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11 apr 2025

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19. Polinomi#

19.1. Fattorizzazione#

todo Fare esempi di applicazione del teorema fondamentale dell’algebra, come soluzione delle ODE lineari omogenee a coffficienti costanti

19.1.1. Teorema fondamentale dell’algebra#

Il teorema fondamentale dell’algebra afferma che ogni polinomio in una variabile complessa \(z \in \mathbb{C}\) a coefficienti complessi,

\[p_n(z) = a_n z^n + \dots a_1 z + a_0 \ ,\]

ammette almeno una radice complessa, o zero. Di conseguenza, lo stesso polinomio di grado \(n\) ammette \(n\) zeri complessi e può essere fattorizzato come prodotto di monomi

\[p_n(z) = a_n ( z - z_1 ) \dots ( z - z_n ) \ ,\]

essendo \(z_k\), \(k=1:n\), gli zeri del polinomio.

19.1.2. In campo reale#

Ogni polinomio \(p_n(x)\) a coefficienti reali può essere fattorizzato nel prodotto di binomi e trinomi a coefficienti reali,

\[\begin{split}\begin{aligned} p_n(x) & = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots a_1 x + a_0 = \\ & =a_n ( x - z_1 ) \dots ( x - z_p ) ( x^2 + b_1 x + c_1 ) \dots ( x^2 + b_q x + c_q ) \end{aligned}\end{split}\]

con \(p + 2q = n\).

19.1.3. In campo complesso#

Ogni polinomio \(p_n(x)\) a coefficienti reali può essere fattorizzato nel prodotto di \(n\) binomi coefficienti complessi,

\[\begin{split}\begin{aligned} p_n(x) & = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots a_1 x + a_0 = \\ & = a_n ( x - z_1 ) \dots ( x - z_n ) \ . \end{aligned}\end{split}\]

Gli zeri di un polinomio a coefficienti costanti possono essere o reali o complessi coniugati, cioè o \(z_k \in \mathbb{R}\) o se \(z_k \notin \mathbb{R}\) allora anche \(z_k^*\) è uno zero del polinomio.

19.1.3.1. Esempio#

Il polinomio di terzo grado \(p(x) = x^3 + 1\) può essere fattorizzato come

\[\begin{split}\begin{aligned} p(x) = x^3 + 1 & = (x - 1) \, ( x^2 + x + 1 ) = \\ & = (x - 1) \, \left( x - \left( -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right) \, \left( x - \left( -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right) \\ \end{aligned}\end{split}\]

Il polinomio ha coefficienti reali. Gli zeri del polinomio sono o reali, come \(1\), o complessi coiungati come \(\left( -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^* = -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}\).

19.2. Teorema binomiale#

Con esponente naturale \(p \in \mathbb{N}\),

\[\begin{split}\left( x + y \right)^p = \sum_{k=0}^{p} \left( \begin{matrix} p \\ k \end{matrix} \right) x^k \, y^{p-k} \ ,\end{split}\]

avendo indicato il coefficente binomiale

\[\begin{split}\left( \begin{matrix} p \\ k \end{matrix} \right) = \frac{p!}{k! (p-k)!}\end{split}\]

Con esponente non naturale \(p \in \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\),… todo