28.2. Integrali in spazi euclidei

In questa sezione vengono presentati alcuni integrali comuni di campi scalari e vettoriali, che compaiono frequentemente in fisica e in altri ambiti scientifici. Il calcolo degli integrali in spazi euclidei viene svolto sfruttando una parametrizzazione del dominio con un insieme di coordinate per ricondurre questi integrali a integrali su domini multi-dimensionali, dopo aver valutato correttamente l’espressione dei domini elementari in funzione delle variazioni elementari delle coordinate usate nella parametrizzazione: le espressione dell”elemento di linea, dell”elemento di superficie, e dell”elemento di volume indotti da una parametrizzazione dello spazio sono stati discussi nella prima sezione di questo capitolo, sull’uso delle coordinate per la rappresentazione parametrica dello spazio euclideo.

28.2.1. Integrali di linea

28.2.1.1. Densità

Data una curva \(\gamma\) nello spazio euclideo descritta dall’equazione parametrica

\[\gamma: \vec{r} = \vec{r}_{\gamma}(t) \qquad , \qquad t \in [t_0, t_1] \ ,\]

e una funzione scalare \(m(\vec{r})\) definita sui punti della curva, \(\vec{r} \in \gamma\), densità lineare di una proprietà \(M\) additivà, si può calcolare la proprietà \(M\) associata alla linea \(\gamma\) come l’integrale

\[M = \int_{\vec{r} \in \gamma} m(\vec{r}) \ ,\]

o indicando esplicitamente le dimensioni dell’elemento di linea (e indipendenti dal suo verso), e usando il parametro \(\gamma\) come variabile indipendente del problema,

\[M = \int_{\vec{r} \in \gamma} m (\vec{r}) \, |d \vec{r}| = \int_{t = t_0}^{t_1} m (\vec{r}_{\gamma}(t)) \, |\vec{r}'_{\gamma}(t)| \, dt\]

Questo tipo di integrale può essere utilizzato per calcolare la lunghezza di una curva o alcune proprietà additive della curva, di cui la funzione integranda è una densità lineare.

Example 28.14 (Lunghezza di un quarto di cerchio)

Un arco di circonferenza corrispondente a un quarto di essa può essere rappresentato in forma parametrica come,

\[\gamma: \, \vec{r}_{\gamma}(t) = R \cos t \hat{x} + R \sin t \hat{y} \ , \qquad t \in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]\]

L’elemento di curva è

\[d \vec{r} = \vec{r}'(t) \, dt = \left( - R \sin t \, \hat{x} + R \cos t \, \hat{y} \right) \, dt \]

e il suo modulo vale

\[|d \vec{r}| = R \, |dt| \ .\]

La lunghezza della curva si ottiene con densità di proprietà \(m = 1\), todo e, poiché la parametrizzazione è regolare e con \(t\) crescente per scrivere \(|d t| = d t\) e \(R > 0\),

\[L = \int{\vec{r}\in \gamma} |d \vec{r}| =\int_{t = 0}^{\frac{\pi}{2}} \left|\vec{r}'(t)\right| \, dt = \int_{t = 0}^{\frac{\pi}{2}} R \, dt = \frac{\pi}{2} \, R \ .\]

Example 28.15 (Massa di un quarto di cerchio di densità non uniforme)

Example 28.16 (Lunghezza di un’elica)

Un’elica di raggio \(R\) e passo \(L\) composta da 2 avvolgimenti può essere rappresentata in forma parametrica come

\[\gamma: \, \vec{r}(t) = R \cos t \, \hat{x} + R \sin t \, \hat{y} + \frac{L}{2\pi} \, t \, \hat{z} \ , \qquad t \in \left[ 0, 4 \pi \right]\]

L’elemento di curva è

\[d \vec{r} = \vec{r}'(t) \, dt = \left( - R \sin t \, \hat{x} + R \cos t \, \hat{y} + \frac{L}{2\pi} \, \hat{z} \right) \, dt \]

e il suo modulo vale

\[|d \vec{r}| = \sqrt{ R^2 + \left(\frac{L}{2 \pi}\right)^2 } \, |dt| \ .\]

La lunghezza della curva si ottiene con densità di proprietà \(m = 1\), todo e, poiché la parametrizzazione è regolare e con \(t\) crescente per scrivere \(|d t| = d t\) e \(R > 0\),

\[L = \int{\vec{r}\in \gamma} |d \vec{r}| =\int_{t = 0}^{4 \pi} \left|\vec{r}'(t)\right| \, dt = \int_{t = 0}^{4 \pi} \sqrt{ R^2 + \left(\frac{L}{2 \pi}\right)^2 } \, dt = 4 \pi R^2 \sqrt{1 + \left( \frac{L}{2 \pi R}\right)^2} \ . \]

Example 28.17 (Massa di un’elica con densità non uniforme)

Si vuole calcolare la massa dell’elica dell’esempio precedente, conoscendo che la sua densità lineare di massa ha una dipendenza di primo grado dal parametro \(t\) nota,

\[m(t) = a + b \, t \ , \qquad t \in \left[ 0, 4 \pi \right]\]

con \(a > 0\), \(b > -\frac{a}{4 \pi}\) noti. I vincoli sui parametri rappresentano il vincolo fisico di densità di massa non negativa, \(m(t) > 0\), \(\forall t \in [0, 4 \pi]\).

