12.7. Soluzioni#

12.7.1. Punti e Distanze#

Exercise 12.31

  1. Calcola la distanza tra i punti \( A(2, 3) \) e \( B(-1, 7) \).

Exercise 12.32

  1. Determina le coordinate del punto che divide il segmento che unisce \( A(4, -2) \) e \( B(-6, 8) \) nel rapporto \( 3:2 \).

Exercise 12.33

  1. Mostra che i punti \( P(1, 2) \), \( Q(3, 6) \) e \( R(-1, -4) \) sono allineati.

Exercise 12.34

  1. Trova il baricentro del triangolo con vertici \( A(2, -1) \), \( B(4, 3) \), e \( C(-2, 5) \).

Exercise 12.35

  1. Determina la distanza minima tra il punto \( P(5, -2) \) e la retta \( y = -\frac{1}{2}x + 3 \).

12.7.2. Retta#

Exercise 12.36

  1. Trova l’equazione della retta passante per i punti \( A(1, -1) \) e \( B(4, 5) \).

Exercise 12.37

  1. Determina il punto di intersezione tra le rette \( y = 2x - 3 \) e \( y = -x + 1 \).

Exercise 12.38

  1. Scrivi l’equazione della retta parallela a \( y = 3x + 2 \) che passa per il punto \( (1, -4) \).

Exercise 12.39

  1. Scrivi l’equazione della retta perpendicolare a \( 2x - y + 5 = 0 \) che passa per \( (2, 3) \).

Exercise 12.40

  1. Determina l’area del triangolo formato dalle rette \( y = x + 1 \), \( y = -x + 5 \) e \( x = 2 \).

12.7.3. Coniche#

Exercise 12.41

  1. Trova il centro e i semiassi dell’ellisse \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \).

Exercise 12.42

  1. Determina il fuoco e la direttrice della parabola \( y^2 = 8x \).

Exercise 12.43

  1. Calcola i vertici e il centro dell’iperbole \( \frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1 \).

Exercise 12.44

  1. Verifica se il punto \( (3, 4) \) appartiene all’ellisse \( 9x^2 + 16y^2 = 144 \).

Exercise 12.45

  1. Determina l’equazione della parabola con vertice in \( (0, 0) \) e fuoco in \( (2, 0) \).

12.7.4. Posizioni Relative#

Exercise 12.46

  1. Determina la posizione reciproca tra le rette \( 2x - 3y + 4 = 0 \) e \( 4x - 6y - 5 = 0 \).

Exercise 12.47

  1. Trova la distanza tra i punti \( P(1, 3) \) e \( Q(-2, 7) \), e verifica se sono equidistanti dalla retta \( x - y + 1 = 0 \).

Exercise 12.48

  1. Determina se la retta \( y = -\frac{1}{3}x + 4 \) è tangente alla circonferenza \( x^2 + y^2 = 16 \).

Exercise 12.49

  1. Trova il punto di intersezione delle coniche \( x^2 + y^2 = 25 \) e \( x^2 - y^2 = 9 \).

Exercise 12.50

  1. Calcola la posizione reciproca tra l’ellisse \( \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1 \) e la retta \( y = 2x + 1 \).

12.7.5. Problemi Parametrici#

Exercise 12.51

  1. Determina i valori di \( k \) per cui la retta \( y = kx + 3 \) è tangente alla parabola \( y^2 = 4x \).

Exercise 12.52

  1. Trova i valori di \( a \) e \( b \) per cui la retta \( ax + by + c = 0 \) passa per i punti \( (1, 2) \) e \( (3, -4) \).

Exercise 12.53

  1. Scrivi l’equazione della famiglia di rette parallele a \( y = 2x + 1 \) e determina quale retta passa per \( (0, -3) \).

Exercise 12.54

  1. Determina l’equazione della famiglia di circonferenze con centro sull’asse \( x \) e passanti per il punto \( (2, 3) \).

Exercise 12.55

  1. Trova il punto comune a tutte le rette della famiglia \( y = mx + 2m - 1 \).

12.7.6. Altri Problemi#

Exercise 12.56

  1. Trova le coordinate dei vertici del triangolo formato dalla retta \( y = 2x - 3 \) e dai due assi coordinati.

Exercise 12.57

  1. Determina l’equazione della tangente alla parabola \( y^2 = 8x \) nel punto \( (2, 4) \).

Exercise 12.58

  1. Scrivi l’equazione della circonferenza con centro in \( (1, -2) \) e raggio \( 5 \).

Exercise 12.59

  1. Verifica se la retta \( y = -x + 6 \) è tangente all’iperbole \( \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 \).

Exercise 12.60

  1. Trova il punto di massimo o minimo della funzione \( f(x, y) = x^2 + y^2 \) sulla circonferenza \( x^2 + y^2 = 25 \).

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