21. Algebra complessa#

Esistono collegamenti a questo capitolo da:

In questa sezione viene definito l’insieme dei numeri complessi e alcune operazioni su di essi che permettono di introdurre l’algebra complessa. L’insieme dei numeri complessi \(\mathbb{C}\) è l’insieme di quei numeri che possono essere scritti come

\[z = x + i y \ ,\]

dove \(x, y \in \mathbb{R}\) e \(i\) è l’unità immaginaria definita come \(i = \sqrt{-1}\).

I numeri reali sono sottoinsieme dei numeri complessi, \(\mathbb{R} \subset \mathbb{C}\), composto da quei numeri complessi con parte immaginaria nulla. La definizione di operazioni e funzioni - come l’esponenziale - sui numeri complessi viene costruita come estensione ai numeri complessi delle definizioni di tali operazioni e funzioni sui numeri reali. Quando le funzioni e le operazioni vengono definite per i numeri complessi vengono applicate a numeri reali, si ritrovano le definizioni e i risultati già noti sull’insieme dei numeri reali.

I numeri complessi risultano utili in molti ambiti della matematica e della scienza, dalla fisica all’ingegneria:

  • teorema fondamentale dell’algebra

  • rappresentazione efficace delle funzioni trigonometriche, grazie all’identità di Eulero

  • soluzione di equazioni differenziali

  • …

21.1. Definizioni#

I numeri complessi estendono il campo dei numeri reali, \(\mathbb{R} \subset \mathbb{C}\). Viene inizialmente definita l”unità immaginaria, \(i\), come la radice quadra di \(-1\),

\[i := \sqrt{-1} \ ,\]

todo discutere la definizione, facendo riferimento alle potenze

Definition 21.1 (Numeri complessi - rappresentazione cartesiana)

L’insieme dei numeri complessi, indicato con \(\mathbb{C}\), è l’insieme di quei numeri che possono essere scritti come

\[z = x + i y \ ,\]

con \(x, \ y \in \mathbb{R}\). Il numero \(x\) viene definito parte reale, il numero \(y\) parte immaginaria.

21.2. Operazioni con i numeri complessi - in forma cartesiana#

  • somma: \(z_1 + z_2 = (x_1 + i y_1) + (x_2 + i y_2) = (x_1 + x_2) + i (y_1 + y_2)\)

  • prodotto: \(z_1 z_2 = (x_1 + i y_1)(x_2 + i y_2) = x_1 x_2 - y_1 y_2 + i (x_1 y_2 + x_2 y_1)\)

  • potenza con esponente naturale, \(n \in \mathbb{N}\): \(z^n = (x + i y)^n = \underbrace{(x+iy) \dots (x+iy)}_{n \text{ volte}}\)

  • complesso coniugato: \(z^* := (x+iy)^* = x - i y\)

  • modulo: \(|z| := \sqrt{z^* z} = \sqrt{x^2 + y^2}\)

21.3. Formula di de Moivre, esponenziale complesso e formula di Eulero#

La formula di de Moivre è la relazione

(21.1)#\[(\cos x + i \sin x)^n = \cos(nx) + i \sin(nx) \ , \quad n \in \mathbb{Z} \ ,\]

per \(x \in \mathbb{R}\) e \(n \in \mathbb{Z}\). In appendice la dimostrazione della formula di de Moivre.

L”esponenziale di un numero complesso, \(z \in \mathbb{C}\), è definito estendendo la definizione di esponenziale per i numeri reali ai numeri complessi

(21.2)#\[e^z = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!} = \lim_{n \rightarrow +\infty} \left( 1 + \frac{z}{n} \right)^n\]

Data questa definizione di esponenziale complesso, si può dimostrare la formula di Eulero

(21.3)#\[e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta \ ,\]

con \(\theta \in \mathbb{R}\). Vengono riportate in appendice due dimostrazioni della formula di Eulero, una usando la definizione di esponenziale complesso e la formula di de Moivre, l’altra usando le serie di Taylor.

