Problemi

Contenuti

24.10. Problemi#

24.10.1. Calcolo derivate#

derivate fondamentali, regole di derivazione

Exercise 24.1 (Calcolo derivate con definizione)

Calcolare le derivate delle seguenti funzioni usando la definizione

\(f(x) = x^2\)
\(f(x) = \sqrt{x}\)
\(f(x) = e^x\)
\(f(x) = \ln(x)\)
\(f(x) = \sin(x)\)

Essendo la derivata definita come limite di un rapporto incrementale, questi esercizi possono essere visti come ulteriori esercizi sui limiti.

Exercise 24.2 (Verifica della derivabilità di funzioni)

Verificare che le seguenti funzioni siano derivabili. Dove non indicato esplicitamente, si consideri \(\mathbb{R}\) come dominio.

\(f(x) = x^2\)
\(f(x) = \sqrt{x}, \, x > 0\)
\(f(x) = e^x\)
\(f(x) = \ln(x), \, x > 0\)
\(f(x) = \sin(x)\)
\(f(x) = \cos(x)\)
\(f(x) = x^3 + \sqrt{x}, \, x > 0\)
\(f(x) = e^{-x^2}\)

Essendo la derivata definita come limite di un rapporto incrementale, e venendo richiesto di controllare che questo limite esista, anche questi esercizi possono essere visti come ulteriori esercizi sui limiti.

Exercise 24.3 (Calcolo delle derivate)

\(\frac{d}{dx} \left(x^3\right)\)
\(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)\)
\(\frac{d}{dx} \left(e^x\right)\)
\(\frac{d}{dx} \left(\ln(x)\right)\)
\(\frac{d}{dx} \left(\sin(x)\right)\)
\(\frac{d}{dx} \left(\cos(x)\right)\)
\(\frac{d}{dx} \left(\tan(x)\right)\)
\(\frac{d}{dx} \left(x^4 + 2x^2\right)\)
\(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x^2 + 1}\right)\)
\(\frac{d}{dx} \left(e^{-x}\right)\)
\(\frac{d}{dx} \left(\ln(x^2)\right)\)
\(\frac{d}{dx} \left(\sin^2(x)\right)\)
\(\frac{d}{dx} \left(\cos(x^2)\right)\)
\(\frac{d}{dx} \left(\tan(\sqrt{x})\right)\)
\(\frac{d}{dx} \left(\sinh(x)\right)\)
\(\frac{d}{dx} \left(\cosh(x)\right)\)
\(\frac{d}{dx} \left(\tanh(x)\right)\)
\(\frac{d}{dx} \left(e^{x^2}\right)\)
\(\frac{d}{dx} \left(\ln(x + \sqrt{x^2 + 1})\right)\)
\(\frac{d}{dx} \left(\sin(e^x)\right)\)
\(\frac{d}{dx} \left(\cos(\ln(x))\right)\)
\(\frac{d}{dx} \left(\tan(x^3)\right)\)
\(\frac{d}{dx} \left(x e^x\right)\)
\(\frac{d}{dx} \left(x^2 \ln(x)\right)\)
\(\frac{d}{dx} \left(\frac{\sin(x)}{x}\right)\)
\(\frac{d}{dx} \left(\frac{x^2 + 1}{x^3 - 1}\right)\)
\(\frac{d}{dx} \left(\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}\right)\)
\(\frac{d}{dx} \left(\sinh(x^2)\right)\)
\(\frac{d}{dx} \left(\cosh(\sqrt{x})\right)\)
\(\frac{d}{dx} \left(\tanh(x + 1)\right)\)

Exercise 24.4 (Calcolo di limiti con la regola di de l’Hopital)

forme indeterminate \(\frac{f(x)}{g(x)}\)

\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\)
\(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2}\)
\(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x}\)
\(\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{x}\)
\(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\)
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}\)
\(\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}\)
\(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2)}{\ln(x)}\)
\(\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\)
\(\lim_{x \to \infty} \frac{\sinh(x)}{e^x}\)

24.10.2. Serie di Taylor#

Exercise 24.5

Espandere la funzione \(f(x) = e^x\) in serie di Taylor attorno a \(x = 0\) fino al termine di ordine 4.
Espandere la funzione \(f(x) = \sin(x)\) in serie di Taylor attorno a \(x = 0\) fino al termine di ordine 5.
Espandere la funzione \(f(x) = \ln(1 + x)\) in serie di Taylor attorno a \(x = 0\) fino al termine di ordine 3.
Calcolare l’errore di approssimazione della serie di Taylor di ordine 4 per \(f(x) = \sqrt{x}\) attorno a \(x = 1\).
Determinare l’ordine di accuratezza del metodo numerico basato su una formula di differenze finite centrata di ordine 2, e calcolare il primo errore per il calcolo della derivata prima.
Determinare se il punto \(x = 1\) è un massimo, un minimo o un punto di flesso per la funzione \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2\) usando la serie di Taylor attorno a \(x = 1\).
Determinare se il punto \(x = 0\) è un massimo, un minimo o un punto di flesso per la funzione \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\) utilizzando la serie di Taylor attorno a \(x = 0\).
Verificare se il punto \(x = 0\) è un punto di flesso per la funzione \(f(x) = x^3 - 3x + 2\) utilizzando la serie di Taylor e analizzando il comportamento di \(f'(x)\), \(f''(x)\) e \(f'''(x)\).
Determinare se il punto \(x = 1\) è un massimo, un minimo o un punto di flesso per la funzione \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8\) utilizzando la serie di Taylor attorno a \(x = 1\).
Analizzare la funzione \(f(x) = x^4 - 2x^2 + x\) per determinare la natura del punto critico \(x = 0\) in base alla serie di Taylor di ordine 3, determinando se è un massimo, un minimo o un punto di flesso.

