12.5.3. Equazione generale delle coniche

L’equazione di una conica disposta nel piano in maniera arbitraria rispetto a un sistema di coordinate cartesiane ha l’epsressione

\[A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0 \ .\]

E` possibile dimostrare questa affermazione tramite una trasformazione rigida generica di roto-traslazione. In particolare, si applica prima una rotazione di un angolo \(\theta\) e poi una traslazione \(\vec{v} = x_{1,P} \hat{x}_1 + y_{1,P} \hat{y}_1\).

\[\begin{split} \begin{cases} x_1 = x \cos \theta + y \sin \theta \\ y_1 = - x \sin \theta + y \cos \theta \\ \end{cases} \qquad , \qquad \begin{cases} x_2 = x_1 - x_{1,P} \\ y_2 = y_1 - y_{1,P} \\ \end{cases} \end{split}\]

Diversi tipi di coniche sono caratterizzati da diverse relazioni tra i coefficienti del polinomio di secondo grado, in particolare, dal valore del coefficiente \(\Delta := B^2 - 4 A C\),

• ellisse: \(\Delta < 0\)

• parabola: \(\Delta = 0\)

• iperbole: \(\Delta > 0\)

Dimostrazione, ellisse e iperbole

Le equazioni in forma canonica di un’ellisse e un’iperbole possono essere scritte come

\[\frac{x_2^2}{a^2} + \gamma \frac{y_2^2}{b^2} = 1 \qquad \rightarrow \qquad 0 = b^2 x_2^2 + \gamma a^2 y_2^2 - a^2 b^2 \ ,\]

con \(\gamma = 1\) per l’ellisse e \(\gamma = -1\) per l’iperbole. Rispetto al sistema di coordinate \((x_2, y_2)\) il centro dell’ellisse e dell’iperbole si trovano in \((x_2, y_2) = (0, 0)\), e quindi in \((x_1, y_1) = (x_{1,P}, y_{1,P})\).

Introducendo le trasformazioni di coordinate, si può manipolare l’espressione delle coniche

\[\begin{split}\begin{aligned} 0 & = b^2 ( x_1 - x_{1,P} )^2 + \gamma a^2 ( y_1 - y_{1,P} )^2 - a^2 b^2 = \\ & = b^2 ( x \cos \theta + y \sin \theta - x_{1,P} )^2 + \gamma a^2 ( - x \sin \theta + y \cos \theta - y_{1,P} )^2 - a^2 b^2 = \\ & = x^2 \left( b^2 \cos^2 \theta + \gamma a^2 \sin^2 \theta \right) + 2 x y \left( b^2 - \gamma a^2 \right) \sin \theta \cos \theta + y^2 \left( b^2 \sin^2 \theta + \gamma a^2 \cos^2 \theta \right) \\ & + x \left( - 2 b^2 x_{1,P} \cos \theta + 2 \gamma a^2 y_{1,P} \sin \theta \right) + y \left( - 2 b^2 x_{1,P} \sin \theta - 2 \gamma a^2 y_{1,P} \cos \theta \right) \\ & + b^2 x_{1,P}^2 + \gamma a^2 y_{1,P}^2 - a^2 b^2 \end{aligned}\end{split}\]

per calcolare il discriminante, usando la relazione \(\gamma^2 = 1\), come

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{\Delta}{4} & = \frac{B^2}{4} - AC = \\ & = \left[ \left( b^2 - \gamma a^2 \right) \sin \theta \cos \theta \right]^2 - \left( b^2 \cos^2 \theta + \gamma a^2 \sin^2 \theta \right) \left( b^2 \sin^2 \theta + \gamma a^2 \cos^2 \theta \right) = \\ & = b^4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta - 2 \gamma a^2 b^2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta + a^4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta \\ & - b^4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta - \gamma a^2 b^2 \left( \sin^4 \theta + \cos^4 \theta \right) - a^4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = \\ & = - \gamma a^2 b^2 \left(\underbrace{ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta}_{=1} \right)^2 = - \gamma a^2 b^2 \end{aligned}\end{split}\]

E quindi

• per un’ellisse, \(\gamma = 1\) e \(\Delta < 0\)

• per un’iperbole, \(\gamma =-1\) e \(\Delta > 0\)