Grazie alla formula di Eulero e alle proprietà elementari delle funzioni trigonometriche, \(\cos(-\theta) = \cos \theta\), \(\sin(-\theta) = -\sin \theta\), con \(\theta \in \mathbb{R}\), segue

(21.4)#\[\begin{split}\begin{aligned} \cos \theta & = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \\ \sin \theta & = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \\ \end{aligned}\end{split}\]

21.4. Rappresentazione dei numeri complessi nel piano complesso (Argand-Gauss)#

Ogni numero complesso \(z \subset \mathbb{C}\) può essere associato a un punto del piano complesso \(\mathbb{C}\); l’uso di coordinate cartesiane o polari per la descrizione dei punti del piano \(\mathbb{R}^2\) suggerisce due tipi di rappresentazioni per un numero complesso:

  • la rappresentazione cartesiana associa l’asse delle ascisse alla parte reale \(x\) e l’asse delle ordinate alla parte immaginaria \(y\),

    \[z = x + i y\]

  • la rappresentazione polare; usando la legge di trasformazione tra coordinate polari \((r, \theta)\) e coordinate cartesiante \((x,y)\)

    \[\begin{split}\begin{cases} x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \end{cases}\end{split}\]

    e la formula di Eulero, \(e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta\), è possibile scrivere un numero complesso in forma polare,

    \[z = x + i y = r \cos \theta + i r \sin \theta = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) = r e^{i \theta} \ .\]

Nota

Le due rappresentazioni non sono equivalenti. Mentre la rappresentazione cartesiana permette di creare una relazione biunivoca tra i numeri complessi \(z = x + i \, y\) e i punti nel piano \((x, \ y)\), la rappresentazione polare assegna infiniti numeri complessi, seppur di uguale valore \(r \, e^{i \theta} = r \, e^{i (\theta + n \, 2 \pi)}\), con \(n \in \mathbb{Z}\) allo stesso punto nello spazio.

21.5. Operazioni con i numeri complessi#

Si rivisitano ora le operazioni già presentate, mostrando la convenienza della rappresentazione polare per prodotti e potenze.

21.5.1. Somma e prodotto#

Somma. La somma di due numeri complessi è il numero complesso

\[z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2)\]

Prodotto. Il prodotto tra due numeri complessi \(z_1 = x_1 + i y_1 = r_1 e^{i \theta_1}\), \(z_2 = x_2 + i y_2 = r_2 e^{i \theta_2}\), è il numero complesso \(z_1 \cdot z_2 \in \mathbb{C}\) che può essere calcolato usando la proprietà distributiva tra somma e prodotto e la proprietà degli esponenti,

\[\begin{split}\begin{aligned} z_1 \, z_2 & = r_1 \, r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)} = \\ & = (x_1 + i y_1 ) (x_2 + i y_2) = (x_1 x_2 - y_1 y_2)+i(x_1 y_2 + y_1 x_2) \\ \end{aligned}\end{split}\]

21.5.2. Complesso coniugato e modulo#

Complesso coniugato. Il complesso coniugato \(z^*\) di un numero compless \(z \in \mathbb{C}\) è il numero complesso con stessa parte reale e parte immaginaria opposta. Analogamente ha stesso modulo e argomento (definito tra \(-\pi\) e \(\pi\)) opposto

\[z^* := x - i y = r e^{-i\theta} \]

E” immediato verificare le seguenti identità

(21.5)#\[\begin{split}\begin{aligned} \text{re}\{ z \} & = x = \frac{z + z^*}{2} \\ \text{im}\{ z \} & = y = \frac{z - z^*}{2i} \\ \end{aligned}\end{split}\]

Valore assoluto. Il valore assoluto di un numero complesso è uguale a

\[\begin{split}\begin{aligned} |z| & := \sqrt{z^* z} = \\ & = \sqrt{(x-iy)(x+iy)} = \sqrt{x^2 + y^2} = \\ & = \sqrt{r e^{-i\theta} r e^{i\theta}} = r \end{aligned}\end{split}\]

21.5.3. Potenze e radici#

Potenza. Si presenta l’elevamento a potenza di un numero complesso,

\[z = A e^{i (\alpha + 2 \pi n)} \ , \quad n \in \mathbb{Z} \ ,\]

ricordando l’arbitrarietà nella rappresentazione in forma polare. Si rimanda all’appendice per il caso generale, mentre qui si presentano i casi con:

21.5.3.1. Potenza intera, \(p \in \mathbb{Z}\).#

\[z^p = A^p e^{i ( p \alpha + 2 \pi n p )} = A^{p} e^{i ( p \alpha + 2 \pi m )} \ , \quad m \in \mathbb{Z}\]

21.5.3.2. Radici o potenza \(\frac{1}{p}, \ p \in \mathbb{Z}\)#

La radice \(p\)-esima intera, \(p \in \mathbb{Z}\), di un numero complesso può essere interpretata come la potenza con esponente \(\frac{1}{p}, \ p \in \mathbb{Z}\),

\[z^{\frac{1}{p}} = \left( r e^{i ( \theta + n 2 \pi ) } \right)^\frac{1}{p} = r^{\frac{1}{p}} e^{i \left(\frac{\theta}{p} + 2 \pi \frac{n}{p} \right)} \ , \quad n = \{ 0, 1, \dots, p-1\}\]

e quindi corrisponde ai \(p\) numeri complessi con modulo \(r^{\frac{1}{p}}\) e argomenti \(\frac{\theta}{p} + 2 \pi \frac{n}{p}\).

21.5.3.3. Potenza razionale#

La potenza con esponente razionale, \(p, q \in \mathbb{Z}\), \(q \ne 0\), \(\frac{p}{q} = r + \frac{p'}{q}\), con \(p' < q\) e \(\frac{p'}{q}\) irriducibile, è ben definita per ogni numero complesso a differenza di quanto accade sui numeri reali.

\[z^{\frac{p}{q}} = A^{\frac{p}{q}} e^{i \frac{p}{q} (\alpha + 2 \pi n)} = A^{\frac{p}{q}} e^{i (\frac{p}{q} \alpha + \frac{p'}{q} 2 \pi n)}\]

Esistono quindi \(q\) risultati distinti per \(n \in \{ 0, 1, 2, \dots, q-1 \}\).

21.5.4. Altre operazioni#

Potenza con esponente irrazionale. La potenza di un numero complesso \(z^p\) con esponente reale irrazionale \(p \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\) produce gli infiniti numeri complessi con modulo \(r^p\) e argomento \(p \theta + 2 \pi n p\) qualsiasi, per \(n \in \mathbb{Z}\)

Potenza qualsiasi. Per la discussione di una potenza qualsiasi di un numero complesso si rimanda alla sezione sulle funzioni di variabile complessa in appendice.

Esponenziale. Per la discussione dell”esponenziale complesso si rimanda alla sezione sulle funzioni di variabile complessa in appendice.

Logaritmo. Per la discussione del logaritmo complesso si rimanda alla sezione sulle funzioni di variabile complessa in appendice.

21.6. Teorema fondamentale dell’algebra#

Ogni polinomio a coefficienti reali (todo o anche complessi) di grado \(n\), \(p_n(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots a_1 x + a_0\) può essere fattorizzato come prodotto di \(n\) binomi

\[p_n(x) = a_n ( x - z_1 )( x - z_2 )\dots( x - z_n) \ ,\]

e i numeri \(z_k \in \mathbb{C}\), \(k = 1:n\), sono chiamati zeri del polinomio.

Come diretta conseguenza, ogni equazione polinomiale di grado \(n\), \(p_n(x) = 0\), ammette \(n\) soluzioni complesse coincidenti con gli zeri \(z_k\) del polinomio \(p_n(x)\).

21.7. Numeri complessi e geometria nel piano euclideo#

La rappresentazione cartesiana dei numeri complessi \(z = x + i y\) crea un legame biunivoco tra i numeri complessi e i punti di un piano. Quindi è possibile affrontare la geometria analitica nel piano usando i numeri complessi:

21.7.1. Posizione di un punto nel piano#

Una volta scelto un sistema di coordinate regolari, la posizione di un punto \(P\) nel piano è identificata dai valori delle sue coordinate. Utilizzando un sistema di coordinate cartsiane o polari il punto \(P\) è identificato dalle coppie di valori \(x_P, y_P\) o \(r_P, \theta_P\) rispettivamente. Associando l’asse \(x\) all’asse dei numeri reali e l’asse \(y\) all’asse dei numeri immaginari, si può associare il punto \(P \equiv (x_P, y_P)\) in maniera biunivoca al numero complesso \(z_P = x_P + i y_P\), mentre alle coordinate polari corrisponde la rappresentazione polare,

\[z_P = x_P + i y_P = r e^{i \theta} \ .\]