24.10.3. Problemi di geometria#

Exercise 24.6 (Problemi di geometria)

todo

rette tangenti a curve
curve tangenti a curve: famiglie parametriche di curve

24.10.4. Studio di funzione: massimi, minimi e flessi; concavità#

Le derivate permettono di aggiungere dettagli allo studio di funzione, iniziato nel capitolo precedente. Grazie alle derivate, è possibile e studiarne la tendenza e la concavità, identificabili rispettivalemnte con \(f'(x)\) e \(f''(x)\)); le condizioni di derivata prima e/o seconda nulla definiscono poi i punti di minimo e di massimo locali di una funzione (derivabile), i punti di flesso.

Exercise 24.7

Si completi lo studio di funzione delle funzioni elencate nell”esercizio nel capitolo precedente, con:

lo studio del segno, della tendenza e della concavità della funzione
i punti di minimo e massimo locale
i punti di flesso

24.10.5. Problemi di ottimizzazione#

Exercise 24.8

Si chiede di trovare i punti di minimo e massimo, locali e assoluti, e disegnare il grafico delle funzioni delle seguenti funzioni all’interno del dominio indicato

\[\begin{split}\begin{aligned} & \mathbf{0.} \, f(x) = x^2 - \frac{1}{2} x^3 \quad , \quad x \in [-1,2] & \text{R: } \\ & \mathbf{1.} \, f(x) = \frac{x}{\cos x + 1} \quad , \quad x \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] & \text{R: } \\ & \mathbf{2.} \, f(x) = \frac{\sin{x}}{x} \quad , \quad x \in \mathbb{R} & \text{R: } \\ & \dots \end{aligned}\end{split}\]

todo Aggiungere problemi

Exercise 24.9 (Problemi di geometria)

Si chiede di determinare il dominio e la quantità richiesta in funzione della quantità indipendente; si trovino poi i punti di minimo e massimo, locali e assoluti, e disegnare il grafico delle funzioni delle seguenti funzioni all’interno del loro dominio. In particolare

Data la famiglia di rettangoli di perimetro noto \(p\), si chiede di studiare l’area \(A\) in funzione della lunghezza di un lato \(x\), \(A(x)\).
Data la famiglia di triangoli rettangoli di area data \(A\), si chiede di studiare il perimetro \(p\) in funzione della lunghezza di un suo cateto
Data la regione di piano chiusa delimitata tra la parabola \(y = -x^2+1\) e l’asse \(x\), si chiede di studiare l’area del rettangolo inscritto in fuzione della semi-lunghezza del lato parallelo all’asse \(x\)
Data la regione di piano chiusa delimitata tra la parabola \(y = -x^2+1\) e l’asse \(x\), si chiede di studiare l’area triangolo isoscele con vertice nell’origine degli assi e la base parallela all’asse \(x\)
Data una sfera di raggio \(R\), si chiede di studiare il volume e la superficie di un cilindro retto iscritto nella sfera.

Exercise 24.10 (Problemi di economia)

todo

24.10.6. Metodo di Newton#

Si chiede di risolvere le sequenti equazioni nonlineari con il metodo di Newton (è quindi necessario riformulare il problema come la ricerca degli zeri di una funzione), dopo aver impostato la soluzione con un metodo grafico. Il metodo grafico è necessario a farsi un’idea sul numero di soluzioni da cercare, e sui valori con cui iniziare il metodo di Newton. Si chiede di concludere il procedimento a mano dopo 3 iterazioni, o quando si ottiene una soluzione con errore minore della tolleranza, qui scelta come \(\tau = 0.01\). Si chiede infine di implementare il metodo con un linguaggio di programmazione a piacimento, per cercare una soluzione con tolleranza \(\tau = 10^{-5}\)

Le stesse equazioni vengono affrontate con il metodo di bisezione come esercizio nel capitolo sull’introduzione all’analisi.

Exercise 24.11 (Soluzione iterativa di equazioni nonlineari - Newton)

\(x^2 - 4x + 1 = 0 \)
\(x^3 - 2x = 1\)
\(\ln x = - 2 x\)
\(e^{-x} \cos x = \frac{1}{2}\)