Dimostrazione, parabola

Introducendo le trasformazioni di coordinate, si può manipolare l’espressione dell’equazione in forma canonica delle parabole

\[\begin{split}\begin{aligned} 0 & = a x_2^2 - y_2 = \\ & = a ( x_1 - x_{1,P} )^2 - y_1 + y_{1,P} = \\ & = a ( x \cos \theta + y \sin \theta - x_{1,P} )^2 - ( - x \sin \theta + y \cos \theta ) + y_{1,P} = \\ & = x^2 \left( a \cos^2 \theta \right) + 2 x y \left( a \cos \theta \sin \theta \right) + y^2 \left( a \sin^2 \theta \right) \\ & + x \left( - 2 a x_{1,P} \cos \theta + 2 \sin \theta \right) + y \left( - 2 a x_{1,P} \sin \theta - 2 \cos \theta \right) \\ & + x_{1,P}^2 + y_{1,P} \end{aligned}\end{split}\]

per poi calcolare il discrimminante,

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{\Delta}{4} & = \frac{B^2}{4} - AC = \\ & = a^2 \cos^2 \theta \sin^2 \theta - a^2 \cos^2 \theta \sin^2 \theta = 0 \end{aligned}\end{split}\]

todo Commento

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todo Conviene forse invertire le trasformazioni delle coordinate, ad esempio per avere un’interpretazione più immediata delle coordinate del centro e degli altri punti notevoli delle coniche e della direzione degli assi?

\[\begin{split} \begin{cases} x_1 = x - x_{P} \\ y_1 = y - y_{P} \\ \end{cases} \qquad , \qquad \begin{cases} x_2 = \ \ \ x_1 \cos \theta + y_1 \sin \theta \\ y_2 = - x_1 \sin \theta + y_1 \cos \theta \\ \end{cases} \end{split}\]

Dimostrazione, ellisse e iperbole

Le equazioni in forma canonica di un’ellisse e un’iperbole possono essere scritte come

\[\frac{x_2^2}{a^2} + \gamma \frac{y_2^2}{b^2} = 1 \qquad \rightarrow \qquad 0 = b^2 x_2^2 + \gamma a^2 y_2^2 - a^2 b^2 \ ,\]

con \(\gamma = 1\) per l’ellisse e \(\gamma = -1\) per l’iperbole. Rispetto al sistema di coordinate \((x_2, y_2)\) il centro dell’ellisse e dell’iperbole si trovano in \((x_2, y_2)_P = (0, 0)\), e quindi in \((x_1, y_1)_P = (0,0)\) e \((x, y)_P = (x_{1,P}, y_{1,P})\). Introducendo le trasformazioni di coordinate, si può manipolare l’espressione delle coniche

\[\begin{split}\begin{aligned} 0 & = b^2 ( x_1 \cos \theta + y_1 \sin \theta )^2 + \gamma a^2 ( - x_1 \sin \theta + y_1 \cos \theta )^2 - a^2 b^2 = \\ & = b^2 \left[ ( x - x_P ) \cos \theta + ( y - y_P ) \sin \theta \right]^2 + \gamma a^2 \left[ - ( x - x_P ) \sin \theta + ( y - y_P ) \cos \theta \right]^2 - a^2 b^2 = \\ & = x^2 \left( b^2 \cos^2 \theta + \gamma a^2 \sin^2 \theta \right) \\ & + 2 x y \left( b^2 \cos\theta \sin \theta - \gamma a^2 \cos\theta \sin \theta \right) \\ & + y^2 \left( b^2 \sin^2 \theta + \gamma a^2 \cos^2 \theta \right) \\ & + x \left(- 2 y_P b^2 \cos \theta \sin \theta + 2 y_P \gamma a^2 \cos \theta \sin \theta - 2 x_P b^2 \cos^2 \theta + 2 x_P \gamma a^2 \sin^2 \theta \right) \\ & + y \left(- 2 x_P b^2 \cos \theta \sin \theta + 2 x_P \gamma a^2 \cos \theta \sin \theta - 2 y_P b^2 \sin^2 \theta + 2 y_P \gamma a^2 \cos^2 \theta \right) \\ & + \left( b^2 ( x_P^2 \cos^2 \theta + y_P^2 \sin^2 \theta + 2 x_P y_P \sin \theta \cos \theta ) + \gamma a^2 ( x_P^2 \sin^2 \theta + y_P^2 \cos^2 \theta - 2 x_P y_P \sin \theta \cos \theta ) \right) = \\ & = \end{aligned}\end{split}\]

Dimostrazione, parabola

Introducendo le trasformazioni di coordinate, si può manipolare l’espressione dell’equazione in forma canonica delle parabole