21.7.2. Distanza tra punti#

La distanza tra due punti nel piano può essere facilmente calcolata usando le coordiante cartesiane dei punti, tramite il teorema di Pitagora,

\[|P_2 - P_1|^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \ ,\]

ed equivale al valore del numero complesso \(z_2 - z_1\),

\[|z_2 - z_1|^2 = ((x_2-x_1) + i(y_2-y_1))^*((x_2-x_1) + i(y_2-y_1)) = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \]

21.7.3. Curva nel piano#

Una curva nel piano può essere rappresentata in forma esplicita, implicita o parametrica. Usando i numeri complessi,

  • la forma implicita dell’equazione di una curva è una relazione della forma \(F(z)=0\), \(F_c(x, y) = 0\) o \(F_p(r, \theta) = 0\), ossia una funzione che lega i due parametri che definiscono un numero complesso, come per esempio parte reale e immaginaria o modulo e argomento; in alcuni casi, è possibile esprimere uno di questi parametri in funzione dell’altro nella forma esplicita

  • la forma parametrica dell’equazione di una curva può essere espressa come un numero complesso funzione di un parametro, come ad esempio

    \[z(s) = x(s) + i y(s) = r(s) e^{i \theta(s)} \ .\]

    Questo equivale a fornire l’espressione parametrica della curva in termini delle coordinate cartesiane o polari.

21.7.4. Intersezioni di curve#

Date due curve espresse in forma parametrica, \(\gamma_1: z_1(s)\), \(\gamma_2: z_2(r)\), gli eventuali punti di intersezione soddisfano la condizione \(z_1(\bar{s}) = z_2(\bar{r})\), cioè si ricerca il valore dei parametri \(s\), \(r\) per i quali i punti delle curve hanno le stesse coordinate.

Se le curve sono espresse in forma implicita, \(\gamma_1: F_1(z) = 0\), \(\gamma_2: F_2(z) = 0\), il problema della ricerca delle intersezioni si riduce alla soluzione del sistema di due equazioni in due incognite (due incognite poiché un numero complesso \(z\) è identificato da due parametri) per trovare il valore dei numeri complessi \(\bar{z}\) tali che

\[\begin{split}\begin{cases} F_1(\bar{z}) & = 0 \\ F_2(\bar{z}) & = 0 \end{cases}\end{split}\]

21.7.5. Retta nel piano#

Definizione 1 - Passaggio per un punto e una direzione. E” facile definire la retta passante per un punto con una direzione data in forma parametrica,

\[z(s) = z_0 + s v \ ,\]

con \(z_0 = x_0 + i y_0\) nummero complesso che identifica il punto \(P_0\) e \(v = v_x + i v_y\) numero complesso che identifica la direzione della retta \(\vec{v} = v_x \hat{x} + v_y \hat{y}\).

Definizione 2 - Luogo dei punti equidistante da due punti distinti. La definizione può essere tradotta nell’equazione in forma implicita,

\[|z - z_1| = |z - z_2| \ ,\]

l’uguaglianza della distanza dei punti della retta identificati dai numeri complessi \(z\) dai due punti scelti, identificati dai numeri complessi \(z_1\), \(z_2\).

21.7.6. Posizioni reciproche rette, distanza punto-retta, coniche ed altro#

In questo capitolo non si continua lo studio in maniera sistematica della geometria nel piano usando i numeri complessi.

Ci si limita a:

  • ricordare che le coordinate cartesiane e polari possono essere ricondotte a un numero complesso

    \[\begin{split} \begin{cases} x = r \cos \theta = \text{re}\{z\} \\ y = r \sin \theta = \text{im}\{z\} \end{cases} \quad , \quad \begin{cases} r = |z| \\ \theta = \text{arg}\{z\} \end{cases} \end{split}\]

  • osservare che, dati i due numeri complessi \(z_1 = x_1 + i y_1\), \(z_2 = x_2 + i y_2\), il prodotto \(z_1^* z_2\) contiene sia l’espressione del prodotto interno sia del prodotto vettore dei due vettori \(\vec{v}_1 = x_1 \hat{x}_1 + y_1 \hat{y}_1\), \(\vec{v}_2\),

    \[\begin{split}\begin{aligned} z_1^* z_2 & = (x_1 - i y_1) (x_2 + i y_2) = \\ & = (x_1 x_2 + y_1 y_2) + i(x_1 y_2 - x_2 y_1) = \\ & = \vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 + i \hat{z} \cdot \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 \end{aligned}\end{split}\]