…

La massa dell’elica è

\[\begin{split}\begin{aligned} M & = \int_{\vec{r} \in \gamma} m(\vec{r}) = \\ & = \int_{t = 0}^{4 \pi} m(\vec{r}_{\gamma}(t)) \, |\vec{r}'_{\gamma}(t)| \, dt = \\ & = \int_{t = 0}^{4 \pi} \left( a + b t \right) \, \sqrt{ R^2 + \left(\frac{L}{2 \pi}\right)^2 } \, dt =\\ & = \left( 4 \pi a + \frac{(4 \pi)^2}{2} b \right) \sqrt{ R^2 + \left(\frac{L}{2 \pi}\right)^2 } \ . \end{aligned}\end{split}\]

28.2.1.2. Lavoro e circuitazione

L’integrale del prodotto scalare tra un campo vettoriale \(\vec{f}(\vec{r})\) definito su una curva e il versore tangente \(\hat{t}(\vec{r})\) alla curva stessa,

(28.1)\[L_{\gamma}(\vec{f}) = \int_{\vec{r} \in \gamma} \vec{f}(\vec{r}) \cdot \hat{t}(\vec{r}) \ ,\]

compare in molti ambiti della fisica, o delle scienze in generale, ed è spesso associato al concetto di lavoro compiuto dalla forza o dal campo di forze \(\vec{f}(\vec{r})\) lungo il percorso rappresentato dalla curva \(\gamma\). Esplicitando l’elemento di curva e ipotizzando una parametrizzazione regolare

\[\begin{split}\begin{aligned} L_{\gamma}(\vec{f}) & = \int_{s \in s_0}^{s_1} \vec{f}(\vec{r}(s)) \cdot \vec{r}'(s) \, ds = \\ & = \int_{t \in t_0}^{t_1} \vec{f}(\vec{r}(t)) \cdot \vec{r}'(t) \, dt \end{aligned}\end{split}\]

todo indipendente dalla parametrizzazione della curva

28.2.1.2.1. Circuitazione

Definition 28.5 (Circuitazione)

L’integrale del lavoro (28.1) lungo una curva chiusa \(\gamma\) viene definito circuitazione del campo \(\vec{f}\) lungo la linea \(\gamma\), e viene indicato comunemente con

\[\Gamma_{\gamma}(\vec{f}) := \oint_{\gamma} \vec{f} \cdot \hat{t} \ ,\]

dove il circolino sul segno di integrale vuole ricordare che la linea \(\gamma\) è una linea chiusa.

Example 28.18

28.2.1.2.2. Campi conservativi

In alcuni casi particolari, il valore di questo integrale non dipende dalla curva \(\gamma\), ma solo dai suoi punti estremi. Campi di questo \(\vec{f}(\vec{r})\) di questo tipo compaiono in fisica nella definizione di campi di forze conservative, che ammettono potenziale.

todo legare bene con il resto; discutere qui? In altre parti? Ragionare sui domini?

• campi conservativi in un dominio hanno circuitazione nulla lungo ogni percorso appartenente al dominio

Example 28.19

28.2.2. Integrali di superficie

28.2.2.1. Densità

Data una superficie \(S: \, \vec{r} = \vec{r}_S(q^1, q^2)\) e una funzione \(\sigma(\vec{r})\) definita sui punti della superficie \(S\), questa può essere interpretata come densità di superficie di una proprietà \(M\) additiva associata alla superficie \(S\) definita come l’integrale

\[M = \int_{\vec{r} \in S} \sigma(\vec{r}) \ ,\]

o indicando esplicitamente l’elemento di superficie, e ipotizzando una parametrizzazione regolare con parametri crescenti \(|d q^i| = d q^i > 0\),

\[M = \int_{\vec{r} \in S} \sigma(\vec{r}) d S = \int_{(q^1,q^2) \in Q} \sigma\left( \vec{r}_S(q^1, q^2) \right) \left|\frac{\partial \vec{r}_S}{\partial q^1}(q^1,q^2) \times \frac{\partial \vec{r}_S}{\partial q^2}(q^1,q^2) \right| \, dq^1 \, dq^2\]

28.2.2.2. Flusso di un campo vettoriale

L’integrale del prodotto scalare tra un campo vettoriale \(\vec{f}(\vec{r})\) definito su una superficice \(S\) e il versore normale \(\hat{n}\) alla superficie

(28.2)\[\Phi_{S}(\vec{f}) = \int_{\vec{r} \in S} \vec{f}(\vec{r}) \cdot \hat{n}(\vec{r}) \ ,\]

compare in molti ambiti della fisica, o delle scienze in generale, e viene definito flusso del campo vettoriale \(\vec{f}(\vec{r})\) attraverso la superficie \(S\). Esplicitando l’elemento di superficie e ipotizzando una parametrizzazione regolare con parametri crescenti e coerenti con la direzione desiderata del versore normale (orientazione della superficie),

(28.3)\[\Phi_{S}(\vec{f}) = \int_{(q^1, q^2) \in Q} \vec{f}(\vec{r}_S(q^1, q^2)) \cdot \frac{\partial \vec{r}}{\partial q^1} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial q^2} \, d q^1 \, d q^2 \ ,\]

28.2.3. Integrali di volume

Nello spazio 3-dimensionale i cui punti sono descritti dalle coordinate \(\{ q^i \}_{i=1:3}\), \(\vec{r}(q^1, q^2, q^3)\), il volume elementare \(dV\) costruito con i vettori degli incrementi parziali, può essere espresso in funzione delle variazioni delle coordinate \(d q^1\), \(d q^2\), \(d q^3\) e del prodotto misto delle derivate parziali,

Ricordando il significato geometrico del prodotto misto tra tre vettori in spazi euclidei, l’elemento infinitesimo di un volume descritto dalle coordinate \(\left( q^i \right)_{i=1:n}\) è

\[dV = \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial q^1} \cdot \frac{\partial \vec{r}}{\partial q^2} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial q^3} \right| \, d q^1 \, d q^2 \, d q^3 \ .\]