutti i valori di \(x\) nell’intervallo di integrazione \([0,+\infty)\).

25.8.2.1. Integrali impropri

Exercise 25.4

Si chiede di:

1. dimostrare che \(\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^p} \, dx\) converge per \(p > 1\) e diverge a \(+\infty\) per \(p \le 1\).

2. dimostrare che \(\lim_{t \rightarrow 0^+} \int_{t}^{1} \frac{1}{x^p} \, dx\) converge per \(p < 1\) e diverge a \(+\infty\) per \(p \ge 1\).

3. dimostrare che \(\int_{t}^{1} e^{a x} \, dx\) converge per \(a \dots\) e diverge per \(a \dots\).

4. …

Exercise 25.5

Si chiede di discutere e valutare i seguenti integrali impropri

\[\begin{split}\begin{aligned} & \mathbf{1.} \, \int_{x=0}^{+\infty} \frac{1}{x^2 + 9} \, dx & \text{R: } \\ & \mathbf{2.} \, \int_{x=0}^{+\infty} e^{-x} \cos x \, dx & \text{R: } \\ & \mathbf{3.} \, \int_{x=2}^{+\infty} \frac{1}{2-x} \, dx & \text{R: } \\ & \mathbf{4.} \, \int_{x=0}^{3} \frac{1}{\sqrt{|x-2|}}\, dx & \text{R: } \\ & \mathbf{4.} \, \int_{x=0}^{3} \frac{1}{x-2}\, dx & \text{R: } \\ & \mathbf{4.} \, \int_{x=0}^{3} \frac{1}{(x-2)^2}\, dx & \text{R: } \\ & \mathbf{5.} \, \int_{x=0}^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sqrt{1-\cos x}} \, dx & \text{R: } \\ & \mathbf{6.} \, \int_{}^{} \, dx & \text{R: **todo**} \\ & \mathbf{7.} \, \int_{}^{} \, dx & \text{R: } \\ \end{aligned}\end{split}\]

25.8.3. Problemi di geometria

25.8.3.1. Area di superfici e lunghezza di curve

Exercise 25.6

Calcolare l’area della superficie chiusa tra la parabola \(y = - x^2 + 1\) e l’asse \(x\).

Exercise 25.7

Calcolare l’area della superficie chiusa tra la parabola \(y = - x^2 + 1\) e la parabola \(y = x^2 - 2 x\).

Exercise 25.8

Calcolare la lunghezza del ramo di parabola \(y = x^2 - 2x + 1\) tra \(x \in [0,2]\).

25.8.3.2. Volumi e superficie di solidi di rotazione

Exercise 25.9

Calcolare il volume e la superficie del solido generato dalla rotazione del ramo di parabola \(y = 2\, x^2\), \(x \in [0,2]\) attorno all’asse \(y\)

Exercise 25.10

Calcolare il volume e la superficie del solido generato dalla rotazione del ramo di parabola \(y = 2\, x^2\), \(x \in [0,2]\) attorno all’asse \(x\).

Exercise 25.11

Calcolare il volume e la superficie di un cilindro di altezza \(h\) e base di raggio \(r\).

Exercise 25.12

Calcolare il volume e la superficie di un cono retto di altezza \(h\) e base di raggio \(r\).

Exercise 25.13

Calcolare il volume e la superficie di un tronco di cono retto ottenuto dalla rivoluzione attorno all’asse \(x\) del segmento \(y = x + 2\), per \(x = [1,4]\).

Exercise 25.14

Calcolare il volume e la superficie della sfera generata dalla rivoluzione della semicirconferenza centrata nell’origine di raggio \(R\), \(x^2 + y^2 = R^2\).

Exercise 25.15

Calcolare il volume e la superficie della calotta sferica sfera generata dalla rivoluzione dell’arco di circonferenza centrata nell’origine di raggio \(R\), \(y = \sqrt{R^2 - x^2}\), con \(x = [-R, a]\), \(a \le R\).

Exercise 25.16

Calcolare il volume e la superficie di un toro generato dalla rivoluzione del cerchio \(x^2 + (y-r_0)^2 = r_1^2\), with \(r_0 \ge r_1\), attorno all’asse \(x\).