1. Insiemistica#
1.1. #
1.2. Funzioni#
Definition 1.1 (Funzione)
Una funzione \(f: A \rightarrow B\) tra due insiemi \(A\), \(B\) è una relazione che associa a ogni elemento dell’insieme \(A\) uno e un solo elemento dell’insieme \(B\), cioè
L’insieme \(A\) è definito dominio; l’insieme \(B\) è definito codominio; il sottoinsieme degli elementi \(b \in B\) per i quali esiste un \(a \in A\) t.c. \(b = f(a)\) è definito immagine della funzione.
Funzione suriettiva. Una funzione è suriettiva se \(B = \text{Im}(A)\), cioè per ogni elemento \(b \in B\) esiste almeno un elemento \(a \in A\) tale che \(f(a) = b\).
Funzione iniettiva. Una funzione è iniettiva se per ogni coppia \(a_1, a_2 \in A\), con \(a_1 \ne a_2\), segue che \(f(a_1) \ne f(a_2)\).
Funzione biunivoca. Una funzione sia suriettiva sia iniettiva è una funzione biunivoca. Una funzione biunivoca associa a ogni elemento \(a \in A\) uno e un solo elemento \(b \in B\) e viceversa(!).
Una funzione biunivoca è anche invertibile. Data la funzione biunivoca \(f(a) = b\), la funzione inversa è \(a = f^{-1}(b)\).
1.3. Algebra di insiemi#
todo Qui o in un capitolo su algebra di insiemi nella parte di algebra?
1.3.1. Immagine di una funzione#
1.3.2. Nucleo di una funzione#
1.4. Insiemi numerici#
1.4.1. Numeri naturali, \(\mathbb{N}\)#
Somma
Moltiplicazione.
Potenza.
1.4.2. Numeri interi, \(\mathbb{Z}\)#
Somma
Sottrazione
Moltiplicazione.
Potenza.
Radice.
1.4.3. Numeri razionali, \(\mathbb{Q}\)#
Somma
Sottrazione
Moltiplicazione.
Divisione.
Potenza.
\[a^b = \left( \frac{m}{n} \right)^{\frac{p}{q}}\]
1.4.4. Numeri reali, \(\mathbb{R}\)#
Somma
Sottrazione
Moltiplicazione.
Divisione.
Potenza.
Radice.
Logaritmo.