  • le equazioni delle coniche possono essere ricavate:

    • dalle definizioni in termini di distanza di punti dai fuochi

      • circonferenza: \(|z-z_0| = R\)

      • parabola: \(|z-z_0| = | \text{im}\{z\} - y_d|\), con direttrice parallela ad asse \(x\), \(z_d = i y_d\)

      • ellisse: \(|z-z_1| + |z-z_2| = 2a\)

      • iperbole: \(||z-z_1| - |z-z_2|| = 2a\)

    • in termini di eccentricità, \(\frac{\text{dist}(P,F)}{\text{dist}(P,d)} = e\)

      \[\frac{|z - z_F|}{|\text{re}(z) - x_d|} = e \ ,\]

      con fuoco in \(F\) e direttrice parallela all’asse \(y\), \(d: x = x_d\).

todo rimandare a esercizi

21.8. Equazioni e disequazioni con i numeri complessi#

Le equazioni e le disequazioni con i numeri complessi possono essere ricondotti a problemi che coinvolgono una coppia di variabili reali, tipicamente le componenti reale e immaginaria, o il modulo e l’argomento, che descrivono il piano dei numeri complessi.

todo

21.9. Cenni di analisi di Fourier#

Dato un insieme di \(N\) numeri reali \(\{x_n\}_{n=0:N-1}\), si possono definire \(N\) numeri complessi coniugati, \(\{ X_k \}_{k=0:N-1}\),

\[X_k := \sum_{n=0}^{N-1} x_n \ e^{-i 2 \pi \frac{k n}{N}} \ ,\]

che rappresentano la trasformata discreta di Fourier del segnale \(x_n\).

Anti-trasformata. Esiste la trasformazione inversa tra le due serie,

\[x_m := \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X_k \ e^{i 2 \pi \frac{k m}{N}} \ ,\]
Dimostrazione della trasformazione inversa
\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X_k \ e^{i 2 \pi \frac{k m}{N}} & = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} \sum_{n=0}^{N-1} x_n \ e^{-i 2 \pi \frac{k n}{N}} \ e^{i 2 \pi \frac{k m}{N}} = \\ & = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x_n \sum_{k=0}^{N-1} e^{i 2 \pi \frac{k (m-n)}{N}} \ . \end{aligned}\end{split}\]

Usando la sommatoria dell’esponenziale complesso Example 21.2,

\[\begin{split}\sum_{k=0}^{N-1} e^{i 2 \pi \frac{k (m-n)}{N}} = \left.\begin{cases} N & \hfill \qquad m = n \\ \frac{1-e^{i 2 \pi \frac{m-n}{N} N}}{1-e^{i 2 \pi \frac{m-n}{N}}} = 0 & \hfill \qquad m \ne n \end{cases}\right\} = N \, \delta_{mn} \ , \end{split}\]

si ottiene la dimostrazione della formula inversa

\[\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X_k \ e^{i 2 \pi \frac{k m}{N}} = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x_n \, N \, \delta_{mn} = x_m \ .\]

Example 21.2 (Somma di esponenziali complessi)

Seguendo quanto fatto per la serie geometrica Example 16.2, è possibile calcolare la serie complessa

\[\sum_{k=0}^{N-1} e^{i a k} \ .\]

  • Se \(a\) è un multiplo intero di \(2 \pi\), \(a = 2 \pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\), allora \(e^{i a k} = 1\) per \(\forall k\) e la sommatoria vale \(N\), essendo la somma di \(N\) termini uguali a \(1\).

  • Altrimenti,

    \[\sum_{k=0}^{N-1} e^{i a k} = 1 + \sum_{k=1}^{N-1} e^{i a k} = 1 + e^{i a} \sum_{k=0}^{N-1} e^{i a k} - e^{i a N} \]

    e quindi

    \[\sum_{k=0}^{N-1} e^{i a k} = \frac{1 - e^{i a N}}{1 - e^{i a}} \ .\]