3. Introduzione all’algebra#

L’algebra si occupa dello studio di:

  • quantità/oggetti matematici

  • operazioni, espressioni e relazioni tra questi quantità/oggetti matematici,

  • strutture algebriche, definite come insiemi di quantità matematiche dotati di operazioni che soddisfano delle proprietà fondamentali, dette assiomi.

Argomenti del capitolo

Algebra sui numeri reali, \(\mathbb{R}\). Vengono richiamate le proprietà e le operazioni elementari sui numeri reali. Viene

Algebra sulle \(n\)-uple di numeri reali, \(\mathbb{R}^n\). Vengono affrontati sistemi di equazioni e disequazioni a più incognite.

Algebra lineare. Il capitolo si concentra sui sistemi di equazioni lineari a più incognite. Viene introdotto il formalismo matriciale, e discusse le operazioni e alcune proprietà delle matrici; le matrici vengono poi interpretate come funzioni lineari, come mostrato con esempi ed esercizi. Vengono mostrati diversi approcci alla soluzione di sistemi lineari e presentato il teorema di Rouché-Capelli che descrive le condizioni per l’esistenza e l’unicità di tali soluzioni.

Algebra vettoriale. Viene definita la struttura algebrica dello spazio vettoriale, elencandone proprietà e presentandone alcuni esempi. Tra questi esempi, viene discusso in dettaglio uno spazio vettoriale euclideo, modello dello della «concezione quotidiana» dello spazio: vengono presentate le operazioni che permettono di

Algebra sui numeri complessi, \(\mathbb{C}\).

Algebra di insiemi.

Approccio

Non vengono approfonditi gli aspetti più astratti della teoria, concentrandosi su un approccio più applicativo. In particolare, ci si concentra:

  • gli oggetti matematici appartenenti a insiemi numerici (\(\mathbb{R}\), \(\mathbb{C}\),…) o non numerici, come insiemi, matrici; l’introduzione all’algebra vettoriale richiederà la definizione di una struttura algebrica fondamentale, lo spazio vettoriale

  • le operazioni e le relazioni su questi oggetti matematici e le loro proprietà

  • il calcolo letterale che permette di impostare i problemi (todo aggiungere riferimenti ad approccio generale da seguire) nella forma di equazioni, disequazioni, sistemi, senza dover fare affidamento a particolari valori numerici

  • i metodi di soluzione di questi probelmi algebrici.