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Exercise 21.1

Rappresenta il numero complesso \( z = 3 + 4i \) nel piano complesso e calcola il modulo e l’argomento.
Converti il numero complesso \( z = 1 - i \) in forma polare.
Determina la forma cartesiana di \( z = 4 \text{cis}\frac{\pi}{3} \).
Calcola il prodotto di \( z_1 = 2 \text{cis}\frac{\pi}{4} \) e \( z_2 = 3 \text{cis}\frac{\pi}{6} \), e rappresenta il risultato in forma polare.
Trova le radici cubiche di \( z = 8 \) e rappresentale nel piano complesso.

Exercise 21.2 (Parte reale e parte immaginaria)

Dimostrare le relazioni (21.5)

\[\begin{split}\begin{aligned} \text{re}\{z\} & = \frac{z + z^*}{2} \\ \text{im}\{z\} & = \frac{z - z^*}{2i} \\ \end{aligned}\end{split}\]

Exercise 21.3

Dimostra che \(z^2 + 1 = 0\) ha due soluzioni complesse e determinane i valori.
Risolvi \(z^3 - 8 = 0\) e rappresenta le radici nel piano complesso.
Determina tutte le radici quarte di \(z = 16\) in forma polare.
Trova i valori di \(z\) tali che \(z^4 = 81 \text{cis}\frac{\pi}{2}\).
Verifica che il prodotto delle radici di \(z^3 + 27 = 0\) è uguale a \(-27\).
Risolvi \(z^5 + z^3 - z + 1 = 0\) per \(z \in \mathbb{C}\).
Dimostra che \(z = i\) è una radice di \(z^3 + z^2 + z + 1 = 0\) e trova le altre radici.
Calcola le soluzioni di \(z^6 - 64 = 0\) in forma esponenziale.
Trova le radici di \(z^4 + 4z^2 + 16 = 0\) e verifica che soddisfano l’equazione.
Determina la radice principale di \(z = \sqrt[3]{-8}\) in forma polare.

Exercise 21.4

Disegna il punto \(z = 2 + 3i\) e calcola la distanza dall’origine.
Trova il punto medio del segmento che collega \(z_1 = 1 + 2i\) e \(z_2 = 3 + 4i\).
Verifica che i punti \(z_1 = 0\), \(z_2 = 3 + 4i\), e \(z_3 = 6 + 0i\) formano un triangolo rettangolo.
Trova l’equazione del cerchio con centro \(z = 2 + i\) e raggio \(3\).
Dimostra che la distanza tra \(z_1 = 2 + i\) e \(z_2 = -1 + 2i\) è \(\sqrt{10}\).
Rappresenta graficamente la regione definita da \(|z - 1| < 2\).
Determina il luogo geometrico di \(z\) per cui \(|z - 2i| = |z + 2i|\).
Disegna e descrivi il luogo geometrico definito da \(\text{Re}(z) = 2\).
Trova il punto \(z\) nel piano complesso che soddisfa \(|z - 1| = 3\) e \(\text{Im}(z) > 0\).
Dimostra che i punti \(z_1 = 1 + i\), \(z_2 = -1 - i\), e \(z_3 = 0\) sono collineari.

Exercise 21.5 (Equazioni)

Risolvere le seguenti equazioni

Risolvi \(|z| = 2\) e rappresenta graficamente le soluzioni.
Trova i numeri complessi \(z\) che soddisfano \(z + \overline{z} = 2\).
Risolvi \(z^2 - 2z + 5 = 0\) e calcola il modulo delle soluzioni.
Risolvi \(|z - 3 + 1| = 2\) e rappresenta graficamente le soluzioni.
Trova i valori di \(z\) per cui \(z^3 = 27\).
Risolvi \((z-1)^4 + 16 = 0\) e rappresenta graficamente le soluzioni nel piano complesso.
Risolvi \(|z - 2| = |z + 1|\) e descrivi il luogo geometrico delle soluzioni.
Trova le soluzioni di \(z^5 - 32 = 0\) e rappresentale in forma polare.
Determina i numeri complessi \(z\) per cui \(|z|^2 + |z - 2|^2 = 8\).
Risolvi \(|z + i| = 3\) per \(z \in \mathbb{C}\).
\(z^2 + 4 = 0\)
\(z^2 - 2z + 5 = 0\)
\(z^3 + 8 = 0\)
\(|z-2-i| = 2\)
\(|z-2-i| = |z-1|\)
\(z + \bar{z} = 1\)

Exercise 21.6 (Disequazioni)

1. Trova i numeri complessi \(z\) che soddisfano \(|z| < 3\).

2. Determina \(z\) per cui \(|z - 2| \geq 4\).

3. Risolvi \(|z + i| \leq 2\).

4. Trova \(z\) tali che \(\text{Re}(z) > \text{Im}(z)\).

5. Risolvi \(|z - 1| > |z + 1|\).

6. Determina il luogo geometrico di \(z\) per cui \(|z| - |z-2| \leq 1\).

7. Risolvi \(\text{Re}(z) + \text{Im}(z) \leq 2\).

8. Trova \(z\) tali che \(|z| + |z - 1| \leq 5\).

9. Trova \(z\) tali che \(|z+i| + |z - 1| \leq 5\).

10. Risolvi \(|z - i| \geq |z + 2|\).

11. Determina il luogo geometrico di \(z\) per cui \(|z| - |z-2| \leq 3\).

Exercise 21.7 (Sistemi di equazioni)

Risolvi il sistema:
\(\begin{cases} z + \overline{z} = 6 \\ |z| = 5 \end{cases}\)
Trova \(z_1\) e \(z_2\) che soddisfano il sistema:
\(\begin{cases} |z_1| = 3 \\ z_1 z_2 = 9 \end{cases}\)
Risolvi il sistema:
\(\begin{cases} z^2 + w^2 = 5 \\ z w = 4 \end{cases}\)
Determina le soluzioni del sistema:
\(\begin{cases} |z| = 4 \\ z + \overline{z} = 6 \end{cases}\)
Risolvi il sistema:
\(\begin{cases} z^3 + w = 1 \\ z w^3 = -1 \end{cases}\)
Trova \(z\) e \(w\) per il sistema:
\(\begin{cases} z^2 + w^2 = 7 \\ z + w = 3 \end{cases}\)
Risolvi il sistema:
\(\begin{cases} |z| = 2 \\ z + w = 0 \end{cases}\)
Trova \(z\) e \(w\) che soddisfano il sistema:
\(\begin{cases} z w = 1 \\ z - w = i \end{cases}\)
Determina le soluzioni del sistema:
\(\begin{cases} z^2 + \overline{z}^2 = 8 \\ z \cdot \overline{z} = 9 \end{cases}\)
Risolvi il sistema:
\(\begin{cases} z + w = 5 + i \\ z \cdot w = 6 - i \end{cases}\)